人教版八年级上册压轴题数学综合试卷解析(一)[001].doc
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人教版八年级上册压轴题数学综合试卷解析(一) 1.如图1,在平面直角坐标系中,点A(a,0)、点B(b,0)为x轴上两点,点C在y轴的正半轴上,且a,b满足等式. (1)________; (2)如图2,若M,N是OC上的点,且,延长BN交AC于P,判断△APN的形状并说明理由; (3)如图3,若,点D为线段BC上的动点(不与B,C重合),过点D作于E,BG平分∠ABC交线段DE于点G,连AD,F为AD的中点,连接CG,CF,FG.试说明,CG与FG的数量关系. 2.如图①,在等边△ABC中,点D、E分别是AB、AC上的点,BD=AE,BE与CD交于点O. (1)填空:∠BOC= 度; (2)如图②,以CO为边作等边△OCF,AF与BO相等吗?并说明理由; (3)如图③,若点G是BC的中点,连接AO、GO,判断AO与GO有什么数量关系?并说明理由. 3.如图,是等边三角形,点分别是射线、射线上的动点,点D从点A出发沿着射线移动,点E从点B出发沿着射线移动,点同时出发并且移动速度相同,连接. (1)如图①,当点D移动到线段的中点时,与的长度关系是:_______. (2)如图②,当点D在线段上移动但不是中点时,探究与之间的数量关系,并证明你的结论. (3)如图③,当点D移动到线段的延长线上,并且时,求的度数. 5.已知△ABC是等边三角形,△ADE的顶点D在边BC上 (1)如图1,若AD=DE,∠AED=60°,求∠ACE的度数; (2)如图2,若点D为BC的中点,AE=AC,∠EAC=90°,连CE,求证:CE=2BF; (3)如图3,若点D为BC的一动点,∠AED=90°,∠ADE=30°,已知△ABC的面积为4,当点D在BC上运动时,△ABE的面积是否发生变化?若不变,请求出其面积;若变化请说明理由. 5.阅读下列材料,完成相应任务. 数学活动课上,老师提出了如下问题: 如图1,已知中,是边上的中线. 求证:. 智慧小组的证法如下: 证明:如图2,延长至,使, ∵是边上的中线∴ 在和中 ∴(依据一)∴ 在中,(依据二) ∴. 任务一:上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指: 依据1:______________________________________________; 依据2:______________________________________________. 归纳总结:上述方法是通过延长中线,使,构造了一对全等三角形,将,,转化到一个三角形中,进而解决问题,这种方法叫做“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系. 任务二:如图3,,,则的取值范围是_____________; 任务三:如图4,在图3的基础上,分别以和为边作等腰直角三角形,在中,,;中,,.连接.试探究与的数量关系,并说明理由. 6.请按照研究问题的步骤依次完成任务. 【问题背景】 (1)如图1的图形我们把它称为“8字形”, 请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D. 【简单应用】 (2)如图2,AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD,若∠ABC=20°,∠ADC=26°,求∠P的度数(可直接使用问题(1)中的结论) 【问题探究】 (3)如图3,直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE, 若∠ABC=36°,∠ADC=16°,猜想∠P的度数为 ; 【拓展延伸】 (4)在图4中,若设∠C=x,∠B=y,∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB,试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 (用x、y表示∠P) ; (5)在图5中,AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P与∠B、D的关系,直接写出结论 . 7.在中,,点在边上,且是射线上一动点(不与点重合,且),在射线上截取,连接. 当点在线段上时, ①若点与点重合时,请说明线段; ②如图2,若点不与点重合,请说明; 当点在线段的延长线上时,用等式表示线段之间的数量关系(直接写出结果,不需要证明). 8.如图,是等边三角形,点在上,点在的延长线上,且. (1)如图甲,若点是的中点,求证: (2)如图乙,若点不的中点,是否成立?证明你的结论. (3)如图丙,若点在线段的延长线上,试判断与的大小关系,并说明理由. 【参考答案】 2.