初二上学期压轴题强化数学综合试题含答案.doc
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初二上学期压轴题强化数学综合试题含答案 1、如图,在平面直角坐标系中,A(a,0),B(0,b),且|a+4|+b2﹣86+16=0. (1)求a,b的值; (2)如图1,c为y轴负半轴上一点,连CA,过点C作CD⊥CA,使CD=CA,连BD.求证:∠CBD=45°; (3)如图2,若有一等腰Rt△BMN,∠BMN=90°,连AN,取AN中点P,连PM、PO.试探究PM和PO的关系. 2、已知ABC中,∠BAC=60°,以AB和BC为边向外作等边ABD和等边BCE. (1)连接AE、CD,如图1,求证:AE=CD; (2)若N为CD中点,连接AN,如图2,求证:CE=2AN (3)若AB⊥BC,延长AB交DE于M,DB=,如图3,则BM=_______(直接写出结果) 3、如图,在△ABC中,点D为直线BC上一动点,∠DAE=90°,AD=AE. (1)如果∠BAC=90°,AB=AC. ①如图1,当点D在线段BC上时,线段CE与BD的位置关系为__________,数量关系为__________; ②如图2,当点D在线段BC的延长线上时,①中的结论是否仍然成立?请说明理由; (2)如图3,若△ABC是锐角三角形,∠ACB=45°,当点D在线段BC上运动时,证明:CE⊥BD. 4、如图,等边中,点在上,延长到,使,连,过点作与点. (1)如图1,若点是中点, 求证:①;②. (2)如图2,若点是边上任意一点,的结论是否仍成立?请证明你的结论; (3)如图3,若点是延长线上任意一点,其他条件不变,的结论是否仍成立?画出图并证明你的结论. 5、若整式A只含有字母x,且A的次数不超过3次,令,其中a,b,c,d为整数,在平面直角坐标系中,我们定义:M为整式A的关联点,我们规定次数超过3次的整式没有关联点.例如,若整式,则a=0,b=2,c=-5,d=4,故A的关联点为(-5,-11). (1)若,试求出A的关联点坐标; (2)若整式B是只含有字母x的整式,整式C是B与的乘积,若整式C的关联点为(6,15),求整式B的表达式. (3)若整式D=x-2,整式E是只含有字母x的一次多项式,整式F是整式D与整式E的平方的乘积,若整式F的关联点为(-32,0),请直接写出整式E的表达式. 6、阅读下列材料,完成相应任务. 数学活动课上,老师提出了如下问题: 如图1,已知中,是边上的中线. 求证:. 智慧小组的证法如下: 证明:如图2,延长至,使, ∵是边上的中线∴ 在和中 ∴(依据一)∴ 在中,(依据二) ∴. 任务一:上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指: 依据1:______________________________________________; 依据2:______________________________________________. 归纳总结:上述方法是通过延长中线,使,构造了一对全等三角形,将,,转化到一个三角形中,进而解决问题,这种方法叫做“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系. 任务二:如图3,,,则的取值范围是_____________; 任务三:如图4,在图3的基础上,分别以和为边作等腰直角三角形,在中,,;中,,.连接.试探究与的数量关系,并说明理由. 7、方法探究: 已知二次多项式,我们把代入多项式,发现,由此可以推断多项式中有因式(x+3).设另一个因式为(x+k),多项式可以表示成,则有,因为对应项的系数是对应相等的,即,解得,因此多项式分解因式得:.我们把以上分解因式的方法叫“试根法”. 问题解决: (1)对于二次多项式,我们把x= 代入该式,会发现成立; (2)对于三次多项式,我们把x=1代入多项式,发现,由此可以推断多项式中有因式(),设另一个因式为(),多项式可以表示成,试求出题目中a,b的值; (3)对于多项式,用“试根法”分解因式. 8、以点为顶点作等腰,等腰,其中,如图1所示放置,使得一直角边重合,连接、. (1)试判断、的数量关系,并说明理由; (2)延长交于点试求的度数; (3)把两个等腰直角三角形按如图2放置,(1)、(2)中的结论是否仍成立?请说明理由. 【参考答案】 1、(1)a=﹣4,b=4;(2)见解析;(3)MP=OP,MP⊥OP,理由见解析 【分析】(1)先利用完全平方公式将a和b的式子化成绝对值与平方数之和的形式,再利用绝对值的非负数和平方数的非负性即可; 【解析】(1)a=﹣4,b=4;(2)见解析;(3)MP=OP,MP⊥OP,理由见解析 【分析】(1)先利用完全平方公式将a和b的式子化成绝对值与平方数之和的形式,再利用绝对值的非负数和平方数的非负性即可; (2)如图1(见解析),作于E.