2022年江苏省南京市南京师范大附属中学九年级数学第一学期期末达标检测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）
1． “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）

A．60° B．65° C．75° D．80°
2．已知点关于轴的对称点在反比例函数的图像上，则实数的值为（ ）
A．-3 B． C． D．3
3．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是（　　）

A．4 B．8 C．2 D．4
4．已知反比例函数的解析式为，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
5．将抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
6．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是( )
A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c＜ D．c＜1
7．已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ）
A．3 B．2 C．0 D．1
8．抛物线的顶点坐标为　　
A． B． C． D．
9．下列运算中，正确的是（ ）．
A．2x - x = 2 B．x2 y ¸ y = x2 C．x × x4 = 2x D．(-2x)3 = -6x3
10．二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是（　　）
A．﹣7＜y＜﹣4 B．﹣7＜y≤﹣3 C．﹣7≤y＜﹣3 D．﹣4＜y≤﹣3
11．三角形的两边长分别为3和2，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是( )
A．10 B．8或7 C．7 D．8
12．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法中不正确的是（ ）
A．当1<a<5时，点B在⊙A内 B．当a<5时，点B在⊙A内
C．当a<1时，点B在⊙A外 D．当a>5时，点B在⊙A外
二、填空题（每题4分，共24分）
13．计算：________．
14．如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则∠ACB= 度．
15．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是_____．
16．再读教材：如图，钢球从斜面顶端静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.5m/s，在这个问题中，距离=平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒时的速度.如果斜面的长是18m，钢球从斜面顶端滚到底端的时间为________s.

17．一元二次方程的两根之积是_________．
18．在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点……，依次进行下去，则点的坐标为_____．

三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E,

（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．
20．（8分）用配方法解下列方程.
(1) ;
(2) .
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，M是BC中点，请你仅用无刻度直尺按要求作图．
（1）在图1中，作AD的中点P；
（2）在图2中，作AB的中点Q．

22．（10分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1=1．
23．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，且∠BAD＝80°，求∠DAC的度数．

24．（10分）甲、乙、丙三个球迷决定通过抓阄来决定谁得到仅有的一张球票．他们准备了三张纸片，其中一张上画了个五星，另两张空白，团成外观一致的三个纸团．抓中画有五角星纸片的人才能得到球票．刚要抓阄，甲问：“谁先抓？先抓的人会不会抓中的机会比别人大？”你认为他的怀疑有没有道理？谈谈你的想法并用列表或画树状图方法说明原因．
25．（12分）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程的两个实根为，且满足，求实数的值．
26．已知直线与是的直径，于点．
（1）如图①，当直线与相切于点时，若，求的大小；

（2）如图②，当直线与相交于点时，若，求的大小．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC据三角形的外角性质即可求出∠ODC数，进而求出∠CDE的度数．
【详解】∵，
∴，，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
.
故答案为D.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
2、A
【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A'的坐标为，然后把A′的坐标代入中即可得到k的值．
【详解】解：点关于x轴的对称点A'的坐标为，
把A′代入，
得k=-1×1=-1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
3、D
【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当CP⊥P1P2时，PC取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知CP1⊥P1P2，故CP的最小值为CP1的长，由勾股定理求解即可．
【详解】解：如图：

