八年级下册数学期末试卷测试卷(解析版).doc

八年级下册数学期末试卷测试卷（解析版）
一、选择题
1．若两个最简二次根式和是同类二次根式，则的值为（ ）
A．4或－1 B．4 C．1 D．－1
2．下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，14 C．6，8，9 D．8，13，15
3．如图，下列四组条件中．不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．AB∥DC，AB＝DC
4．一组数据为，，，，，则这一组数据的众数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在AB上，且AM＝1，N是BD上一动点，则AN+MN的最小值为（ ）

A．4 B． C．5 D．4
6．如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，则∠CBD的度数是（　　）

A．90° B．70° C．55° D．35°
7．如图，在平行四边形纸片ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝4，将纸片沿对角线AC对折，使得点B落在点B′的位置，连接DB'，则DB'的长为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．15
8．如图所示的图象(折线)描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离(千米)与行驶时间(时)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了140千米；②汽车在行驶途中停留了1小时；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为30千米/时；④汽车出发后6小时至9小时之间行驶的速度在逐渐减小.其中正确的说法共有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．函数中x的取值范围是______．
10．菱形的两条对角线长分别为5和8，则这个菱形的的面积为__________．
11．如图，每个方格都是边长为1的小正方形，则AB＋BC＝_____．

12．如图，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平，再一次折叠，使点落在上点处，若，则的长为______．

13．若函数y=kx+4的图象平行于直线y=3x，则此函数的表达式是_____．
14．如图，在中，，，当________时，四边形是菱形．

15．如图，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线l2：y＝4x﹣4与y轴交于点C，与x轴交于点D，直线l1，l2交于点P．若x轴上存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q的坐标是 _____．

16．如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，如果在AC边上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，那么CE的长为________．

三、解答题
17．计算：（1）；
（2）；
（3）（2+1）（2﹣1）﹣（﹣1）2；
（4）．
18．去年某省将地处，两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便，两地师生的交往，学校准备在相距的，两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段），经测量，在地的北偏东60度方向、地的西偏北45度方向处有一个半径为的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（参考数据）

19．如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．
（1）通过计算判断△ABC的形状；
（2）求AB边上的高．

20．如图，在中，对角线、相交于点，，过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
21．观察下列各式:

化简以上各式，并计算出结果;
以上式子与其结果存在一定的规律．请按规律写出第个式子及结果．
猜想第个式子及结果(用含(的整数)的式子写出)，并对猜想进行证明．
22．某网校规定：普通网上学习费用每小时4元．暑假为了促销，新推出两种优惠卡：
①金卡售价120元/张，凭此卡账号登录学习不再收费；
②银卡售价30元张，凭此卡账号登录学习按每小时2元收费．设登录学习时数为x（时），所需总费用为y（元）．
（1）分别写出选择银卡登录、普通登录时，y与x之间的函数关系式；
（2）在同一个坐标系中，三种登录方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标：　　．
（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．

23．问题发现：
（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b．填空：当点A位于CB延长线上时，线段AC的长可取得最大值，则最大值为 　 　（用含a，b的式子表示）；

尝试应用：
（2）如图2所示，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，M、N分别为AB、AD的中点，连接MN、CE．AD＝5，AC＝3．
①请写出MN与CE的数量关系，并说明理由．
②直接写出MN的最大值．
（3）如图3所示，△ABC为等边三角形，DA＝6，DB＝10，∠ADB＝60°，M、N分别为BC、BD的中点，求MN长．
（4）若在第（3）中将“∠ADB＝60°”这个条件删除，其他条件不变，请直接写出MN的取值范围．
24．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝，那么称点T是点A，B的三分点．
例如：A（﹣1，5），B（7，7），当点T（x，y）满足x＝＝2，y＝＝4时，则点T（2，4）是点A，B的三分点．

（1）已知点C（﹣1，8），D（1，2），E（4，﹣2），请说明其中一个点是另外两个点的三分点．
（2）如图，点A为（3，0），点B（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点A，B的三分点．
①试确定y与x的关系式．
②若①中的函数图象交y轴于点M，直线l交y轴于点N，当以M，N，B，T为顶点的四边形是平行四边形时，求点B的坐标．
③若直线AT与线段MN有交点，直接写出t的取值范围．
25．如图1，在中，，,，以OB为边，在外作等边，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．

