--Wilcoxon符号秩检验.ppt
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1、2.2 Wilcoxon符号秩检验符号秩检验 Wilcoxon符号秩检验(Wilcoxon signed-rank test)是非参数统计中符号检验法的改进,它不仅利用了观察值和原假设中心位置的差的正负,还利用了差的值的大小的信息。虽然是简单的非参数方法,但却体现了秩的基本思想。.n n例例 2.4 2.4 下面是下面是1010个欧洲城镇每人每年平均消费的个欧洲城镇每人每年平均消费的酒量(相当于纯酒精数)(单位:升)。数据已酒量(相当于纯酒精数)(单位:升)。数据已经按升幂排列。经按升幂排列。4.12 5.18 7.63 9.74 10.39 4.12 5.18 7.63 9.74 10.39
2、 11.92 12.32 12.89 13.54 14.45 11.92 12.32 12.89 13.54 14.45 人们普遍认为欧洲各国人均年消费酒量的中人们普遍认为欧洲各国人均年消费酒量的中 位数相当于纯酒精位数相当于纯酒精8 8升,也就是升,也就是meme0 0=8=8。由数据。由数据 算得的中位数为算得的中位数为11.1611.16。因此,我们的检验设为:。因此,我们的检验设为:H H0 0:meme8 8 ,H H1 1:me 8me 8.n n 先计算每个样本值和原假设中me0的值之差,即Xi8。n n 考虑这些差的绝对值并将绝对值从小到大排序,从而求出这些绝对值的秩。n n
3、再计算比8大的样本对应的绝对值的秩之和,如果这个和比较大,我们就拒绝原假设,接受备择假设。.n n问题一般提法:假定样本X1,X n来自分布连续对称的总体X,在此假定下总体X的中位数等于均值。问题主要是检验中位数,即原检验为H0:me=me0,相对于各种单双边的备择假设。.注:(1)与符号检验不同:Wilcoxon符号秩检验假设总体分布是对称的。(2)在总体分布对称的假设下,即设总体X的分布关于点对称,则X的均值和中位数相同,且均为。所以检验总体中位数可等价于检验总体对称中心。即检验的原假设 H0:M=M0 等价于 H0:=0(相对于各种单双边的备择假设)。.n n检验步骤:检验步骤:H H0
4、 0:0 0 (对应于各单双边备择假设)(对应于各单双边备择假设)Step 1.Step 1.计算计算 i=1,2,n i=1,2,n。记差为。记差为z z i.i.Step 2.Step 2.将差将差z z i.i.的绝对值,即的绝对值,即 ,按从小到按从小到大的顺序排列。由于总体服从连续型分布,不妨大的顺序排列。由于总体服从连续型分布,不妨假定样本互不相等,都不等于假定样本互不相等,都不等于0 0,且样本差的绝对,且样本差的绝对值也互不相等。所以可得到样本值也互不相等。所以可得到样本z z i.i.的绝对值的秩,的绝对值的秩,不妨记不妨记 的秩为的秩为R R i i。.Step 3.Ste
5、p 3.符号秩和检验统计量为符号秩和检验统计量为 其中其中 或者取检验统计量为或者取检验统计量为 其中其中主要取主要取WW为检验统计量。为检验统计量。.n nStep 4 设w表示由样本算出的W的值。(1)H0:0,H1:0 p值P(W w);(2)H0:0,H1:0 0。若若H H1 1成立,则总体成立,则总体X X的分布关于点的分布关于点 对称。对称。从而有,从而有,P(X0)P(X0)P(Xa)P(Xa)P(X 8下面来用Wilcoxon符号秩检验,等价于检验 H0:8 ,H1:8.n n检验步骤检验步骤 Step 1.Step 1.对于对于 i=1,2,n i=1,2,n,计算得到新的
6、样本,计算得到新的样本z zi i和和它们对应的秩如下:它们对应的秩如下:样本样本 x xi i4.124.12 5.185.18 7.637.63 9.749.7410.3910.3911.9211.9212.3212.3212.912.913.5413.5414.4514.45 z zi i的的符号符号 z zi i的绝的绝对值对值3.883.88 2.192.19 0.370.37 1.741.742.392.393.923.924.324.324.894.895.545.546.456.45 秩秩 5 5 3 3 1 1 2 2 4 4 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10.n
7、n Step 2.计算W。W+=2+4+6+7+8+91046 利用W的分布,辅以统计软件,可计算出p值 0.032。n nStep 3.所以给定0.05时,此时可拒绝原假设,认为欧洲人均酒精年消费多于8升。.W的分布性质的分布性质 设独立同分布样本设独立同分布样本x x1 1,x,xn n来自连续对称总体来自连续对称总体X,XX,X分布的对称中心为分布的对称中心为。为方便讨论,不妨设原假。为方便讨论,不妨设原假设为设为 H H0 0:0 0,即总体分布关于原点即总体分布关于原点0 0对称的条件下,讨论对称的条件下,讨论W W的性质。的性质。注:注:W W与与W W有下列关系:有下列关系:W
8、W+W+W-=n(n=n(n1)/21)/2 .n n(关键)性质 2.1 令 则在总体的分布关于原点0对称时,W与S同分布。注:S是W当Rii时的特殊情况。研究W的分布可转为研究S的分布。.n n概率分布n n性质 2.2 在总体的分布关于原点0对称时,W的概率分布为 P(W+=d)=P(Sd)=t n(d)/2n,其中,d0,1,2,n(n+1)/2,tn(d)表示从1,2,n这n个数中任取若干个数(包括一个都不取),其和恰为d,共有多少种取法。.n n对称性n n性质 2.3 在总体的分布关于原点0对称时,W服从对称分布,对称中心为n(n+1)/4,即:对所有的d=0,1,2,n(n+1
9、)/4,有 P(W+=n(n+1)/4 d )P(W+=n(n+1)/4+d ),P(W+n(n+1)/4 d )P(W+n(n+1)/4+d )。.n n期望方差及渐近正态性期望方差及渐近正态性n n性质性质 2.4 2.4 在总体分布关于原点在总体分布关于原点0 0对称时,对称时,E(W E(W+)=n(n+1)/4)=n(n+1)/4,D D(WW+)=n(n+1)(2n+1)/24=n(n+1)(2n+1)/24。n n性质性质 2.5 2.5 若总体分布关于原点若总体分布关于原点0 0对称,则在样本容对称,则在样本容量量n n趋于无穷大时,趋于无穷大时,WW+有渐近正态性:有渐近正态
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