广东省东莞市智升学校2022-2023学年数学九年级第一学期期末质量检测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．一块圆形宣传标志牌如图所示，点，，在上，垂直平分于点，现测得，，则圆形标志牌的半径为（ ）

A． B． C． D．
2．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在四边形ABCD中，ADBC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB，若DG＝3，EC＝1，则DE的长为( )

A．2 B． C．2 D．
5．如图，已知的三个顶点均在格点上，则的值为（ ）

A． B． C． D．
6．把中考体检调查学生的身高作为样本，样本数据落在1.6～2.0（单位：米）之间的频率为0.28，于是可估计2000名体检中学生中，身高在1.6～2.0米之间的学生有（ ）
A．56 B．560 C．80 D．150
7．某药品原价每盒28元，为响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，设该药品平均每次降价的百分率是x，由题意，所列方程正确的是(　　)
A．28(1－2x)＝16 B．16(1+2x)＝28 C．28(1－x)2＝16 D．16(1+x)2＝28
8．如图所示，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与y轴的一个交点坐标为(0，3)，其部分图象如图所示，下列5个结论中，其中正确的是（ ）
①abc＞0；②4a+c＞0；③方程ax²+bx+c=3两个根是=0，=2；④方程ax²+bx+c=0有一个实数根大于2；⑤当x＜0，y随x增大而增大

A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图，在矩形中，于，设，且，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
10．完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n、m的大矩形，则图中阴影部分的周长是（　　）

A．6（m﹣n） B．3（m+n） C．4n D．4m
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．方程的两根为，，则= ．
12．分式方程的解为______________.
13．在中，，，，将沿轴依次以点、、为旋转中心顺时针旋转，分别得到图?、图②、…，则旋转得到的图2018的直角顶点的坐标为________．

14．已知关于x的一元二次方程(k－1)x2＋x＋k2－1＝0有一个根为0，则k的值为________．
15．如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB=4，则阴影部分的面积是______.

16．某人沿着有一定坡度的坡面前进了6米，此时他在垂直方向的距离上升了2米，则这个坡面的坡度为_____．

17．如图，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，则的面积为_______．

18．如图，将绕着点顺时针旋转后得到，若，，则的度数是__________．

三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120 mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形PQMN的边QM在BC上，其余两个项点P，N分别在AB，AC上．

（1）当矩形的边PN=PQ时，求此时矩形零件PQMN的面积；
（2）求这个矩形零件PQMN面积S的最大值．
20．（6分）已知反比例函数y＝(m为常数)的图象在第一、三象限
(1)求m的取值范围；
(2)如图，若该反比例函数的图象经过平行四边形ABOD的顶点D，点A、B的坐标分别为(0，3)，(－2，0)．求出函数解析式.

21．（6分）解方程：
(1)x2+3＝4x
(2)3x（x-3）＝-4
22．（8分）测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°(参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2)．
(1)若已知CD＝20米，求建筑物BC的高度；
(2)若已知旗杆的高度AB＝5米，求建筑物BC的高度．

23．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，点E在AD边上，且AE=8，EF⊥BE交CD于F
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）求EF的长．

24．（8分）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡比DE:EC=1：，高为DE，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为64°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中A、C、E在同一直线上．
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度；（参考数据：sin64°≈0.9，tan64°≈2）．

25．（10分）如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．
（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；
（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求：
①为何值时为等腰三角形；
②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．

26．（10分）用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】连结，，设半径为r，根据垂径定理得 ，在中，由勾股定理建立方程，解之即可求得答案.
【详解】连结，，如图，设半径为，

∵，，
∴，点、、三点共线，
∵，
∴，
在中，
∵，，
即，
解得，
故选B.
【点睛】
本题考查勾股定理，关键是利用垂径定理解答．
2、D
【分析】用直接开平方法解方程，然后根据平方根的意义求得m的取值范围.
【详解】解：

∵关于的方程有实数根
∴
故选：D
【点睛】
本题考查直接开平方法解方程，注意负数没有平方根是本题的解题关键.
3、B
【分析】根据算术平方根、绝对值的非负性分别解得的值，再计算即可．
【详解】