易证,由三角形全等的性质得,再证明是等腰直角三角形即可; (3)如图2(见解析),延长MP至Q,使得,连接AQ,OQ,OM,延长MN交AO于C.证出和,再利用全等三角形的性质证明是等腰直角三角形即可. 【详解】(1) 由绝对值的非负性和平方数的非负性得: 解得:; (2)如图1,作于E 是等腰直角三角形, ; (3)如图2,延长MP至Q,使得,连接AQ,OQ,OM,延长MN交AO于C ∴ ∵在四边形MCOB中, 是等腰直角三角形 ∴ 是等腰直角三角形 . 【点睛】本题考查了绝对值的非负数和平方数的非负性、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质,熟练掌握这些定理与性质是解题关键. 2、(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】(1)先判断出∠DBC=∠ABE,进而判断出△DBC≌△ABE,即可得出结论; (2)先判断出△ADN≌△FCN,得出CF=AD,∠NCF=∠AND,进而 【解析】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】(1)先判断出∠DBC=∠ABE,进而判断出△DBC≌△ABE,即可得出结论; (2)先判断出△ADN≌△FCN,得出CF=AD,∠NCF=∠AND,进而判断出∠BAC=∠ACF,即可判断出△ABC≌△CFA,即可得出结论; (3)先判断出△ABC≌△HEB(ASA),得出,,再判断出△ADM≌△HEM (AAS),得出AM=HM,即可得出结论. (1) 解:∵△ABD和△BCE是等边三角形, ∴BD=AB,BC=BE,∠ABD=∠CBE=60°, ∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC, ∴∠DBC=∠ABE, ∴△ABE≌△DBC(SAS), ∴AE=CD; (2) 解:如图,延长AN使NF=AN,连接FC, ∵N为CD中点, ∴DN=CN, ∵∠AND=∠FNC, ∴△ADN≌△FCN(SAS), ∴CF=AD,∠NCF=∠AND, ∵∠DAB=∠BAC=60° ∴∠ACD +∠ADN=60° ∴∠ACF=∠ACD+∠NCF=60°, ∴∠BAC=∠ACF, ∵△ABD是等边三角形, ∴AB=AD, ∴AB=CF, ∵AC=CA, ∴△ABC≌△CFA (SAS), ∴BC=AF, ∵△BCE是等边三角形, ∴CE=BC=AF=2AN; (3) 解: ∵△ABD是等边三角形, ∴,∠BAD=60°, 在Rt△ABC中,∠ACB=90°-∠BAC=30°, ∴, 如图,过点E作EH // AD交AM的延长线于H, ∴∠H=∠BAD=60°, ∵△BCE是等边三角形, ∴BC=BE,∠CBE=60°, ∵∠ABC=90°, ∴∠EBH=90°-∠CBE=30°=∠ACB, ∴∠BEH=180°-∠EBH-∠H=90°=∠ABC, ∴△ABC≌△HEB (ASA), ∴,, ∴AD=EH, ∵∠AMD=∠HME, ∴△ADM≌△HEM (AAS), ∴AM=HM, ∴ ∵,, ∴. 故答案为:. 【点睛】此题是三角形综合题,主要考查了等边三角形的性质,含30°角的直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,构造出全等三角形是解本题的关键. 3、(1)①CE⊥BD;CE=BD;②结论仍成立,理由见解析; (2)证明见解析. 【分析】(1)①根据∠BAD=∠CAE,BA=CA,AD=AE,运用“SAS”证明△ABD≌△ACE,根据全等三角形性 【解析】(1)①CE⊥BD;CE=BD;②结论仍成立,理由见解析; (2)证明见解析. 【分析】(1)①根据∠BAD=∠CAE,BA=CA,AD=AE,运用“SAS”证明△ABD≌△ACE,根据全等三角形性质得出对应边相等,对应角相等,即可得到线段CE、BD之间的关系; ②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE,再根据全等三角形性质得出对应边相等,对应角相等,即可得到①中的结论仍然成立; (2)先过点A作AG⊥AC交BC于点G,画出符合要求的图形,再结合图形判定△GAD≌△CAE,得出对应角相等,即可得出结论. (1) ①∵∠BAD=90°-∠DAC,∠CAE=90°-∠DAC, ∴∠BAD=∠CAE. 又 BA=CA,AD=AE, ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴∠ACE=∠B=45°,CE=BD. ∵∠ACB=∠B=45°, ∴∠ECB=45°+45°=90°, 即 CE⊥BD. 