当点F与点D重合时，点P在P1处，AP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝AP2，
∴P1P2∥DE且P1P2＝DE
当点F在ED上除点D、E的位置处时，有AP＝FP
由中位线定理可知：P1P∥DF且P1P＝DF
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当CP⊥P1P2时，PC取得最小值
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，
∴△ABE、△CDE、△DCP1为等腰直角三角形，DP1＝2
∴∠BAE＝∠DAE＝∠DP1C＝45°，∠AED＝90°
∴∠AP2P1＝90°
∴∠AP1P2＝45°
∴∠P2P1C＝90°，即CP1⊥P1P2，
∴CP的最小值为CP1的长
在等腰直角CDP1中，DP1＝CD＝4，
∴CP1＝4
∴PB的最小值是4．
故选：D．
【点睛】
本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．
4、C
【分析】根据反比例函数的定义可得|a|-2≠0,可解得.
【详解】根据反比例函数的定义可得|a|-2≠0,可解得a≠±2.
故选C.
【点睛】
本题考核知识点：反比例函数定义. 解题关键点：理解反比例函数定义.
5、B
【分析】根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式．
【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为：．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减．
6、B
【分析】由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，由此可知方程x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，即△=1-4c>0，再由题意可得函数y= x2+x+c＝0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，由此可得关于c的不等式组，解不等式组即可求得答案.
【详解】由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，
所以x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等的实数根，
整理，得：x2+x+c＝0，
所以△=1-4c>0，
又x2+x+c＝0的两个不相等实数根为x1、x2，x1＜1＜x2，
所以函数y= x2+x+c＝0在x=1时，函数值小于0，
即1+1+c<0，
综上则，
解得c＜﹣2，
故选B.
【点睛】
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确理解题中的定义，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键.
7、A
【分析】根据题意，将代入方程得，移项即可得结果.
【详解】∵是方程的一个根,
∴,
∴,
故选A.
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，已知方程的根，只需将根代入方程即可.
8、B
【分析】利用顶点公式 ，进行计算
【详解】

顶点坐标为
故选B.
【点睛】
本题考查二次函数的性质，熟练运用抛物线顶点的公式是解题关键.
9、B
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
【详解】A. 2x - x = x,故本选项错误，
B. x2 y ¸ y = x2 ,故本选项正确，
C. ,故本选项错误，
D. ,故本选项错误.
故选B.
【点睛】
此题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法，解题关键在于掌握运算法则.
10、B
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性求出最小值和最大值即可．
【详解】解：∵y＝﹣x2+2x﹣4，
＝﹣（x2﹣2x+4）
＝﹣（x﹣1）2﹣1，
∴二次函数的对称轴为直线x＝1，
∴﹣1＜x＜2时，x＝1取得最大值为﹣1，
x＝﹣1时取得最小值为﹣（﹣1）2+2×（﹣1）﹣4＝﹣7，
∴y的取值范围是﹣7＜y≤﹣1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出对称轴从而判断出取得最大值和最小值的情况是解题的关键．
11、B
【分析】因式分解法解方程求得x的值，再根据三角形的三边关系判断能否构成三角形，最后求出周长即可．
【详解】解：∵，
∴（x－2）（x－3）＝0，
∴x－2＝0或x－3＝0，
解得：x＝2或x＝3，
当x＝2时，三角形的三边2＋2＞3，可以构成三角形，周长为3＋2＋2＝7；
当x＝3时，三角形的三边满足3＋2＞3，可以构成三角形，周长为3＋2＋3＝8，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力和三角形三边的关系，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
12、B
【解析】试题解析：由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，
∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，故当a=1、5时点B在⊙A上；
当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；
当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．
由以上结论可知选项A、C、D正确，选项B错误．
故选B．
点睛：若用d、r分别表示点到圆心的距离和圆的半径，则当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可．
【详解】
故答案为：．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键．
14、1．
【分析】根据圆周角定理进行分析可得到答案.
【详解】解：

∵∠BAC=∠BOC，∠ACB=∠AOB，
∵∠BOC=2∠AOB，
∴∠ACB=∠BAC=1°．
故答案为1．
考点：圆周角定理．
15、且
【解析】利用判别式，根据不等式即可解决问题.
【详解】∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝1有实数根，
∴△≥1且k≠1，
∴9+4k≥1，
∴，且k≠1，
故答案为且k≠1．
【点睛】
本题考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝1（a≠1）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞1时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝1时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜1时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
16、
【分析】根据题意求得钢球到达斜面低端的速度是1.5t．然后由“平均速度时间t”列出关系式，再把s=18代入函数关系式即可求得相应的t的值．
【详解】依题意得s=×t=t2，
把s=18代入，得18=t2，
解得 t=，或t=-（舍去）．
故答案为
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列出二次函数关系式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
17、
【分析】根据一元二次方程两根之积与系数的关系可知．
【详解】解：根据题意有两根之积x1x2==-1．
故一元二次方程-x2+3x+1=0的两根之积是-1．
故答案为：-1．
【点睛】
本题重点考查了一元二次方程根与系数的关系，是基本题型．两根之积x1x2=．
18、
【解析】根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线为，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得的坐标，即可求得的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点的坐标．
【详解】解：∵点坐标为，
∴直线为，，
∵，
∴直线为，
解得或，
∴，
∴，
∵，
∴直线为，
解得或，
∴，
∴
…，
∴，
故答案为．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．

