人教版八年级数学上册压轴题强化试题带解析(一).doc
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人教版八年级数学上册压轴题强化试题带解析(一) 1.如图1,在平面直角坐标系中,点A(a,0)、点B(b,0)为x轴上两点,点C在y轴的正半轴上,且a,b满足等式. (1)________; (2)如图2,若M,N是OC上的点,且,延长BN交AC于P,判断△APN的形状并说明理由; (3)如图3,若,点D为线段BC上的动点(不与B,C重合),过点D作于E,BG平分∠ABC交线段DE于点G,连AD,F为AD的中点,连接CG,CF,FG.试说明,CG与FG的数量关系. 2.如图,已知CD是线段AB的垂直平分线,垂足为D,C在D点上方,∠BAC=30°,P是直线CD上一动点,E是射线AC上除A点外的一点,PB=PE,连BE. (1)如图1,若点P与点C重合,求∠ABE的度数; (2)如图2,若P在C点上方,求证:PD+AC=CE; (3)若AC=6,CE=2,则PD的值为 (直接写出结果). 3.在中,,点在边上,且是射线上一动点(不与点重合,且),在射线上截取,连接. 当点在线段上时, ①若点与点重合时,请说明线段; ②如图2,若点不与点重合,请说明; 当点在线段的延长线上时,用等式表示线段之间的数量关系(直接写出结果,不需要证明). 4.以点为顶点作等腰,等腰,其中,如图1所示放置,使得一直角边重合,连接、. (1)试判断、的数量关系,并说明理由; (2)延长交于点试求的度数; (3)把两个等腰直角三角形按如图2放置,(1)、(2)中的结论是否仍成立?请说明理由. 5.如图①,直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A(a,0)、B(0,b)两点. (1)若+b2-10b+25=0,判断△AOB的形状,并说明理由; (2)如图②,在(1)的条件下,设Q为AB延长线上一点,作直线OQ,过A、B两点分别作AM⊥OQ于M,BN⊥OQ于N,若AM=4,MN=7,求BN的长; (3)如图③,若即点A不变,点B在y轴正半轴上运动,分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE,连EF交y轴于P点,问当点B在y轴上运动时,试猜想PB的长是否为定值,若是,请求出其值;若不是,请求其取值范围. 6.在等腰三角形ABC中,AB=AC,点D是AC上一动点,在BD的延长线上取一点E满足:AE=AB;AF平分∠CAE交BE于点F. (1)如图1,连CF,求证:△ACF≌△AEF. (2)如图2,当∠ABC=60°时,线段AF,EF,BF之间存在某种数量关系,写出你的结论并加以证明. (3)如图3,当∠ACB=45°时,且AE∥BC,若EF=3,请直接写出线段BD的长是 (只填写结果). 7.如图,在等边中,,分别为,边上的点,,. (1)如图1,若点在边上,求证:; (2)如图2,连.若,求证:; (3)如图3,是的中点,点在内,,点,分别在,上,,若,直接写出的度数(用含有的式子表示). 8.如图1,在平面直角坐标系中,,,且∠ACB=90°,AC=BC. (1)求点B的坐标; (2)如图2,若BC交y轴于点M,AB交x轴与点N,过点B作轴于点E,作轴于点F,请探究线段MN,ME,NF的数量关系,并说明理由; (3)如图3,若在点B处有一个等腰Rt△BDG,且BD=DG,∠BDG=90°,连接AG,点H为AG的中点,试猜想线段DH与线段CH的数量关系与位置关系,并证明你的结论. 【参考答案】 2.(1)0 (2)等腰三角形,见解析 (3)CG=2FG 【分析】(1)由可得,得出a、b的值即可求解; (2)由OC垂直平分AB可得,再由外角可得 ,结合已知条件,等量代换即可得到结论; 解析:(1)0 (2)等腰三角形,见解析 (3)CG=2FG 【分析】(1)由可得,得出a、b的值即可求解; (2)由OC垂直平分AB可得,再由外角可得 ,结合已知条件,等量代换即可得到结论; (3)先延长GF至点M,使FM=FG,连接CG、CM、AM,可证,得到,再结合已知条件得到,可得是等腰三角形,利用等腰三角形的性质得出,最后证明 为等边三角形,即可得到结论. (1) 解得 (2) 是等腰三角形,理由如下: 由点A(a,0)、点B(b,0)为x轴上两点,且 可得,OA=OB OC垂直平分AB , 是等腰三角形 (3) ,理由如下: 如图,延长GF至点M,使FM=FG,连接CG、CM、AM F为AD的中点 在和中 垂直平分 ,BG平分 为等边三角形, 在和中 即是等腰三角形 为等边三角形 在 中, . 