（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）连接AC，BE交于点P，求AP的长及AP边上的高BH；
（3）在（2）的条件下，将四边形OABC置于如图所示的平面直角坐标系中，以E为坐标原点，其余条件不变，以AP为边向右上方作正方形APMN：
①M点的坐标为 ．
②直接写出正方形APMN与四边形OABC重叠部分的面积（图中阴影部分）．
【参考答案】
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据同类二次根式的概念可得关于n的方程，解方程可求得n的值，再根据二次根式有意义的条件进行验证即可得．
【详解】
解：由题意：n2-2n=n+4，即n2-3n-4=0，
所以（n-4）（n+1）=0
解得：n1=4，n2=-1，
当n=4时，n2-2n=8，n+4=8，符合题意，
当n=-1时，n2-2n=3，n+4=3，符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查了同类二次根式，二次根式有意义的条件，解一元二次方程等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
2．A
解析：A
【分析】
分别把选项中的三边平方后，根据勾股定理逆定理即可判断能否构成直角三角形．
【详解】
解：A．∵32+42=52，∴能构成直角三角形三边；
B．∵52+122≠142，∴不能构成直角三角形三边；
C．∵62+82≠92，∴不能构成直角三角形三边；
D．∵82+132≠152，∴不能构成直角三角形三边．
故选A．
【点睛】
本题考查了利用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法．在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据题意利用平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行分析判断即可．
【详解】
解：根据平行四边形的判定，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定定理．熟练掌握判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”以及应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据众数的定义求解即可，众数为一组数据中出现次数最多的数．
【详解】
解：这组数中4出现了3次，出现次数最多，众数为4
故选C．
【点睛】
此题考查了众数的有关定义，熟练掌握众数的定义是解题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
连接AC，则直线AC即为BD的垂直平分线，点A与点C关于直线BD对称，连CM交BD于点N，则此时AN+MN的值最小，连接AN，根据垂直平分线的性质
可得AN=CN，从而得出AN+MN=CN+MN=CM，再根据勾股定理得出CM的长即可解决问题．
【详解】
解：在正方形ABCD中连接AC，则点A与点C是关于直线BD为对称轴的对称点，
∴连接MC交BD于点N，则此时AN+MN的值最小，
连接AN，
∵直线AC即为BD的垂直平分线，
∴AN=NC
∴AN+MN=CN+MN=CM，
∵四边形ABCD为正方形，AM=1
∴BC=4，BM=4-1=3，∠CBM=90°，
∴，
∴AN+MN的最小值是5．
故选：C．

【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理等知识点，此题的难点在于利用轴对称的方法确定满足条件的点N的位置．
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据菱形的性质得到∠ABD＝∠CBD，AD∥BC，根据平行线的性质求出∠ABC的度数，可进而求出∠CBD的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠CBD，AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，∠CBD＝∠ABC，
∵∠A＝110°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°，
∴∠CBD＝×70°＝35°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的对边互相平行，对角线平分一组对角．
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
先利用平行四边形的性质得到，再由折叠的性质得到，，由此可得到，再利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
由折叠的性质可知：，，
∴，
∴，
∴在直角三角形中，
故选A．

【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
8．A
解析：A
【分析】
根据函数图像上的特殊点以及函数图像自身的实际意义进行判断即可.
【详解】
解：由图象可知，汽车走到距离出发点140千米的地方后又返回出发点，所以汽车共行驶了280千米，①错；从3时开始到4时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时在停留，停留了4-3=1小时，②对；汽车用9小时走了280千米，平均速度为：280÷9≠30米/时，③错.汽车自出发后6小时至9小时，图象是直线形式，说明是在匀速前进，④错.
故答案为A.
【点睛】
本题考查由函数图象的实际意义，理解函数图像所反映的运动过程是解答本题的关键.
二、填空题
9．x＞﹣2且x≠1．
【解析】
【分析】
从二次根式，分式，零指数幂三个角度去思考求解即可．
【详解】
由题意得，x+2＞0，且x﹣1≠0，
解得x＞﹣2且x≠1，
所以x的取值范围是x＞﹣2且x≠1．
故答案为：x＞﹣2且x≠1．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，熟练上述基本条件是解题的关键．
10．20
【解析】
【分析】
菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果．
【详解】
解：∵菱形的两条对角线长分别为5和8，
∴菱形的面积：．
故答案为：20．
【点睛】
本题考查了菱形的面积，菱形面积的求解方法有两种：①底乘以高，②对角线积的一半，解题关键是对面积公式的熟练运用．
11．A
解析：
【解析】
【分析】
根据勾股定理可以求出AB和BC的长，进而可求出AB+BC的值．
【详解】
解：∵每个方格都是边长为1的小正方形，
∴，

∴AB＋BC＝．
故答案为．
【点睛】
本题考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12．
【分析】
由折叠的性质可知，，从而可得，继而求得，所以，再根据勾股定理求解即可
【详解】
由折叠可知：，
，
是的中点