故选：B．
【点睛】
本题考查二次根式、绝对值的非负性、幂的运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4、C
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质，得到，由三角形外角的性质，可得，再根据平行线的性质和等量关系可得，根据等腰三角形的性质得到ＣＤ＝ＤＧ，最后由勾股定理解题即可．
【详解】

为AF的中点，即DG为斜边AF的中线，

设

在中，

根据勾股定理得，
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5、D
【分析】过B点作BD⊥AC于D，求得AB、AC的长，利用面积法求得BD的长，利用勾股定理求得AD的长，利用锐角三角函数即可求得结果．
【详解】过B点作BD⊥AC于D，如图，

由勾股定理得，
，，
∵，即，
在中，，，，
，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解直角三角形以及勾股定理的运用，面积法求高的运用；熟练掌握勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．
6、B
【分析】由题意根据频率的意义，每组的频率=该组的频数：样本容量，即频数=频率×样本容量．数据落在1.6～2.0（单位：米）之间的频率为0.28，于是2 000名体检中学生中，身高在1.6～2.0米之间的学生数即可求解．
【详解】解：0.28×2000=1．
故选：B．
【点睛】
本题考查频率的意义与计算以及频率的意义，注意掌握每组的频率=该组的频数样本容量．
7、C
【解析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝1，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，则第一次降价后的价格为28×（1﹣x）元，
两次连续降价后的售价是在第一次降价后的价格的基础上降低x，为28×（1﹣x）×（﹣x）元，
则列出的方程是28（1﹣x）2＝1．
故选：C．
8、B
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．
【详解】抛物线开口向下，a＜0，对称轴为直线x＝1＞0，a、b异号，因此b＞0，与y轴交点为（0，3），因此c＝3＞0，于是abc＜0，故结论①是不正确的；
由对称轴为直线x＝− ＝1得2a＋b＝0，当x＝−1时，y＝a−b＋c＜0，所以a＋2a＋c＜0，即3a＋c＜0，又a＜0，4a＋c＜0，故结论②不正确；
当y＝3时，x1＝0，即过（0，3），抛物线的对称轴为直线x＝1，由对称性可得，抛物线过（2，3），因此方程ax2＋bx＋c＝3的有两个根是x1＝0，x2＝2；故③正确；
抛物线与x轴的一个交点（x1，0），且−1＜x1＜0，由对称轴为直线x＝1，可得另一个交点（x2，0），2＜x2＜3，因此④是正确的；
根据图象可得当x＜0时，y随x增大而增大，因此⑤是正确的；
正确的结论有3个，
故选：B．
【点睛】
考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．
9、C
【分析】根据矩形的性质可知：求AD的长就是求BC的长，易得∠BAC=∠ADE，于是可利用三角函数的知识先求出AC，然后在直角△ABC中根据勾股定理即可求出BC，进而可得答案.
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠BAC=90°，BC=AD，∴∠BAC+∠DAE=90°，
∵，∴∠ADE+∠DAE=90°，∴∠BAC=，
在直角△ABC中，∵，，∴，
∴AD=BC=.
故选：C.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理和解直角三角形的知识，属于常考题型，熟练掌握矩形的性质和解直角三角形的知识是解题关键.
10、D
【详解】解：设小长方形的宽为a，长为b，则有b=n-3a，
阴影部分的周长：
2(m-b)+2(m-3a)+2n=2m-2b+2m-6a+2n=4m-2(n-3a)-6a+2n=4m-2n+6a-6a+2n=4m．
故选D．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、．
【解析】试题分析：∵方程的两根为，，∴，，∴===．故答案为．
考点：根与系数的关系．
12、；
【解析】方程两边都乘以（x+2）（x-2）得到x（x+2）-2=（x+2）（x-2），解得x=-1，然后进行检验确定分式方程的解．
【详解】解：
去分母得x（x+2）-2=（x+2）（x-2），
解得x=-1，
检验：当x=-1时，（x+2）（x-2）≠0，
所以原方程的解为x=-1．
故答案为x=-1．
【点睛】
本题考查解分式方程：先去分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，然后把整式方程的解代入分式方程进行检验，最后确定分式方程的解．
13、 (8072,0)
【分析】利用勾股定理得到AB的长度，结合图形可求出图③的直角顶点的坐标；根据图形不难发现，每3个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合．
【详解】∵∠AOB=90°，OA=3，OB=4，
∴AB===5，
∴旋转得到图③的直角顶点的坐标为(12,0)；
根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4=12，
因为2018÷3=672…2
所以图2018的直角顶点在x轴上，横坐标为672×12+3+5=8072，
所以图2018的顶点坐标为(8072,0)，
故答案是：(8072,0).
【点睛】
本题考查了旋转的性质与规律的知识点，解题的关键是根据点的坐标找出规律.
14、－1
【解析】把x=0代入方程得k2-1=0，解得k=1或k=-1，
而k-1≠0，
所以k=-1，
故答案为：-1．
15、
【分析】作辅助线证明△AOD≌△DOE≌△EOB≌△CDE,且都为等边三角形,利用等边三角形面积公式S=即可解题.
【详解】解：连接DE,OD,OE,
在圆中,OA=OD=OE=OB,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°,
∴△AOD≌△DOE≌△EOB≌△CDE,且都为等边三角形,
∵AB=4,即OA=OD=OE=OB=2,
易证阴影部分面积=S△CDE==.

