2022年安徽省合肥新康中学九年级数学第一学期期末考试试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．当函数是二次函数时，a的取值为（　　）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C=900，AC=4，AB=5，则sinB的值是 ( )
A． B． C． D．
3．如图所示的几何体为圆台，其俯视图正确的是　　

A． B． C． D．
4．如图，在矩形中，，，以为直径作.将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点，则的长为（ ）

A．2.5 B．1.5 C．3 D．4
5．已知线段，是线段的黄金分割点，则的长度为（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
6．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（ ）

A．4 B．7 C．3 D．12
7．给出下列四个函数：①y=﹣x；②y=x；③y=；④y=x1．x＜0时，y随x的增大而减小的函数有（　　）
A．1个 B．1个 C．3个 D．4个
8．已知二次函数y=，设自变量的值分别为x1，x2，x3，且－3<x1<x2<x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1>y2>y3 B．y1<y2<y3 C．y2>y3>y1 D．y2<y3<y1
9．设，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，AB切⊙O于点B，C为⊙O上一点，且OC⊥OA，CB与OA交于点D，若∠OCB＝15°，AB＝2，则⊙O的半径为（　　）

A． B．2 C．3 D．4
11．二次函数的图像如图所示，下面结论：①；②；③函数的最小值为；④当时，；⑤当时，（、分别是、对应的函数值）．正确的个数为（ ）

A． B． C． D．
12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E是CD的中点，∠CDB=30°，CD=6，则阴影部分面积为（　　）

A．π B．3π C．6π D．12π
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，直线与两坐标轴相交于两点，点 为线段 上的动点，连结，过点 作 垂直于直线，垂足为 ，当点从点运动到点时，则点经过 的路径长为__________．

14．如图，△ABC的外心的坐标是____.

15．如图，已知∠AOB＝30°，在射线OA上取点O1，以点O1为圆心的圆与OB相切；在射线O1A上取点O2，以点O2为圆心，O2O1为半径的圆与OB相切；在射线O2A上取点O3，以点O3为圆心，O3O2为半径的圆与OB相切……，若⊙O1的半径为1，则⊙On的半径是______________．

16．如图，在轴的正半轴上依次截取……，过点、、、、……，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点、、、、……，得直角三角形、，，，……，并设其面积分别为、、、、……，则__．的整数）.

17．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB＝3，则△AEC的面积为_____．

18．如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为________．

三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点P(n，2)，与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，点A与点B关于y轴对称．
（1）求一次函数，反比例函数的表达式；
（2）求证：点C为线段AP的中点；
（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形．如果存在，说明理由并求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

20．（8分）如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝的图象交于点C，D，CE⊥x轴于点E，．

（1）求反比例函数的表达式与点D的坐标；
（2）以CE为边作▱ECMN，点M在一次函数y＝x﹣1的图象上，设点M的横坐标为a，当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时，求a的取值范围．
21．（8分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC, AB上，且∠ADE=60°.求证：△ADC~△DEB．

22．（10分）如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆顶点A的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰角为60°，求旗杆AB的高度．

23．（10分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，若，且AC=14，求DE的长.

24．（10分）计算：2cos45°﹣tan60°+sin30°﹣tan45°
25．（12分）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A（－1，0），与y轴交于点B（0，2），直线y＝x－1与y轴交于点C，与x轴交于点D，点P是线段CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF垂直x轴于点F，交直线CD于点E，

（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，当线段PE的长取最大值时，解答以下问题．
①求此时m的值．
②设Q是平面直角坐标系内一点，是否存在以P、Q、C、D为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26．已知关于的方程。
（1）若该方程的一个根是，求的值及该方程的另一个根；
（2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】由函数是二次函数得到a-1≠0即可解题.
【详解】解：∵是二次函数,
∴a-1≠0,
解得：a≠1,
故选你D.
【点睛】
本题考查了二次函数的概念,属于简单题,熟悉二次函数的定义是解题关键.
2、D
【解析】试题分析：正弦的定义：正弦
由题意得，故选D.
考点：锐角三角函数的定义
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握正弦的定义，即可完成.
3、C
【解析】试题分析：俯视图是从物体上面看，所得到的图形．从几何体的上面看所得到的图形是两个同心圆.
故选C．
考点：简单几何体的三视图
4、D
【分析】连接OE,延长EO交 CD于点G，作于点H,通过旋转的性质和添加的辅助线得到四边形和都是矩形，利用勾股定理求出的长度，最后利用垂径定理即可得出答案．
【详解】连接OE,延长EO交 CD于点G，作于点H