(1)0 (2)等腰三角形,见解析 (3)CG=2FG 【分析】(1)由可得,得出a、b的值即可求解; (2)由OC垂直平分AB可得,再由外角可得 ,结合已知条件,等量代换即可得到结论; 解析:(1)0 (2)等腰三角形,见解析 (3)CG=2FG 【分析】(1)由可得,得出a、b的值即可求解; (2)由OC垂直平分AB可得,再由外角可得 ,结合已知条件,等量代换即可得到结论; (3)先延长GF至点M,使FM=FG,连接CG、CM、AM,可证,得到,再结合已知条件得到,可得是等腰三角形,利用等腰三角形的性质得出,最后证明 为等边三角形,即可得到结论. (1) 解得 (2) 是等腰三角形,理由如下: 由点A(a,0)、点B(b,0)为x轴上两点,且 可得,OA=OB OC垂直平分AB , 是等腰三角形 (3) ,理由如下: 如图,延长GF至点M,使FM=FG,连接CG、CM、AM F为AD的中点 在和中 垂直平分 ,BG平分 为等边三角形, 在和中 即是等腰三角形 为等边三角形 在 中, . 【点睛】本题是三角形的综合题目,考查了非负性求和、线段垂直平分线的性质、外角的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质及直角三角形的性质,涉及知识点多,能够合理添加辅助线并综合运用知识点是解题的关键. 3.(1)120;(2)相等,理由见解析;(3)AO=2OG.理由见解析 【分析】(1)证明△EAB≌△DBC(SAS),可得结论. (2)结论:AF=BO,证明△FCA≌△OCB(SAS),可得结 解析:(1)120;(2)相等,理由见解析;(3)AO=2OG.理由见解析 【分析】(1)证明△EAB≌△DBC(SAS),可得结论. (2)结论:AF=BO,证明△FCA≌△OCB(SAS),可得结论. (3)证明△AFO≌△OBR(SAS),推出OA=OR,可得结论. 【详解】解:(1)如图①中, ∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC,∠A=∠CBD=60°, 在△EAB和△DBC中, , ∴△EAB≌△DBC(SAS), ∴∠ABE=∠BCD, ∴∠BOD=∠BCD+∠CBE=∠ABE+∠CBE=∠CBA=60°, ∴∠BOC=180°-60°=120°. 故答案为:120. (2)相等. 理由:如图②中, ∵△FCO,△ACB都是等边三角形, ∴CF=CO,CA=CB,∠FCO=∠ACB=60°, ∴∠FCA=∠OCB, 在△FCA和△OCB中, , ∴△FCA≌△OCB(SAS), ∴AF=BO. (3)如图③中,结论:AO=2OG. 理由:延长OG到R,使得GR=GO,连接CR,BR. 在△CGO和△BGR中, , ∴△CGO≌△BGR(SAS), ∴CO=BR=OF,∠GCO=∠GBR,AF=BO, ∴CO∥BR, ∵△FCA≌△OCB, ∴∠AFC=∠BOC=120°, ∵∠CFO=∠COF=60°, ∴∠AFO=∠COF=60°, ∴AF∥CO, ∴AF∥BR, ∴∠AFO=∠RBO, 在△AFO和△OBR中, , ∴△AFO≌△OBR(SAS), ∴OA=OR, ∵OR=2OG, ∴OA=2OG. 【点睛】本题属于三角形综合题,考查了等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题. 4.(1) (2),证明见详解 (3) 【分析】(1)由题意可知,所以,由等边三角形及中点可知,而,所以可证,进一步可证; (2)猜测,在射线AB上截取,如图(见详解),利用等边三角形的性质及可 解析:(1) (2),证明见详解 (3) 【分析】(1)由题意可知,所以,由等边三角形及中点可知,而,所以可证,进一步可证; (2)猜测,在射线AB上截取,如图(见详解),利用等边三角形的性质及可知为等边三角形,再利用边角边即可证明,最后根据全等三角形的性质即可证明; (3)按照第(2)问的思路,作出类似的辅助线:在射线CB上截取,如图(见详解),用同样的方法证明,再根据ED⊥DC,证出为等腰直角三角形,即可求出∠DEC的度数. (1) 解:, 证明过程如下:由题意可知, ∵D为AB的中点, ∴, ∴, ∴. ∵为等边三角形,, ∴. ∵, ∴, ∴, ∴. (2) 解:, 理由如下:在射线AB上截取,连接EF,如图所示, ∵为等边三角形, ∴,. ∵,, ∴为等边三角形, ∴,. 由题意知, ∴, ∴. 即. ∵, ∴. 在和中,, ∴, ∴DE与DC之间的数量关系是. (3) 如图,在射线CB上截取,连接DF,如图所示, ∵为等边三角形, ∴,. ∵,, ∴为等边三角形, ∴,, ∴. 由题意知, ∵, ∴, 即. ∵, ∴. 在和中,, ∴, ∴. ∵ED⊥DC, ∴为等腰直角三角形, ∴. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形,等边三角形,以及全等三角形的判定及性质,能够作出辅助线,并合理利用等边三角形的性质是解题的关键. 5.(1)60°;(2)见解析;(3)不变, 【分析】(1)由题意,先证△ADE是等边三角形,再证△BAD≌△CAE,得∠ACE=∠B=60°; (2)由题意,先求出∠BEC=30°,然后求出∠CF 解析:(1)60°;(2)见解析;(3)不变, 【分析】(1)由题意,先证△ADE是等边三角形,再证△BAD≌△CAE,得∠ACE=∠B=60°; (2)由题意,先求出∠BEC=30°,然后求出∠CFE=90°,利用直角三角形中30度角所对直角边等于斜边的一半,即可得证; (3)延长AE至F,使EF=AE,连DF、CF,先证明△ADF是等边三角形,然后证明△EGF≌△EHA,结合HG是定值,即可得到答案. 