，

四边形是矩形

故答案为：
【点睛】
本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，求得是解题的关键．
13．y=3x+4
【解析】
【分析】
两个一次函数的图象平行，则一次项系数一定相同，则解析式即可求得
【详解】
∵函数y=kx+4的图象平行于直线y=3x，
∴k=3，函数的表达式为y=3x+4．
故答案为：y=3x+4
【点睛】
本题考查了两条直线平行的问题，一次函数平行系数的特点是解题的关键
14．A
解析：16
【分析】
当四边形ABCD为菱形时，则有AC⊥BD，设AC、BD交于点O，结合平行四边形的性质可得AO＝6，AB＝10，利用勾股定理可求得BO，则可求得BD的长．
【详解】
解：如图，设AC、BD交于点O，

当四边形ABCD为菱形时，则AC⊥BD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝AC＝6，且AB＝10，
∴在Rt△AOB中，BO，
∴BD＝2BO＝16，
故答案为：16．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解题的关键．
15．（4，0）
【分析】
根据一次函数的性质分别求得点A、点C、点P的坐标，然后结合平行四边形的性质求解．
【详解】
解：在y=x+2中，当y=0时，x+2=0，
解得：x=-2，
∴点A的坐标为（-2
解析：（4，0）
【分析】
根据一次函数的性质分别求得点A、点C、点P的坐标，然后结合平行四边形的性质求解．
【详解】
解：在y=x+2中，当y=0时，x+2=0，
解得：x=-2，
∴点A的坐标为（-2，0），
在y=4x-4中，当x=0时，y=-4，
∴C点坐标为（0，-4），
联立方程组，
解得：，
∴P点坐标为（2，4），
设Q点坐标为（x，0），
∵点Q在x轴上，
∴以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，AQ和PC是对角线，
∴，
解得：x=4，
∴Q点坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，理解一次函数的图象性质，掌握平行四边形对角线互相平分，利用数形结合思想解题是关键．
16．3
【分析】
利用勾股定理可求出AC=8，根据折叠的性质可得BD=AB，DE=AE，根据线段的和差关系可得CD的长，设CE=x，则DE=8-x，利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案．
【详解】
∵
解析：3
【分析】
利用勾股定理可求出AC=8，根据折叠的性质可得BD=AB，DE=AE，根据线段的和差关系可得CD的长，设CE=x，则DE=8-x，利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案．
【详解】
∵∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，
∴AC===8，
∵BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，
∴BD=AB=10，DE=AE，∠DCE=90°，
∴CD=BD-BC=10-6=4，
设CE=x，则DE=AE=AC-CE=8-x，
∴在Rt△DCE中，DE2=CE2+CD2，即（8-x）2=x2+42，
解得：x=3，
∴CE=3，
故答案为：3
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质及勾股定理的应用，根据翻折前后的两个图形能够重合得到相等的线段并转化到一个直角三角形中，利用勾股定理列出方程是解此类题目的关键．
三、解答题
17．（1）；（2）1；（3）；（4）．
【分析】
（1）先化成最简二次根式，再合并即可；
（2）利用二次根式的除法法则计算即可；
（3）利用乘法公式展开，再合并即可；
（4）先计算乘除，再合并即可．
【
解析：（1）；（2）1；（3）；（4）．
【分析】
（1）先化成最简二次根式，再合并即可；
（2）利用二次根式的除法法则计算即可；
（3）利用乘法公式展开，再合并即可；
（4）先计算乘除，再合并即可．
【详解】
解：（1）

=；
（2）

=1；
（3）（2+1）（2﹣1）﹣（﹣1）2
=
=
=；
（4）

．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
18．计划修筑的这条公路不会穿过公园．理由见解析
【分析】
先过点C作CD⊥AB于D，设CD为xkm，则BD为xkm，AD为xkm，则有x+x=2，求出x的值，再与0.7比较大小，即可得出答案．
【详解】
解析：计划修筑的这条公路不会穿过公园．理由见解析
【分析】
先过点C作CD⊥AB于D，设CD为xkm，则BD为xkm，AD为xkm，则有x+x=2，求出x的值，再与0.7比较大小，即可得出答案．
【详解】
解：如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，