【点睛】本题是三角形的综合题目,考查了非负性求和、线段垂直平分线的性质、外角的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质及直角三角形的性质,涉及知识点多,能够合理添加辅助线并综合运用知识点是解题的关键. 3.(1)∠ABE=90°;(2)PD+AC=CE,见解析;(3)1 【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质得到:△BPE为等边三角形,则∠CBE=60°,故∠ABE=90°; 解析:(1)∠ABE=90°;(2)PD+AC=CE,见解析;(3)1 【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质得到:△BPE为等边三角形,则∠CBE=60°,故∠ABE=90°; (2)如图2,过P作PH⊥AE于H,连BC,作PG⊥BC交BC的延长线于G,构造含30度角的直角△PCG、直角△CPH以及全等三角形(Rt△PGB≌Rt△PHE),根据含30度的直角三角形的性质和全等三角形的对应边相等证得结论; (3)分三种情况讨论,根据(2)的解题思路得到PD=AC+CE或PD=CE-AC,将数值代入求解即可. 【详解】(1)解:如图1,∵点P与点C重合,CD是线段AB的垂直平分线, ∴PA=PB, ∴∠PAB=∠PBA=30°, ∴∠BPE=∠PAB+∠PBA=60°, ∵PB=PE, ∴△BPE为等边三角形, ∴∠CBE=60°, ∴∠ABE=90°; (2)如图2,过P作PH⊥AE于H,连BC,作PG⊥BC交BC的延长线于G, ∵CD垂直平分AB, ∴CA=CB, ∵∠BAC=30°, ∴∠ACD=∠BCD=60°, ∴∠GCP=∠HCP=∠BCE=∠ACD=∠BCD=60°, ∴∠GPC=∠HPC=30°, ∴PG=PH,CG=CH=CP,CD=AC, 在Rt△PGB和Rt△PHE中, , ∴Rt△PGB≌Rt△PHE(HL). ∴BG=EH,即CB+CG=CE-CH, ∴CB+CP=CE-CP,即CB+CP=CE, 又∵CB=AC, ∴CP=PD-CD=PD-AC, ∴PD+AC=CE; (3)①当P在C点上方时,由(2)得:PD=CE-AC, 当AC=6,CE=2时,PD=2-3=-1,不符合题意; ②当P在线段CD上时, 如图3,过P作PH⊥AE于H,连BC,作PG⊥BC交BC于G, 此时Rt△PGB≌Rt△PHE(HL), ∴BG=EH,即CB-CG=CE+CH, ∴CB-CP=CE+CP,即CP=CB-CE, 又∵CB=AC, ∴PD=CD-CP=AC-CB+CE, ∴PD=CE-AC. 当AC=6,CE=2时,PD=2-3=-1,不符合题意; ③当P在D点下方时,如图4, 同理,PD=AC-CE, 当AC=6,CE=2时,PD=3-2=1. 故答案为:1. 【点睛】本题主要考查了三角形综合题,综合运用全等三角形的判定与性质,含30度角直角三角形的性质,等边三角形的判定与性质等知识点,难度较大,解题时,注意要分类讨论. 4.(1)①证明见解析;②证明见解析;(2)BF=AE-CD 【分析】(1)①根据等边对等角,求到,再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到是等边三角形,之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得 解析:(1)①证明见解析;②证明见解析;(2)BF=AE-CD 【分析】(1)①根据等边对等角,求到,再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到是等边三角形,之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到,推出,根据全等三角形的性质即可得出结论;②过点A做AG∥EF交BC于点G,由△DEF为等边三角形得到DA=DG,再推出AE=GF,根据线段的和差即可整理出结论; (2)根据题意画出图形,作出AG,由(1)可知,AE=GF,DC=BG,再由线段的和差和等量代换即可得到结论. 