三、解答题（共78分）
19、（1）见解析（2）2：1
【分析】（1）连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线．
（2）由△COD≌△COB．可得CD=CB，即可得DE=2CD，易证得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD：OC的值．
【详解】解：（1）证明：连接DO，
∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO．
∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中，，
∴△COD≌△COB（SAS）．
∴∠CDO=∠CBO=90°.
又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线.

（2）∵△COD≌△COB．∴CD=CB．
∵DE=2BC，∴ED=2CD．
∵AD∥OC，∴△EDA∽△ECO．
∴AD：OC=DE：CE=2：1．
20、 (1); (2).
【分析】（1）先移项，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，解方程即可；
（2）先把原方程方程进行去括号，移项合并运算，然后再利用配方法进行解方程即可.
【详解】解：，

，
即，
或，
原方程的根为：.
，
，
，
，即，
或，
原方程的根为：.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程.
21、 (1)画图见解析；(2)画图见解析.
【解析】（1）先连接矩形的对角线交于点O，再连接MO并延长，交AD于P，则点P即为AD的中点；
（2）先运用（1）中的方法，画出AD的中点P，再连接BP，交AC于点K，则点E，再连接DK并延长，交AB于点Q，则点Q即为AB的中点．
【详解】(1)如图点P即为所求；
(2)如图点Q即为所求；

【点睛】
本题考查的是作图的应用，掌握矩形的性质和三角形中位线定理、正确作出图形是解题的关键．
22、2．
【分析】根据分式的运算法则进行计算化简，再将x2=x+2代入即可.
【详解】解：原式=×
=×
=，
∵x2﹣x﹣2=2，
∴x2=x+2，
∴==2．
23、40°
【解析】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到∠DAC=∠CAO，得到答案．
【详解】如图：连接OC，

∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，又∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠CAO＝∠BAD＝40°，
【点睛】
本题考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
24、甲的怀疑没有道理， 先抓后抓抓中的机会是一样的，图表见解析
【分析】先正确画出树状图，根据树状图求出每人抓到五星的概率即可解答．
【详解】答：甲的怀疑没有道理， 先抓后抓抓中的机会是一样的 ．
用树状图列举结果如下：

从图中发现无论三个人谁先抓阄，抓到五星纸片的概率都是一样的，各为．
【点睛】
本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
25、（1）；（2）．
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式即可得；
（2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，从而可得求出，再代入方程即可得．
【详解】（1）∵原方程有实数根，
∴方程的根的判别式，
解得；
（2）由一元二次方程的根与系数的关系得：，
又，
，
将代入原方程得：，
解得．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式、以及根与系数的关系，较难的是题（2），熟练掌握根与系数的关系是解题关键．
26、（1）30°；（2）18°
【分析】(1)连接OC,根据已知条件得出，，根据平行线的性质得出，进而求得答案
(2)连接EB，得出，从而得出，与为同弧所对的角，因此两角相等.
【详解】解：（1）连接，

是的切线，
，
，
，
，
，
，
（2）连接，

是的直径，
，
，
，
，
，

【点睛】
本题是一道关于圆的综合性题目，考查到的知识点有圆的切线定理，平行线的性质，等边三角形的判定以及圆周角定理等，通过作辅助线综合分析是解题的关键.