由题意可得∠CAB=30°，∠CBA=45°，
在Rt△CDB中，∠BCD=45°，
∴∠CBA=∠BCD，
∴BD=CD．
在Rt△ACD中，∠CAB=30°，
∴AC=2CD．设CD=DB=x，
∴AC=2x．
由勾股定理得AD=．
∵AD+DB=2.732，
∴x+x=2.732，
∴x≈1．
即CD≈1＞0.7，
∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．
【点睛】
本题考查了解直角三角形及勾股定理的应用，用到的知识点是方向角和含30度角的直角三角形的性质，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形．
19．（1）△ABC是直角三角形；（2）AB边上的高＝2
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理和勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）由三角形的面积即可得出结果．
【详解】
解：（1）由勾股定理得：AC2
解析：（1）△ABC是直角三角形；（2）AB边上的高＝2
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理和勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）由三角形的面积即可得出结果．
【详解】
解：（1）由勾股定理得：AC2＝42+22＝20，BC2＝22+12＝5，AB2＝32+42＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）∵AC＝，BC＝，△ABC是直角三角形，
∴AB边上的高＝．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
20．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，进而得到，再由，得到，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到AD＝AB＝BC＝5，AO＝CO，在、中利用
解析：（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，进而得到，再由，得到，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到AD＝AB＝BC＝5，AO＝CO，在、中利用勾股定理分别求BE、AC，进而在中利用斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形．
（2）解：∵四边形为平行四边形，，
∴四边形为菱形，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴OE是的中线，
∴．

【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定与性质，直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，正确的识别图形是解题的关键．
21．；；第个式子为及结果为，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果；
（2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果；
（3）根据（1）的规律可得，然后分母有理
解析：；；第个式子为及结果为，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果；
（2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果；
（3）根据（1）的规律可得，然后分母有理化，求出结果即可．
【详解】
解：

第个式子为及结果为

证明：左边
右边
成立
【点睛】
本题主要考查分母有理化的知识点，解答本题的关键是找出上述各式的变化规律，此题难度一般．
22．（1）普通登录时，y与x之间的函数关系式为y＝4x；银卡登录时，y与x之间的函数关系式为y＝2x+30；（2）A（0，30）；B（15，60）；C（45，120）；（3）见解析
【分析】
（1）弄清
解析：（1）普通登录时，y与x之间的函数关系式为y＝4x；银卡登录时，y与x之间的函数关系式为y＝2x+30；（2）A（0，30）；B（15，60）；C（45，120）；（3）见解析
【分析】
（1）弄清题意，结合图象易知普通登录时为正比例函数图象，银卡为一次函数图象，依题意写出即可；
（2）根据（1）的结论列方程组可得点B的坐标，根据银卡登录y与x之间的函数关系式可得点A、C的坐标；
（3）先求出点D的坐标，再根据图象解答即可．
【详解】
解：（1）由题意可知，普通登录时，y与x之间的函数关系式为y＝4x；
银卡登录时，y与x之间的函数关系式为y＝2x+30；
（2）由题意可知，点A 的坐标为（0，30）；
解方程组，得，
∴点B的坐标为（15，60）；
由2x+30＝120，解得x＝45，
∴点C的坐标为（45，120）．
故答案为：A（0，30）；B（15，60）；C（45，120）；
（3）由4x＝120，解得x＝30，
∴点D的坐标为（30，120），
根据函数图象，可知：
当0＜x＜15时，选择购买普通票更合算；
当x＝15时，选择购买银卡、普通票的总费用相同；
当15＜x＜45时，选择购买银卡更合算．
当x＝45时，选择购买银卡和金卡更合算．
当x＞45时，选择购买金卡更合算．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，重点掌握一次函数的基本性质，能利用数形结合的思想方法是解题关键．
23．（1）a+b；（2）①EC＝2MN，见解析；②MN的最大值为4；（3）MN＝7；（4）2≤MN≤8
【分析】
（1）当点在的延长线上时，的值最大．
（2）①结论：．连接，再利用全等三角形的性质证明，
解析：（1）a+b；（2）①EC＝2MN，见解析；②MN的最大值为4；（3）MN＝7；（4）2≤MN≤8
【分析】
（1）当点在的延长线上时，的值最大．
（2）①结论：．连接，再利用全等三角形的性质证明，再利用三角形的中位线定理，可得结论．②根据，求出，，可得结论．
（3）如图3中，以为边向左作等边，连接，，过点作交的延长线于．证明，，求出可得结论．
（4）由（3）可知，，求出的取值范围，可得结论．
【详解】
解：（1），，
，
的最大值为，
故答案为：．
（2）①结论：．

理由：连接．
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
．
②，，
，，
，
，
，
的最大值为4．
（3）如图3中，以为边向左作等边，连接，，过点作交的延长线于．