故答案为:CE⊥BD;CE=BD. ②当点D在BC的延长线上时,①的结论仍成立. ∵∠DAE=90°,∠BAC=90°, ∴∠DAE=∠BAC, ∴∠DAB=∠EAC, 又AB=AC,AD=AE, ∴△DAB≌△EAC(SAS), ∴CE=BD,∠ACE=∠ABD. ∵∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠ABC=45°, ∴∠ACE=45°, ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°, 即 CE⊥BD; (2) 证明:过点A作AG⊥AC交BC于点G, ∵∠ACB=45°, ∴∠AGC=45°, ∴AC=AG, 即△ACG是等腰直角三角形, ∵∠GAD+∠DAC=90°=∠CAE+∠DAC, ∴∠GAD=∠CAE, 又∵DA=EA, ∴△GAD≌△CAE(SAS), ∴∠ACE=∠AGD=45°, ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°, 即CE⊥BD. 【点睛】此题为三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形,根据全等三角形的对应边相等,对应角相等进行求解. 4、(1)①见解析;②见解析 (2)成立,见解析 (3)成立,见解析 【分析】(1)证明,推出,利用等腰三角形的性质,可得结论; (2) 仍然成立,过点D作DM//BC交AC于M,证明,可得结论; (3 【解析】(1)①见解析;②见解析 (2)成立,见解析 (3)成立,见解析 【分析】(1)证明,推出,利用等腰三角形的性质,可得结论; (2) 仍然成立,过点D作DM//BC交AC于M,证明,可得结论; (3)结论仍然成立,过点D作DM//BC交AC于M,证明,可得结论. (1) 证明:如图 ①∵为等边三角形, ∴, 又为中点, ∴ , ∵, ∴ , ∴, ∴; ②∵, ∴为等腰三角形, ∵, ∴. (2) 仍然成立,理由如下: 如图,过点D作DM//BC交AC于M ∵为等边三角形, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴,为等边三角形, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, 在和中, , ∴, ∴, 而, ∴. (3) 的结论仍然成立,理由如下:如图为所求作图. 作交的延长线于, 易证为等边三角形, ,, 而, ∴, ∵,, ∴, ∵,, ∴, 在和中, , ∴, ∴, ∵, ∴. 【点睛】本题属于三角形的综合题,考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,解题的关键是学会添加适当的辅助线,构造全等三角形解决问题. 5、(1) (2) (3)或 【分析】(1)根据整式得出,,,,根据关联点的定义得出,,即可得出的关联点坐标; (2)根据题意得出中的次数为次,设 ,计算出,进而表达出,,,的值,再根据的关联点为, 【解析】(1) (2) (3)或 【分析】(1)根据整式得出,,,,根据关联点的定义得出,,即可得出的关联点坐标; (2)根据题意得出中的次数为次,设 ,计算出,进而表达出,,,的值,再根据的关联点为,列出关于 , 的等式,解出、的值即可; (3)设,根据题意求出,进而表达出,,,的值,再根据的关联点为,列出关于,的等式,解出、的值即可. (1) 解:(1), ,,,, ,, 的关联点坐标为:, 故笞案为:; (2) 整式是只含有字母的整式,整式是与的乘积, 是二次多项式,且的次数不能超过次, 中的次数为次, 设 , , ,,,, 整式的关联点为, ,, 解得:,, ; (3) 根据题意:设, , ,,,, 整式 的关联点为, ,, ,, , 把代入得: , 解得: , 或, 或. 【点睛】本题主要考查整式的乘法,掌握整式的乘法是解决问题的关键. 6、任务一:依据1:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(或“边角边”或“SAS”);依据2:三角形两边的和大于第三边;任务二:;任务三:EF=2AD,见解析 【分析】任务一:依据1:根据全等的判定 【解析】任务一:依据1:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(或“边角边”或“SAS”);依据2:三角形两边的和大于第三边;任务二:;任务三:EF=2AD,见解析 【分析】任务一:依据1:根据全等的判定方法判断即可; 依据2:根据三角形三边关系判断; 任务二:可根据任务一的方法直接证明即可; 任务三:根据任务一的方法,延长中线构造全等三角形证明线段关系即可. 【详解】解:任务一: 依据1:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(或“边角边”或“SAS”); 依据2:三角形两边的和大于第三边. 任务二: 任务三:EF=2AD.