【详解】(1)①证明: ,且E与A重合, 是等边三角形 在和中 ②如图2,过点A做AG∥EF交BC于点G, ∵∠ADB=60° DE=DF ∴△DEF为等边三角形 ∵AG∥EF ∴∠DAG=∠DEF=60°,∠AGD=∠EFD=60° ∴∠DAG=∠AGD ∴DA=DG ∴DA-DE=DG-DF,即AE=GF 由①易证△AGB≌△ADC ∴BG=CD ∴BF=BG+GF=CD+AE (2)如图3,和(1)中②相同,过点A做AG∥EF交BC于点G, 由(1)可知,AE=GF,DC=BG, 故. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键. 5.(1)BD=CE,理由见解析;(2)90°;(3)成立,理由见解析. 【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC,∠BAD=∠EAC=90°,AD=AE,利用“SAS”可证明△ADB≌△ 解析:(1)BD=CE,理由见解析;(2)90°;(3)成立,理由见解析. 【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC,∠BAD=∠EAC=90°,AD=AE,利用“SAS”可证明△ADB≌△AEC,则BD=CE; (2)由△ADB≌△AEC得到∠ACE=∠DBA,利用三角形内角和定理可得到∠BFC=180°-∠ACE-∠CDF=180°-∠DBA-∠BDA=∠DAB=90°; (3)与(1)一样可证明△ADB≌△AEC,得到BD=CE,∠ACE=∠DBA,利用三角形内角和定理得到∠BFC=∠DAB=90°. 【详解】(1)∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形, ∴AB=AC,∠BAD=∠EAC=90°,AD=AE, ∵在△ADB和△AEC中, ∴△ADB≌△AEC(SAS),∴BD=CE; (2)∵△ADB≌△AEC,∴∠ACE=∠ABD, 而在△CDF中,∠BFC=180°-∠ACE-∠CDF, 又∵∠CDF=∠BDA, ∴∠BFC=180°-∠DBA-∠BDA=∠DAB=90°; (3)BD=CE成立,且两线段所在直线互相垂直,即∠BFC=90°.理由如下: ∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形, ∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD=90°, ∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD, ∴∠BAD=∠CAE, 在△ADB和△AEC中, , ∴△ADB≌△AEC(SAS), ∴BD=CE,∠ACE=∠DBA, ∴∠BFC=∠DAB=90°. 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质.判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”,熟知判定方法并根据题目条件选择合适的方法进行解答. 6.(1)△AOB为等腰直角三角形;理由见解析 (2)BN=3 (3)PB的长为定值; 【分析】(1)根据题意求出a、b的值,即可得出A与B坐标,根据OA=OB,即可确定△AOB的形状; (2) 解析:(1)△AOB为等腰直角三角形;理由见解析 (2)BN=3 (3)PB的长为定值; 【分析】(1)根据题意求出a、b的值,即可得出A与B坐标,根据OA=OB,即可确定△AOB的形状; (2)由OA=OB,利用AAS得到△AMO≌△ONB,用对应线段相等求长度; (3)如图,作EK⊥y轴于K点,利用AAS得到△AOB≌△BKE,利用全等三角形对应边相等得到OA=BK,EK=OB,再利用AAS得到△PBF≌△PKE,寻找相等线段,并进行转化,求PB的长. (1) 解:结论:△OAB是等腰直角三角形;理由如下: ∵+b2-10b+25=0,即, ∴,解得:, ∴A(−5,0),B(0,5), ∴OA=OB=5, ∴△AOB是等腰直角三角形. (2) 解:∵AM⊥OQ,BN⊥OQ, ∴, , ∴, ∴, ∵在△AMO与△ONB中, ∴△AMO≌△ONB(AAS), ∴AM=ON=4,BN=OM, ∵MN=7, ∴OM=3, ∴BN=OM=3. (3) 解:结论:PB的长为定值.