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第十四章第十四章 机械振动机械振动14 1 14 1 简谐运动简谐运动机械振动机械振动与机械波与机械波第十四章第十四章 机械振动机械振动14 1 14 1 简谐运动简谐运动振动和波动是物质的基本运动形式，是自然界振动和波动是物质的基本运动形式，是自然界的普遍现象，在力学中有机械振动和机械波，的普遍现象，在力学中有机械振动和机械波，在电磁学中有电磁振荡和电磁波，声是机械波，在电磁学中有电磁振荡和电磁波，声是机械波，光是电磁波，近代物理研究表明，一切微观粒光是电磁波，近代物理研究表明，一切微观粒子都具有波动性子都具有波动性 尽管在物质不同的运动形式中，振动尽管在物质不同的运动形式中，振动与波动的具体内容不同，本质不同，但在形式与波动的具体内容不同，本质不同，但在形式上它们具有相似性，都遵循相同的运动规律，上它们具有相似性，都遵循相同的运动规律，都能用相同的数学方法描述，这说明不同的振都能用相同的数学方法描述，这说明不同的振动与波动之间具有共同的特性。动与波动之间具有共同的特性。本篇讨论机械振动和机械波的基本规律，它是本篇讨论机械振动和机械波的基本规律，它是其它振动与波动的基础其它振动与波动的基础 第十四章第十四章 机械振动机械振动14 1 14 1 简谐运动简谐运动振动和波动振动和波动物质的基本运动形式物质的基本运动形式机械振动和机械波机械振动和机械波电磁振荡和电磁波电磁振荡和电磁波声（机械波）声（机械波）光（电磁波）光（电磁波）微观粒子的波动性微观粒子的波动性机械振动：机械振动：物体在一定物体在一定的位置附近做来回往复的位置附近做来回往复的运动。的运动。振动：振动：任何一个物理量在某个确定的数值附近任何一个物理量在某个确定的数值附近作周期性的变化。作周期性的变化。波动：波动：振动状态在空间振动状态在空间的传播。的传播。第十四章第十四章 机械振动机械振动14 1 14 1 简谐运动简谐运动 任一物理量在某一定值附近往复变化任一物理量在某一定值附近往复变化 振动振动.机械振动：机械振动：物体围绕一固定位置往复运动物体围绕一固定位置往复运动.例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等以及晶体中原子的振动等.简谐运动：简谐运动：最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动.本章研究：简谐运动本章研究：简谐运动简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动合成合成分解分解第十四章第十四章 机械振动机械振动14 1 14 1 简谐运动简谐运动3-1 3-1 简谐运动简谐运动3-1-1 3-1-1 简谐运动简谐运动一、何为简谐运动？一、何为简谐运动？如果一个物体的运动方程的形式为如果一个物体的运动方程的形式为二、简谐运动的分析二、简谐运动的分析最典型的简谐运动最典型的简谐运动弹簧振子的振动弹簧振子的振动 弹簧振子的振动弹簧振子的振动1 1、受力特征、受力特征线性恢复力，谐振特征力线性恢复力，谐振特征力令令2 2、动力学方程、动力学方程3 3、运动方程、运动方程4 4、速度、速度5 5、加速度、加速度6 6、运动图线、运动图线图图图图图图取取一一 振幅振幅二二 周期、频率周期、频率 周期周期图图3-1-2 3-1-2 简谐运动的特征量简谐运动的特征量弹簧振子周期弹簧振子周期周期和频率仅与振动周期和频率仅与振动系统系统本身本身的物理性质的物理性质有关有关注意注意 频率频率 圆频率圆频率“固有周期固有周期”“固有频率固有频率”1 1）存在一一对应的关系存在一一对应的关系;2 2）相位在相位在 内变化，质点内变化，质点无相同无相同的的运动状态；运动状态；三三 相位相位3 3）初）初相位相位 描述质点描述质点初始初始时刻的时刻的运动状态运动状态.相位一定，振动状态唯一确定相位一定，振动状态唯一确定图图四四 常数常数 和和 的确定的确定初始条件初始条件 对给定振动系统，周期由系统本身性质对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定决定，振幅和初相由初始条件决定.取取已知已知 求求讨论讨论3-1-3 3-1-3 旋转矢量法旋转矢量法 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简谐运动动.当当 时时 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简谐运动动.时时 旋转旋转矢量矢量 的的端点在端点在 轴上的投轴上的投影点的运影点的运动为简谐动为简谐运动运动.