【点睛】
本题考查了圆的性质,等边三角形的判定和面积公式,属于简单题,作辅助线证明等边三角形是解题关键.
16、
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再根据坡度的定义即可得．
【详解】由题意得：米，米，，
在中，（米），
则这个坡面的坡度为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理、坡度的定义，掌握理解坡度的定义是解题关键．
17、8
【分析】过点B'作B'E⊥AC于点E，由题意可证△ABC≌△B'AE，可得AC=B'E=4，即可求△AB'C的面积．
【详解】解：如图：过点B'作B'E⊥AC于点E

∵旋转 ∴AB=AB'，∠BAB'=90°
∴∠BAC+∠B'AC=90°，且∠B'AC+∠AB'E=90°
∴∠BAC=∠AB'E，且∠AEB'=∠ACB=90°，AB=AB'
∴△ABC≌△B'AE（AAS）
∴AC=B'E=4
∴S△AB'C=
故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用旋转的性质解决问题是本题的关键．
18、
【分析】根据旋转的性质，得到，，利用三角形内角和定理，得到，即可得到答案.
【详解】解：将绕着点顺时针旋转后得到，
∴，，
∴，
∴.
故答案为：20°.
【点睛】
本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，以及角的和差问题，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，正确求出角的度数.

三、解答题(共66分)
19、（1）矩形零件PQMN的面积为2304mm2;（2）这个矩形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2.
【分析】（1）设PQ=xmm，则AE=AD-ED=80-x，再证明△APN∽△ABC，利用相似比可表示出,根据正方形的性质得到（80-x）=x,求出x的值，然后结合正方形的面积公式进行解答即可．
（2）由（1）可得，求此二次函数的最大值即可．
【详解】解：（1）设PQ=xmm，
易得四边形PQDE为矩形，则ED=PQ=x，
∴AE=AD-ED=80-x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
，
即，
，
∵PN=PQ，
，
解得x=1．
故正方形零件PQMN面积S=1×1=2304（mm2）．
（2）
当时，S有最大值==2400（mm2）．
所以这个矩形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2.
【点睛】
本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及二次函数的最大值的求法．
20、（1）m＜；（2）y=
【分析】（1）根据反比例函数的图像和性质得出不等式解之即可；（2）本题根据平行四边形的性质得出点D的坐标，代入反比例函数求出解析式.
【详解】解：（1）根据题意得1-2m＞0解得m＜
（2）∵四边形ABOC为平行四边形，∴AD∥OB，AD=OB=2，而A点坐标为（0，3），∴D点坐标为（2，3），∴1-2m=2×3=6，∴反比例函数解析式为y=.
21、（1）x＝3，x＝1；（2）x＝ ，x＝ ．
【分析】(1)根据因式分解法即可求解；
(2)根据公式法即可求解．
【详解】（1）称项得：x2-4x+3＝0
∵（x-3）（x-1）=0
∴x-3=0，x-1=0
∴x ＝3，x＝1
（2）整理得：3x2-9x+4=0
∵a＝3，b＝﹣9，c＝4
∴△＝b2﹣4a c＝（﹣9）2﹣4×3×4＝33＞0
∴方程有两个不相等的实数根为 x＝
x＝，x＝．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知解解法．
22、 (1) 20米；(2) 25米．
【分析】（1）∠BDC=45°，可得DC=BC=20m，；
（2）设DC=BC=xm，可得tan50°=≈1.2，解得x的值即可得建筑物BC的高．
【详解】解：（1）∵∠BDC=45°，
∴DC=BC=20m，
答：建筑物BC的高度为20m；
（2）设DC=BC=xm，
根据题意可得：tan50°=≈1.2，
解得：x=25，
答：建筑物BC的高度为25m．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用．