则
∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为

∴四边形和都是矩形，

∵四边形都是矩形

即

故选：D．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质，勾股定理及垂径定理，掌握矩形的性质，勾股定理及垂径定理是解题的关键．
5、C
【分析】根据黄金分割公式即可求出.
【详解】∵线段，是线段的黄金分割点，
当，
∴；
当，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
此题考查黄金分割的公式，熟记公式是解题的关键.
6、B
【解析】试题分析：∵DE：EA=3：4，∴DE：DA=3：3，∵EF∥AB，∴，∵EF=3，∴，解得：AB=3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=3．故选B．
考点：3．相似三角形的判定与性质；3．平行四边形的性质．
7、C
【解析】解: 当x<0时，①y=−x，③，④ y随x的增大而减小；
②y=x，y随x的增大而增大.
故选C.
8、A
【分析】对于开口向下的二次函数，在对称轴的右侧为减函数.
【详解】解：∵二次函数y=
∴对称轴是x=−,函数开口向下，
而对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∵-1＜x1＜x2＜x1，
∴y1，y2，y1的大小关系是y1＞y2＞y1．
故选：A．
考点：二次函数的性质
9、D
【分析】根据比例的性质逐个判断即可．
【详解】解：由得，2a=3b,
A、∵，∴2b=3a，故本选项不符合题意；
B、∵，∴3a=2b，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了比例的性质，能熟记比例的性质是解此题的关键，如果，那么ad=bc．
10、B
【分析】连接OB，由切线的性质可得∠OBA=90°，结合已知条件可求出∠A=30°，因为AB的长已知，所以⊙O的半径可求出．
【详解】连接OB，
∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵OC⊥OA，∠OCB＝15°，
∴∠CDO＝∠ADO＝75°，
∵OC＝OB，
∴∠C＝∠OBD＝15°，
∴∠ABD＝75°，
∴∠ADB＝∠ABD＝75°，
∴∠A＝30°，
∴BO＝AO，
∵AB＝2，
∴BO2+AB2＝4OB2，
∴BO＝2，
∴⊙O的半径为2，
故选：B．

【点睛】
本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，求出∠A=30°，是解题的关键．
11、C
【分析】由抛物线开口方向可得到a＞0；由抛物线过原点得c=0；根据顶点坐标可得到函数的最小值为-3；根据当x＜0时，抛物线都在x轴上方，可得y＞0；由图示知：0＜x＜2，y随x的增大而减小；
【详解】解：①由函数图象开口向上可知，，故此选项正确；
②由函数的图像与轴的交点在可知，，故此选项正确；
③由函数的图像的顶点在可知，函数的最小值为，故此选项正确；
④因为函数的对称轴为，与轴的一个交点为，则与轴的另一个交点为，所以当时，，故此选项正确；
⑤由图像可知，当时，随着的值增大而减小，所以当时，，故此选项错误；
其中正确信息的有①②③④．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=，；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
12、D
【解析】根据题意得出△COB是等边三角形，进而得出CD⊥AB，再利用垂径定理以及锐角三角函数关系得出CO的长，进而结合扇形面积求出答案．
【详解】解：连接BC，

∵∠CDB=30°，
∴∠COB=60°，
∴∠AOC=120°，
又∵CO=BO，
∴△COB是等边三角形，
∵E为OB的中点，
∴CD⊥AB，
∵CD=6，
∴EC=3，
∴sin60°×CO=3，
解得：CO=6，
故阴影部分的面积为：=12π．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了垂径定理以及锐角三角函数和扇形面积求法等知识，正确得出CO的长是解题关键．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】根据直线与两坐标轴交点坐标的特点可得A、B两点坐标，由题意可得点M的路径是以AB的中点N为圆心，AB长的一半为半径的，求出的长度即可．
【详解】解：∵AM垂直于直线BP，
∴∠BMA=90°，
∴点M的路径是以AB的中点N为圆心，AB长的一半为半径的，
连接ON，
∵直线y=-x+4与两坐标轴交A、B两点，
∴OA=OB=4，
∴ON⊥AB，
∴∠ONA=90°，
∵在Rt△OAB中，AB= ，
∴ON= ，
∴
故答案为：．