，都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
，

，
，，
，
，
．
（4）由（3）可知，，
，
，
．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
24．（1）见解析；（2）①y＝2x﹣1；②点B的坐标（，6）或（﹣，）；③﹣3≤t≤1
【解析】
【分析】
（1）由“三分点”的定义可求解；
（2）①由“三分点”定义可得：，消去t即可求解；
②先求出点
解析：（1）见解析；（2）①y＝2x﹣1；②点B的坐标（，6）或（﹣，）；③﹣3≤t≤1
【解析】
【分析】
（1）由“三分点”的定义可求解；
（2）①由“三分点”定义可得：，消去t即可求解；
②先求出点M，点N的坐标，分两种情况：MN为一边或MN为对角线，利用平行四边形的性质可求解；
（3）利用特殊位置，分别求出AT过点M和过点N时，t的值，即可求解．
【详解】
（1）∵，，
∴点D（1，2）是点C，点E的三分点；
（2）①∵点A为（3，0），点B（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点A，B的三分点，
∴，
∴y＝2x﹣1；
②∵y＝2x﹣1图象交y轴于点M，直线l交y轴于点N，
∴点M（0，﹣1），点N（0，3），
当四边形MTBN是平行四边形时，
∴BT∥MN，
∵B（t，2t+3），T（，），
∴t＝，
∴t＝，
∴点B的坐标（，6）；
当四边形MTNB是平行四边形时，
设BT与MN交于点P，则点P为BT与MN的中点，
∴点P（0，1），
∵B（t，2t+3），T（，），
∴t+＝0，
∴t＝﹣，
∴点B（﹣，），
综上所述：点B的坐标为（，6）或（﹣，）；
（3）当直线AT过点M时，
∵点A（3，0），点M（0，﹣1），
∴直线AM解析式为y＝x﹣1，
∵点T是直线AM上，
∴＝×﹣1
∴t＝﹣3，
当直线AT过点N时，
∵点A（3，0），点M（0，3），
∴直线AN解析式为y＝﹣x+3，
∵点T是直线AN上，
∴＝﹣+3，
∴t＝1，
∵直线AT与线段MN有交点，
∴﹣3≤t≤1．
【点睛】
本题新定义考题，题目中给出一个新的概念，严格利用新的概念进行求解；但是，新定义问题实质上是课程内知识点的综合应用，比如本题考查了消元法，平行四边形的性质和一次函数，本类题目一定要注意分类讨论，利用合适条件确定边界条件是解题的关键．
25．（1）见解析；（2），；（3）①；②
【分析】
（1）利用直角三角形斜边中线的性质可得DO=DA，推出∠AEO=60°，进一步得出BC∥AE，CO∥AB，可得结论；
（2）先计算出OA=，推出PB=
解析：（1）见解析；（2），；（3）①；②
【分析】
（1）利用直角三角形斜边中线的性质可得DO=DA，推出∠AEO=60°，进一步得出BC∥AE，CO∥AB，可得结论；
（2）先计算出OA=，推出PB=，利用勾股定理求出AP=，再利用面积法计算BH即可；
（3）①求出直线PM的解析式为y=x-3，再利用两点间的距离公式计算即可；
②易得直线BC的解析式为y=x+4，联立直线BC和直线PM的解析式成方程组，求得点G的坐标，再利用三角形面积公式计算．
【详解】
（1）证明：∵Rt△OAB中，D为OB的中点，
∴AD=OB，OD=BD=OB，
∴DO=DA，
∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，
∴∠AEO=60°，
又∵△OBC为等边三角形，
∴∠BCO=∠AEO=60°，
∴BC∥AE，
∵∠BAO=∠COA=90°，
∴CO∥AB，
∴四边形ABCE是平行四边形；
（2）解：在Rt△AOB中，∠AOB=30°，OB=8，
∴AB=4，
∴OA=，
∵四边形ABCE是平行四边形，
∴PB=PE，PC=PA，
∴PB=，
∴
∴，
即
∴；
（3）①∵C（0，4），
设直线AC的解析式为y=kx+4，
∵P（，0），
∴0=k+4，
解得，k=，
∴y=x+4，
∵∠APM=90°，
∴直线PM的解析式为y=x+m，
∵P（，0），
∴0=×+m，
解得，m=-3，
∴直线PM的解析式为y=x-3，
设M（x，x-3），
∵AP=，
∴（x-）2+（x-3）2=（）2，
化简得，x2-4x-4=0，
解得，x1=，x2=（不合题意舍去），
当x=时，y=×（）-3=，
∴M（，），
故答案为：（，）；
②∵
∴直线BC的解析式为：，
联立，解得，
∴，

【点睛】
本题考查的是平行四边形的判定，等边三角形的性质，两点间的距离，正方形的性质，矩形的性质，一次函数的图象和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．