【详解】解:(1)根据题意, ∵AD=DE,∠AED=60°, ∴△ADE是等边三角形, ∴AD=AE,∠DAE=60°, ∵AB=AC,∠BAC=60°, ∴, 即, ∴△BAD≌△CAE, ∴∠ACE=∠B=60°; (2)连CF,如图: ∵AB=AC=AE, ∴∠AEB=∠ABE, ∵∠BAC=60°,∠EAC=90°, ∴∠BAE=150°, ∴∠AEB=∠ABE=15°; ∵△ACE是等腰直角三角形, ∴∠AEC=45°, ∴∠BEC=30°,∠EBC=45°, ∵AD垂直平分BC,点F在AD上, ∴CF=BF, ∴∠FCB=∠EBC=45°, ∴∠CFE=90°, 在直角△CEF中,∠CFE=90°,∠CEF=30°, ∴CE=2CF=2BF; (3)延长AE至F,使EF=AE,连DF、CF,如图: ∵∠AED=90°,EF=AE, ∴DE是中线,也是高, ∴△ADF是等腰三角形, ∵∠ADE=30°, ∴∠DAE=60°, ∴△ADF是等边三角形; 由(1)同理可求∠ACF=∠ABC=60°, ∴∠ACF=∠BAC=60°, ∴CF∥AB, 过E作EG⊥CF于G,延长GE交BA的延长线于点H, 易证△EGF≌△EHA, ∴EH=EG=HG, ∵HG是两平行线之间的距离,是定值, ∴S△ABE=S△ABC=; 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,垂直平分线的性质,全等三角形的判定和性质,含30度角的直角三角形的性质,解题的关键是熟练掌握所学的知识,正确的作出辅助线,从而进行解题. 6.任务一:依据1:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(或“边角边”或“SAS”);依据2:三角形两边的和大于第三边;任务二:;任务三:EF=2AD,见解析 【分析】任务一:依据1:根据全等的判 解析:任务一:依据1:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(或“边角边”或“SAS”);依据2:三角形两边的和大于第三边;任务二:;任务三:EF=2AD,见解析 【分析】任务一:依据1:根据全等的判定方法判断即可; 依据2:根据三角形三边关系判断; 任务二:可根据任务一的方法直接证明即可; 任务三:根据任务一的方法,延长中线构造全等三角形证明线段关系即可. 【详解】解:任务一: 依据1:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(或“边角边”或“SAS”); 依据2:三角形两边的和大于第三边. 任务二: 任务三:EF=2AD.理由如下: 如图延长AD至G,使DG=AD, ∵AD是BC边上的中线 ∴BD=CD 在△ABD和△CGD中 ∴△ABD≌△CGD ∴AB=CG,∠ABD=∠GCD 又∵AB=AE ∴AE=CG 在△ABC中,∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°, ∴∠GCD+∠BAC+∠ACB=180° 又∵∠BAE=90°,∠CAF=90° ∴∠EAF+∠BAC=360°-(∠BAE+∠CAF)=180° ∴∠EAF=∠GCD 在△EAF和△GCA中 ∴△EAF≌△GCA ∴EF=AG ∴EF=2AD. 【点睛】此题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,倍长中线法,构造全等三角形是解本题的关键. 7.(1)见解析;(2)∠P=23º;(3)∠P=26º;(4)∠P=;(5)∠P=. 【分析】(1)根据三角形内角和定理即可证明; (2)如图2,根据角平分线的性质得到∠1=∠2,∠3=∠4,列方 解析:(1)见解析;(2)∠P=23º;(3)∠P=26º;(4)∠P=;(5)∠P=. 【分析】(1)根据三角形内角和定理即可证明; (2)如图2,根据角平分线的性质得到∠1=∠2,∠3=∠4,列方程组即可得到结论; (3)由AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,推出∠1=∠2,∠3=∠4,推出∠PAD=180°-∠2,∠PCD=180°-∠3,由∠P+(180°-∠1)=∠D+(180°-∠3),∠P+∠1=∠B+∠4,推出2∠P=∠B+∠D,即可解决问题; (4)根据题意得出∠B+∠CAB=∠C+∠BDC,再结合∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB,得到y+(∠CAB-∠CAB)=∠P+(∠BDC-∠CDB),从而可得∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB=; (5)根据题意得出∠B+∠BAD=∠D+∠BCD,∠DAP+∠P=∠PCD+∠D,再结合AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,得到∠BAD+∠P=[∠BCD+(180°-∠BCD)]+∠D,所以∠P=90°+∠BCD-∠BAD +∠D=. 