理由如下, 作EK⊥y轴于K点,如图所示: ∵△ABE为等腰直角三角形, ∴AB=BE,∠ABE=90°, ∴∠EBK+∠ABO=90°, ∵∠EBK+∠BEK=90°, ∴∠ABO=∠BEK, ∵在△AOB和△BKE中, ∴△AOB≌△BKE(AAS), ∴OA=BK,EK=OB, ∵△OBF为等腰直角三角形, ∴OB=BF, ∴EK=BF, ∵在△EKP和△FBP中, ∴△PBF≌△PKE(AAS), ∴PK=PB, ∴PB=BK=OA=. 【点睛】本题属于三角形综合题,考查非负数的性质,全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键. 7.(1)证明见解析 (2),证明见解析 (3)6 【分析】(1)由角平分线的定义可知,再根据等量代换得出AC =AE,由此可直接利用“SAS”证明; (2)在BE上截取BM=CF,连接AM.由 解析:(1)证明见解析 (2),证明见解析 (3)6 【分析】(1)由角平分线的定义可知,再根据等量代换得出AC =AE,由此可直接利用“SAS”证明; (2)在BE上截取BM=CF,连接AM.由所作辅助线易证,得出,.由题意易判断为等边三角形,即可求出,即说明为等边三角形,得出,由此即得出; (3)延长BA,CF交于点N.由题意可知为等腰直角三角形,即,.根据平行线的性质和等边对等角即得出BE为的角平分线,从而可求出,进而可求出.由角平分线的性质可得出,从而可求出.又易证,即得出. (1) ∵AF平分∠CAE, ∴. ∵AB=AC,AB=AE, ∴AC =AE. 又∵AF=AF, ∴. (2) 证明:∵, ∴,. 如图,在BE上截取BM=CF,连接AM. 在和中,, ∴, ∴,. ∵,, ∴为等边三角形, ∴. ∵, ∴,即, ∴为等边三角形, ∴, ∴. 即AF,EF,BF之间存在的关系为:; (3) 如图,延长BA,CF交于点N. ∵,, ∴为等腰直角三角形, ∴,. ∵AE∥BC, ∴. ∵, ∴, ∴. 由(1)可知, ∴, ∴,即. ∵为的角平分线, ∴. ∵, ∴,即. 在和中,, ∴, ∴. 故答案为:6. 【点睛】本题为三角形综合题,考查等边三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,三角形全等的判定和性质,角平分线的定义和性质,平行线的性质以及三角形内角和定理,综合性强,较难.解题关键是学会添加常用的辅助线,构造全等三角形解决问题. 8.(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】(1)连接DF,根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断△DEF是等边三角形,则DF=EF,又△ABC是等边三角形,根据三角形内角和可 解析:(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】(1)连接DF,根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断△DEF是等边三角形,则DF=EF,又△ABC是等边三角形,根据三角形内角和可得出,∠AFD=∠FEC,所以△ADF≌△CFE(AAS),则AD=CF; (2)过点F作JKAC交AB于点J,交BC于点K,过点F作PIAB交AC于P,交BC于点I,连接DF,则△BJK和△CPI是等边三角形,△BDE≌△JFD≌KEF,所以DJ=BE=FK,因为ABPI,FKAC,所以四边形AJFP是平行四边形,则AJ=PF,易得△CPI为等边三角形,由∠FCB=30°可得CF平分∠PCI,则FI=FP,所以FP=AJ,FK=BE=DJ,FI=FK,所以AJ=DJ=BE,即AD=AJ+DJ=2BE; (3)延长MO到点G,使OG=OM,连接NG,BG,NM,作∠ACQ=∠ABN,且使CQ=BN,连接MQ,AQ,先得到△BOG≌△COM(SAS),再得到△ACQ≌△ABN(SAS)和△BNG≌△CQM(SAS),所以∠NAM=∠MAQ=∠CAM+∠CAQ=∠CAM+∠BAN,所以∠CAM+∠BAN=30°,则∠CAM=,所以∠BAN=30°-. (1) 