【点睛】
本题考查了一次函数的综合题，涉及了两坐标轴交点坐标及点的运动轨迹，难点在于根据∠BMA=90°，判断出点M的运动路径是解题的关键，同学们要注意培养自己解答综合题的能力．
14、
【解析】试题解析：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴作图得：

∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
15、2n−1
【分析】
作O1C、O2D、O3E分别⊥OB，易找出圆半径的规律，即可解题．
【详解】
解：作O1C、O2D、O3E分别⊥OB，

∵∠AOB＝30°，
∴OO1＝2CO1，OO2＝2DO2，OO3＝2EO3，
∵O1O2＝DO2，O2O3＝EO3，
∴圆的半径呈2倍递增，
∴⊙On的半径为2n−1 CO1，
∵⊙O1的半径为1，
∴⊙O10的半径长＝2n−1，
故答案为：2n−1．
【点睛】
本题考查了圆切线的性质，考查了30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中找出圆半径的规律是解题的关键．
16、
【解析】根据反比例函数y=中k的几何意义再结合图象即可解答．
【详解】∵过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值,S=|k|.
∴=1, =1，
∵O =，
∴==，
同理可得,=1 = = ==.
故答案是：.
【点睛】
本题考查反比例函数系数k的几何意义.
17、
【分析】先求出∠ACD=30°，进而可算出CE、AD，再算出△AEC的面积．
【详解】如图，

由旋转的性质可知：AC=AC'，
∵D为AC'的中点，
∴AD=，
∵ABCD是矩形，
∴AD⊥CD，
∴∠ACD=30°，
∵AB∥CD，
∴∠CAB=30°，
∴∠C'AB'=∠CAB=30°，
∴∠EAC=30°，
∴AE=EC，
∴DE=，
∴CE=，
DE=，
AD=，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、矩形的性质、直角三角形中30度角的性质，三角形面积计算等知识点，难度不大．清楚旋转的“不变”特性是解答的关键．
18、直线x＝2
【解析】试题分析：∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，
∴这两点一定关于对称轴对称，
∴对称轴是：x==1
考点: 二次函数的性质

三、解答题（共78分）
19、（1）y＝x＋1；y＝（2）证明见解析；（3）存在，D（8，1）．
【分析】（1）由点A与点B关于y轴对称，可得AO＝BO，再由A的坐标求得B点的坐标，从而求得点P的坐标，将P坐标代入反比例解析式求出m的值，即可确定出反比例解析式，将A与P坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，确定出一次函数解析式；
(2)由AO＝BO，PB∥CO，即可证得结论 ；
（3）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，过点C作CD平行于x轴，交PB于点E，交反比例函数y＝ 的图象于点D，分别连结PD、BD，如图所示，即可得点D（8，1）， BP⊥CD，易证PB与CD互相垂直平分，即可得四边形BCPD为菱形，从而得点D的坐标．
【详解】解：（1）∵点A与点B关于y轴对称，
∴AO＝BO，
∵A(－4，0)，
∴B(4，0)，
∴P(4，2),
把P(4，2)代入y＝得m＝8，
∴反比例函数的解析式：y＝
把A(－4，0)，P(4，2)代入y＝kx＋b
得：，解得：，
所以一次函数的解析式：y＝x＋1；
（2）∵点A与点B关于y轴对称，
∴OA=OB
∵PB丄x轴于点B，
∴∠PBA=90°，
∵∠COA=90°，
∴PB∥CO，
∴点C为线段AP的中点.
（3）存在点D，使四边形BCPD为菱形
∵点C为线段AP的中点，
∴BC=，
∴BC和PC是菱形的两条边
由y＝x＋1，可得点C(0，1)，
过点C作CD平行于x轴，交PB于点E，交反比例函数y＝的图象于点D，
分别连结PD、BD，