例题例题14 3 14 3 旋转矢量旋转矢量例例.一弹簧振子作简谐振动，振幅为一弹簧振子作简谐振动，振幅为A，周期为，周期为T，其运动方程用余弦函数表示若，其运动方程用余弦函数表示若t=0时，时，(1)振子在负的最大位移处，则初相为振子在负的最大位移处，则初相为_；(2)振子在平衡位置向正方向运动，则初相为振子在平衡位置向正方向运动，则初相为_；(3)振子在位移为振子在位移为A/2处，且向负方向运动，则初处，且向负方向运动，则初相为相为_(4)振子在位移为振子在位移为-A/2处，且向正方向运动，则处，且向正方向运动，则初相为初相为_(5)写出以上四种情况的运动方程写出以上四种情况的运动方程6.214 3 14 3 旋转矢量旋转矢量14 3 14 3 旋转矢量旋转矢量例例2 2 一质量为一质量为 的物体作简谐运动，振幅的物体作简谐运动，振幅为为 ，周期为，周期为 ，起始时刻物体在，起始时刻物体在 处，向处，向 轴负方向运动（如图）轴负方向运动（如图）.试求试求 （1 1）时，物体所处的位置和所受的力时，物体所处的位置和所受的力 （2 2）由起始位置运动到由起始位置运动到 处所需要处所需要的最短时间的最短时间.例例2 2 一质量为一质量为 的物体作简谐运动，振幅的物体作简谐运动，振幅为为 ，周期为，周期为 ，起始时刻物体在，起始时刻物体在 处，向处，向 轴负方向运动（如图）轴负方向运动（如图）.试求试求 （1 1）时，物体所处的位置和所受的力时，物体所处的位置和所受的力 解解（1）先求运动方程先求运动方程 设设代入上式得代入上式得 （2 2）由起始位置运动到由起始位置运动到 处所需要处所需要的最短时间的最短时间.法一法一 设由起始位置运动到设由起始位置运动到 处所处所需要的最短时间为需要的最短时间为解法二，由解法二，由旋转矢量判断旋转矢量判断 起始时刻起始时刻 时刻时刻 例例1 1 如图，一轻弹簧连着一物体，弹簧的劲如图，一轻弹簧连着一物体，弹簧的劲度系数度系数 ，物体的质量，物体的质量 .（1 1）把物体从平衡位置拉到把物体从平衡位置拉到 处停处停下再释放，求简谐运动方程；下再释放，求简谐运动方程；（3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于处时速度不等于零，而是具有向右的初速度零，而是具有向右的初速度 ，求其运动方程求其运动方程.（2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；处时的速度；0.05解解 （1）由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知解解 由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知（负号表示速度沿（负号表示速度沿 轴负方向）轴负方向）（2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时处时的速度；的速度；解解 （3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零，处时速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其运动，求其运动方程方程.因为因为 ，由旋转矢量图可知，由旋转矢量图可知 对给定振动系统，周期由系统本身性质对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定决定，振幅和初相由初始条件决定.相位差：两个简谐运动的相位之差相位差：两个简谐运动的相位之差.对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位差表示它们的简谐运动，相位差表示它们步步调调上的上的差异差异.同步同步反相反相为其它为其它超前超前落后落后14 3 14 3 旋转矢量旋转矢量精析精析6.8 已知两个简谐振动曲线如图所示已知两个简谐振动曲线如图所示x1的相位比的相位比x2的相位超前的相位超前_ Oxx1tx2/2O-AA12例例，两两个个质质点点各各自自作作简简谐谐振振动动，它它们们的的振振幅幅相相同同、周期相同第一个质点的振动方程为周期相同第一个质点的振动方程为x1=Acos(w wt+a a)当当第第一一个个质质点点从从正正位位移移处处回回到到平平衡衡位位置置时时，第第二二个个质质点点正正在在最最大大正正位位移移处处求求第二个质点的振动方程第二个质点的振动方程 精析精析6.114 3 14 3 旋转矢量旋转矢量精析精析 6.66.6一质点沿一质点沿x x轴作简谐振动，振动方程为轴作简谐振动，振动方程为 (SI)(SI)从从t t=0=0时刻起，到质点位置在时刻起，到质点位置在x