【详解】解:(1)证明:在△AOB中,∠A+∠B+∠AOB=180°, 在△COD中,∠C+∠D+∠COD=180°, ∵∠AOB=∠COD, ∴∠A+∠B=∠C+∠D; (2)解:如图2,∵AP、CP分别平分∠BAD,∠BCD, ∴∠1=∠2,∠3=∠4, 由(1)的结论得:, ①+②,得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D, ∴∠P=(∠B+∠D)=23°; (3)解:如图3, ∵AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE, ∴∠1=∠2,∠3=∠4, ∴∠PAD=180°-∠2,∠PCD=180°-∠3, ∵∠P+(180°-∠1)=∠D+(180°-∠3), ∠P+∠1=∠B+∠4, ∴2∠P=∠B+∠D, ∴∠P=(∠B+∠D)=×(36°+16°)=26°; 故答案为:26°; (4)由题意可得:∠B+∠CAB=∠C+∠BDC, 即y+∠CAB=x+∠BDC,即∠CAB-∠BDC=x-y, ∠B+∠BAP=∠P+∠PDB, 即y+∠BAP=∠P+∠PDB, 即y+(∠CAB-∠CAP)=∠P+(∠BDC-∠CDP), 即y+(∠CAB-∠CAB)=∠P+(∠BDC-∠CDB), ∴∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB = y+(∠CAB-∠CDB) =y+(x-y) = 故答案为:∠P=; (5)由题意可得:∠B+∠BAD=∠D+∠BCD, ∠DAP+∠P=∠PCD+∠D, ∴∠B-∠D=∠BCD-∠BAD, ∵AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE, ∴∠BAP=∠DAP,∠PCE=∠PCB, ∴∠BAD+∠P=(∠BCD+∠BCE)+∠D, ∴∠BAD+∠P=[∠BCD+(180°-∠BCD)]+∠D, ∴∠P=90°+∠BCD-∠BAD +∠D =90°+(∠BCD-∠BAD)+∠D =90°+(∠B-∠D)+∠D =, 故答案为:∠P=. 【点睛】本题考查三角形内角和,三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识,解题的关键是学会用方程组的思想思考问题,属于中考常考题型. 8.(1)①证明见解析;②证明见解析;(2)BF=AE-CD 【分析】(1)①根据等边对等角,求到,再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到是等边三角形,之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得 解析:(1)①证明见解析;②证明见解析;(2)BF=AE-CD 【分析】(1)①根据等边对等角,求到,再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到是等边三角形,之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到,推出,根据全等三角形的性质即可得出结论;②过点A做AG∥EF交BC于点G,由△DEF为等边三角形得到DA=DG,再推出AE=GF,根据线段的和差即可整理出结论; (2)根据题意画出图形,作出AG,由(1)可知,AE=GF,DC=BG,再由线段的和差和等量代换即可得到结论. 【详解】(1)①证明: ,且E与A重合, 是等边三角形 在和中 ②如图2,过点A做AG∥EF交BC于点G, ∵∠ADB=60° DE=DF ∴△DEF为等边三角形 ∵AG∥EF ∴∠DAG=∠DEF=60°,∠AGD=∠EFD=60° ∴∠DAG=∠AGD ∴DA=DG ∴DA-DE=DG-DF,即AE=GF 由①易证△AGB≌△ADC ∴BG=CD ∴BF=BG+GF=CD+AE (2)如图3,和(1)中②相同,过点A做AG∥EF交BC于点G, 由(1)可知,AE=GF,DC=BG, 故. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键. 9.(1)详见解析;(2)成立,理由详见解析;(3),证明详见解析. 【分析】(1)根据等边三角形三线合一的性质即可求得∠DBC的度数,根据BD=DE即可解题; (2)过D作DF∥BC,交AB于F, 解析:(1)详见解析;(2)成立,理由详见解析;(3),证明详见解析. 【分析】(1)根据等边三角形三线合一的性质即可求得∠DBC的度数,根据BD=DE即可解题; (2)过D作DF∥BC,交AB于F,证△BFD≌△DCE,推出DF=CE,证△ADF是等边三角形,推出AD=DF,即可得出答案. (3)如图3,过点D作DP∥BC,交AB的延长线于点P,证明△BPD≌△DCE,得到PD=CE,即可得到AD=CE. 【详解】证明:是等边三角形, 为中点, ,, ; (2)成立, 如图乙,过作,交于, 则是等边三角形, , , ,, 在和中 , 即 如图3,过点作,交的延长线于点, 是等边三角形,也是等边三角形, , , 在和中, 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,利用了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是作出辅助线,构建全等三角形.- 配套讲稿:
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