∴点D（8，1）， BP⊥CD
∴PE＝BE＝1，
∴CE＝DE＝4，
∴PB与CD互相垂直平分，
∴四边形BCPD为菱形．
∴点D（8，1）即为所求．
20、（1）D（﹣3，﹣4）；（1）当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时4＜a≤6或﹣3＜a≤﹣1．
【分析】（1）利用待定系数法以及等腰直角三角形的性质求出EC，OE即可解决问题．
（1）如图，设M（a，a﹣1），则N（a，），由EC＝MN构建方程求出特殊点M的坐标即可判断．
【详解】解：（1）由题意A（1，0），B（0，﹣1），
∴OA＝OB＝1，
∴∠OAB＝∠CAE＝45°
∵AE＝3OA，
∴AE＝3，
∵EC⊥x轴，
∴∠AEC＝90°，
∴∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴EC＝AE＝3，
∴C（4，3），
∵反比例函数y＝经过点C（4，3），
∴k＝11，
由，解得或，
∴D（﹣3，﹣4）．
（1）如图，设M（a，a﹣1），则N（a，）

∵四边形ECMN是平行四边形，
∴MN＝EC＝3，
∴|a﹣1﹣|＝3，
解得a＝6或﹣1或﹣1±（舍弃），
∴M（6，5）或（﹣1，﹣3），
观察图象可知：当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时4＜a≤6或﹣3＜a≤﹣1．
【点睛】
考核知识点：反比例函数与一次函数.数形结合，解方程组求图象交点，根据图象分析问题是关键.
21、见解析
【解析】根据等边三角形性质得∠B=∠C，根据三角形外角性质得∠CAD=∠BDE,易证.
【详解】证明：ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°,
∴∠ADB=∠CAD+∠C= ∠CAD+60°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB=∠BDE+60°,
∴∠CAD=∠BDE,
∴
【点睛】
考核知识点：相似三角形的判定.根据等边三角形性质和三角形外角确定对应角相等是关键.
22、（16+5）米．
【详解】设AG=x．在Rt△AFG中，
∵tan∠AFG=，
∴FG=，在Rt△ACG中，
∵∠GCA=45°，
∴CG=AG=x，
∵DE=10，
∴x﹣=10，解得：x=15+5，
∴AB=15+5+1=16+5（米）．
答：电视塔的高度AB约为(16+5)米．

考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
23、DE =8.
【分析】先根据角平分线的性质和平行线的性质证得，再根据平行线分线段成比例即可得.
【详解】如图，CD平分

又
，即

故DE的长为8.

【点睛】
本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例，通过等角对等边证出是解题关键.
24、-
【分析】将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案．
【详解】解：原式=2×﹣+﹣×1
=-
【点睛】
此题考查特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键．
25、（1）y＝﹣x1+x+1；（1）①m＝；②存在以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为
【分析】（1）由题意利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；
（1）①由题意分别用含m的代数式表示出点P，E的纵坐标，再用含m的代数式表示出PE的长，运用函数的思想即可求出其最大值；
②根据题意对以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形分三种情况进行讨论与分析求解.
【详解】解：（1）将A（﹣1，0），B（0，1）代入y＝﹣x1+bx+c，得：
，解得：b=1,c=1
∴抛物线的解析式为y＝﹣x1+x+1．
（1）①∵直线y＝ x-1与y轴交于点C，与x轴交于点D，
∴点C的坐标为（0，-1），点D的坐标为（1，0），
∴0＜m＜1．
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为（m，﹣m1+m+1），点E的坐标为（m， m+3），
∴PE＝﹣m1+m+1﹣（ m+3）＝﹣m1+m+3＝﹣（m﹣）1+．
∵﹣1＜0，0＜＜1，
∴当m＝时，PE最长．
②由①可知，点P的坐标为（，）．
以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形分三种情况（如图所示）：

①以PD为对角线，点Q的坐标为；

②以PC为对角线，点Q的坐标为；

③以CD为对角线，点Q的坐标为．
综上所述：在（1）的情况下，存在以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为.
【点睛】
本题考查二次函数图像的综合问题，解题关键是熟练掌握待定系数法求解析式、函数的思想求最大值以及平行四边形的性质及平移规律等知识．
26、 (1) 、；（2）见解析
【分析】（1）将代入方程，求得a的值，再将a的值代入即可；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
【详解】（1）将代入方程，得：，
解得：，
将代入原方程，整理可得：，
解得：或，
∴该方程的另一个根1.
（2）∵，
∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
【点睛】
此题考查根的判别式，解题关键在于掌握计算公式运算法则.