证明:如图,连接, ,, ∵是等边三角形, ∴, ∵是等边三角形, ∴, , , , ,, , ; (2) 证明:如图,过点作交于点,交于点,过点作交于,交于点,连接, , , 和是等边三角形, ,, 是等边三角形, 由(1)中结论可知,, , ,, 四边形是平行四边形, , , , 为等边三角形,, , 平分, 是等边三角形, , , ,, ,即; (3) 如图,延长到点,使,连接,,,作,且使,连接,, ,, , ,,, , ,, , , , , 是等边三角形, , , ,, ,,, , ,, ,, , ,, , , , , ,, , , 又, , , . 【点睛】本题属于三角形的综合题,涉及全等三角形的性质与判定,等边三角形的性质与判定,等腰三角形三线合一等知识,类比思想及构造的思想进行分析,仿造(1)中的结论构造出全等三角形是解题关键. 9.(1) (2),见解析 (3)且,见解析 【分析】(1)如图1中,过点C作CT⊥y轴于点T,根点B作BH⊥CT交CT的延长线于点H.证明△ATC≌△CHB(AAS),推出AT=CH=6,CT= 解析:(1) (2),见解析 (3)且,见解析 【分析】(1)如图1中,过点C作CT⊥y轴于点T,根点B作BH⊥CT交CT的延长线于点H.证明△ATC≌△CHB(AAS),推出AT=CH=6,CT=BH=2,可得结论; (2)结论:MN=ME+NF.证明△BFN≌△BEK(SAS),推出BN=BK,∠FBN=∠EBK,再证明△BMN≌△BMK(SAS),推出MN=MK,可得结论; (3)结论:DH=CH,DH⊥CH.如图3中,延长DH到J,使得HJ=DH,连接AJ,CJ,延长DG交AC于点M.证明△JDC是等腰直角三角形,可得结论. 【详解】解:(1)如图1中,过点C作CT⊥y轴于点T,根点B作BH⊥CT交CT的延长线于点H. ∵A(0,4),C(﹣2,﹣2), ∴OA=4,OT=CT=2, ∴AT=4+2=6, ∵∠ACB=∠ATC=∠H=90°, ∴∠CAT+∠ACT=90°,∠BCH+∠CBH=90°, ∴∠CAT=∠BCH, ∵CA=CB, ∴△ATC≌△CHB(AAS), ∴AT=CH=6,CT=BH=2, ∴TH=CH﹣CT=4, ∴B(4,-4); (2)结论:MN=ME+NF. 理由:在射线OE上截取EK=FN,连接BK. ∵B(4,4),BE⊥y轴,BF⊥x轴, ∴BE=BF=4,∠BEO=∠BFO=∠EOF=90°, ∴四边形BEOF是矩形, ∴∠EBF=90°, ∵EK=FN,∠BFN=∠BEK=90°, ∴△BFN≌△BEK(SAS), ∴BN=BK,∠FBN=∠EBK, ∴∠NBK=∠FBE=90°, ∵∠MBN=45°, ∴∠MBN=∠BMK=45°, ∵BM=BM, ∴△BMN≌△BMK(SAS), ∴MN=MK, ∵MK=ME+EK, ∴MN=EM+FN; (3)结论:DH=CH,DH⊥CH. 理由:如图3中,延长DH到J,使得HJ=DH,连接AJ,CJ,延长DG交AC于点M. ∵AH=HG,∠AHJ=∠GHD,HJ=HD, ∴△AHJ≌△GHD(SAS), ∴AJ=DG,∠AJH=∠DGH, ∴AJ∥DM, ∴∠JAC=∠AMD, ∵DG=BD, ∴AJ=BD, ∵∠MCB=∠BDM=90°, ∴∠CBD+∠CMD=180°, ∵∠AMD+∠CMD=180°, ∴∠AMD=∠CBD, ∴∠CAJ=∠CBD, ∵CA=CB, ∴△CAJ≌△CBD(SAS), ∴CJ=CD,∠ACJ=∠BCD, ∴∠JCD=∠ACB=90°, ∵JH=HD, ∴CH⊥DJ,CH=JH=HD, 即CH=DH,CH⊥DH. 【点睛】本题属于三角形综合题,考查了等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.- 配套讲稿:
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