x=-2 cm=-2 cm处处，且向，且向x x轴正方向运动的最短时间间隔为轴正方向运动的最短时间间隔为 例例，两两个个弹弹簧簧振振子子的的周周期期都都是是0.4 s，设设开开始始时时第第一一个个振振子子从从平平衡衡位位置置向向负负方方向向运运动动，经经过过0.5 s 后后，第第二二个个振振子子才才从从正正方方向向的的端端点点开开始始运运动动，则这两振动的相位差为则这两振动的相位差为_ 14 3 14 3 旋转矢量旋转矢量线性回复力是线性回复力是保守力保守力，作，作简谐简谐运动的系统运动的系统机械能机械能守恒守恒 以弹簧振子为例以弹簧振子为例（振幅的动力学意义）（振幅的动力学意义）3-1-4 简谐运动的能量简谐运动的能量40.简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图4T2T43T能量能量41.简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线简谐运动能量守恒，振幅不变简谐运动能量守恒，振幅不变42.例例 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为作简谐运动，其最大加速度为 ，求求：（1）振动的周期；振动的周期；（2）通过平衡位置的动能；通过平衡位置的动能；（3）总能量；总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？物体在何处其动能和势能相等？解解（1）43.（2）（3）（4）时，时，由由44.第十四章第十四章 机械振动机械振动14 5 14 5 简谐运动的能量简谐运动的能量45.第十四章第十四章 机械振动机械振动例例1、底面积为底面积为 S 的长方形木块，浮于水面，水的长方形木块，浮于水面，水下部分高度为下部分高度为 a，用手按下，用手按下 b 后后释放，释放，1）证明若不计阻力，木块的运动为简谐振动）证明若不计阻力，木块的运动为简谐振动2）求振动周期。）求振动周期。一个物体的运动形式是由它的受力决定一个物体的运动形式是由它的受力决定的，关键是看它的受力是否是简谐振动的特征力的，关键是看它的受力是否是简谐振动的特征力即线性恢复力。即线性恢复力。分析：分析：如何判断一个物如何判断一个物体是否做简谐振动？体是否做简谐振动？第十四章第十四章 机械振动机械振动对物体进行受力分析，若符合对物体进行受力分析，若符合线性恢复力线性恢复力的形式，则物体一定做简谐振动的形式，则物体一定做简谐振动以物体的平衡位置为坐标原点，沿运动方以物体的平衡位置为坐标原点，沿运动方向建立坐标向建立坐标列出动力学方程，求出通解列出动力学方程，求出通解 x根据根据 ，确定，确定和和T，根据初始条，根据初始条件确定件确定A和和，最终确定运动方程，最终确定运动方程1）证明：证明：平衡时平衡时任意位置任意位置x 处处，合力，合力以平衡位置为坐标原点建坐标以平衡位置为坐标原点建坐标木块运动为谐振动木块运动为谐振动48.第十四章第十四章 机械振动机械振动2 2）木块的运动微分方程为）木块的运动微分方程为 一质点按如下规律沿一质点按如下规律沿x轴作简谐振动：轴作简谐振动：(SI)求求此此振振动动的的周周期期、振振幅幅、初初相相、速速度度最最大大值值和和加加速度最大值速度最大值 解：周期解：周期 ，振幅振幅 A=0.1m，初相初相 =2p p/3，vmax=w w A=0.8p p m/s(=2.5 m/s)，amax=w w 2A=6.4p p2 2 m/s2(=63 m/s2)一质点作简谐振动，周期为一质点作简谐振动，周期为T当它由平衡位当它由平衡位置向置向x轴正方向运动时，从二分之一最大位移轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间是多少处到最大位移处这段路程所需要的时间是多少？14 3 14 3 旋转矢量旋转矢量6.19 两个同方向简谐振动的振动方程分别为两个同方向简谐振动的振动方程分别为 (SI),(SI)求合振动方程求合振动方程 精析精析6.19一质点沿一质点沿x轴作简谐振动，振动方程为轴作简谐振动，振动方程为 从从t=0时时刻刻起起，到到质质点点位位置置在在x=-2 cm处处，且且向向x轴正方向运动的最短时间间隔？轴正方向运动的最短时间间隔？14 3 14 3 旋转矢量旋转矢量6.3 一个质点沿一个质点沿X轴做简谐振动，运动学方程为轴做简谐振动，运动学方程为x=0.01cos(8t+2/3)（SI）。）。求此振动的振幅、周期、速度的最大值和加速求此振动的振幅、周期、速度的最大值和加速度的最大值。度的最大值。14 3 14 3 旋转矢量旋转矢量解第十四章第十四章 机械振动机械振动14 1 14 1 简谐运动简谐运动