23、（1）证明见解析（2）
【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，易得∠A=∠D=90°，又由EF⊥BE，利用同角的余角相等，即可得∠DEF=∠ABE，则可证得△ABE∽△DEF．
（2）由（1）△ABE∽△DEF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得，又由AB=6，AD=12，AE=8，利用勾股定理求得BE的长，由DE=AB－AE，求得DE的长，从而求得EF的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°．
∵EF⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∴∠DEF=∠ABE．
∴△ABE∽△DEF．
（2）解：∵△ABE∽△DEF，
∴．
∵AB=6，AD=12，AE=8，
∴，DE=AD-AE=12－8=1．
∴，解得：．
24、（1）斜坡CD的高度DE是5米；（2）大楼AB的高度是34米．
【解析】试题分析：（1）根据在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡度为1：，高为DE，可以求得DE的高度；
（2）根据锐角三角函数和题目中的数据可以求得大楼AB的高度．
试题解析：（1）∵在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡度为1：，
∴，
设DE=5x米，则EC=12x米，
∴（5x）2+（12x）2=132，
解得：x=1，
∴5x=5，12x=12，
即DE=5米，EC=12米，
故斜坡CD的高度DE是5米；
（2）过点D作AB的垂线，垂足为H，设DH的长为x，
由题意可知∠BDH=45°，
∴BH=DH=x，DE=5，
在直角三角形CDE中，根据勾股定理可求CE=12，AB=x+5，AC=x-12，
∵tan64°=，
∴2=，
解得，x=29，AB=x+5=34，
即大楼AB的高度是34米．
25、（1）平移后抛物线的解析式，= 12；（2）①，②当＝3时，PN取最小值为．
【分析】（1）设平移后抛物线的解析式y=x2+bx，将点A（8，0）代入，根据待定系数法即可求得平移后抛物线的解析式，再根据割补法由三角形面积公式即可求解；
（2）作NQ垂直于x轴于点Q，
①分当MN=AN时，当AM=AN时，当MN=MA时，三种情况讨论可得△MAN为等腰三角形时t的值；
②由MN所在直线方程为y=，与直线AB的解析式y=﹣x+6联立，得xN的最小值为6，此时t=3，PN取最小值为．
【详解】（1）设平移后抛物线的解析式，
将点A（8，,0）代入，得=，
所以顶点B（4,3），
所以S阴影=OC•CB=12；
（2）设直线AB解析式为y=mx+n，将A（8，0）、B（4，3）分别代入得
，解得：，
所以直线AB的解析式为，作NQ垂直于x轴于点Q，
①当MN＝AN时， N点的横坐标为，纵坐标为，
由三角形NQM和三角形MOP相似可知,得，解得（舍去）.
当AM＝AN时，AN＝,由三角形ANQ和三角形APO相似可知，，MQ＝，
由三角形NQM和三角形MOP相似可知得：，
解得：
t＝12（舍去）；
当MN＝MA时，故是钝角，显然不成立,
故；
②由MN所在直线方程为y=，与直线AB的解析式y=﹣x+6联立，
得点N的横坐标为XN=，即t2﹣xNt+36﹣xN=0，
由判别式△=x2N﹣4（36﹣）≥0，得xN≥6或xN≤﹣14，
又因为0＜xN＜8，
所以xN的最小值为6，此时t=3，
当t=3时，N的坐标为（6，），此时PN取最小值为．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，平移的性质，割补法，三角形面积，分类思想，相似三角形的性质，勾股定理，根的判别式，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关知识是解题的关键.
26、（1）， ；（2） ，
【分析】（1）移项，两边同时加1，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）

，.
(2)

，
，.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，仔细观察运用合适的方法能简便计算.