理由如下: 如图延长AD至G,使DG=AD, ∵AD是BC边上的中线 ∴BD=CD 在△ABD和△CGD中 ∴△ABD≌△CGD ∴AB=CG,∠ABD=∠GCD 又∵AB=AE ∴AE=CG 在△ABC中,∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°, ∴∠GCD+∠BAC+∠ACB=180° 又∵∠BAE=90°,∠CAF=90° ∴∠EAF+∠BAC=360°-(∠BAE+∠CAF)=180° ∴∠EAF=∠GCD 在△EAF和△GCA中 ∴△EAF≌△GCA ∴EF=AG ∴EF=2AD. 【点睛】此题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,倍长中线法,构造全等三角形是解本题的关键. 7、(1)±2 (2)a=0,b=-3; (3) 【分析】(1)将x=±2代入即可; (2)由题意得x3-x2-3x+3=x3-(1-a)x2-(a-b)x-b,再由系数关系求a、b即可; (3)多项式 【解析】(1)±2 (2)a=0,b=-3; (3) 【分析】(1)将x=±2代入即可; (2)由题意得x3-x2-3x+3=x3-(1-a)x2-(a-b)x-b,再由系数关系求a、b即可; (3)多项式有因式(x-2),设另一个因式为(x2+ax+b),则x3+4x2-3x-18=x3+(a-2)x2-(2a-b)x-2b,再由系数关系求a、b即可. (1) 解:当x=±2时,x2-4=0, 故答案为:±2; (2) 解:由题意可知x3-x2-3x+3=(x-1)(x2+ax+b), ∴x3-x2-3x+3=x3-(1-a)x2-(a-b)x-b, ∴1-a=1,b=-3, ∴a=0,b=-3; (3) 解:当x=2时,x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0, ∴多项式有因式(x-2), 设另一个因式为(x2+ax+b), ∴x3+4x2-3x-18=(x-2)(x2+ax+b), ∴x3+4x2-3x-18=x3+(a-2)x2-(2a-b)x-2b, ∴a-2=4,2b=18, ∴a=6,b=9, ∴x3+4x2-3x-18=(x-2)(x2+6x+9)=(x-2)(x+3)1、 【点睛】本题考查因式分解的意义,理解“试根法”的本质,多项式乘多项式的正确展开是解题的关键. 8、(1)BD=CE,理由见解析;(2)90°;(3)成立,理由见解析. 【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC,∠BAD=∠EAC=90°,AD=AE,利用“SAS”可证明△ADB≌△A 【解析】(1)BD=CE,理由见解析;(2)90°;(3)成立,理由见解析. 【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC,∠BAD=∠EAC=90°,AD=AE,利用“SAS”可证明△ADB≌△AEC,则BD=CE; (2)由△ADB≌△AEC得到∠ACE=∠DBA,利用三角形内角和定理可得到∠BFC=180°-∠ACE-∠CDF=180°-∠DBA-∠BDA=∠DAB=90°; (3)与(1)一样可证明△ADB≌△AEC,得到BD=CE,∠ACE=∠DBA,利用三角形内角和定理得到∠BFC=∠DAB=90°. 【详解】(1)∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形, ∴AB=AC,∠BAD=∠EAC=90°,AD=AE, ∵在△ADB和△AEC中, ∴△ADB≌△AEC(SAS),∴BD=CE; (2)∵△ADB≌△AEC,∴∠ACE=∠ABD, 而在△CDF中,∠BFC=180°-∠ACE-∠CDF, 又∵∠CDF=∠BDA, ∴∠BFC=180°-∠DBA-∠BDA=∠DAB=90°; (3)BD=CE成立,且两线段所在直线互相垂直,即∠BFC=90°.理由如下: ∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形, ∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD=90°, ∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD, ∴∠BAD=∠CAE, 在△ADB和△AEC中, , ∴△ADB≌△AEC(SAS), ∴BD=CE,∠ACE=∠DBA, ∴∠BFC=∠DAB=90°. 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质.判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”,熟知判定方法并根据题目条件选择合适的方法进行解答.- 配套讲稿:
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