人教版初二上学期期末模拟数学质量检测试卷解析(一).doc

人教版初二上学期期末模拟数学质量检测试卷解析（一）
一、选择题
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为（       ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（       ）
A． B．
C． D．
4．函数中自变量的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
5．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（       ）
A． B．
C． D．
6．下列各式正确的是（       ）
A． B．
C． D．
7．如图，点E，C，F，B在同一条直线上，ACDF，EC＝BF，则添加下列条件中的一个条件后，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．AC＝DF B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．ABDE
8．若关于x的一次函数的图象不经过第二象限，且关于x的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数m的和是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．5
9．如图，在△ABC中，∠B＝74°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若AB＋BD＝BC，则∠BAC的度数为（       ）

A．74° B．69° C．65° D．60°
10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出下列四个结论：①△APE≌△CPF；②AE=CF；③△EAF是等腰直角三角形；④S△ABC=2S四边形AEPF，上述结论正确的有（     ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．若分式的值为0，则x的值为__________．
12．点与点B关于y轴对称，点B与点C关于x轴对称，则点C的坐标是_______．
13．已知，则的值是__________．
14．已知，则________．
15．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10，S△ABC＝30，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点M、N分别是BD和BC上的动点，则CM+MN的最小值是_____．

16．若是完全平方式，则m的值是______．
17．一个n边形的内角和为1080°，则n=________．
18．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝20 cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，点N从B出发向Q运动，速度之比为2：3，运动到某一瞬间两点同时停止，在AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则AC的长度为 _______ cm．

三、解答题
19．分解因式：
(1)
(2)
20．解分式方程
（1）                                        
（2）
21．已知：如图，点、、、在一条直线上，、两点在直线的同侧，，，．
求证：．

22．在学习完《7．5三角形内角和定理》，小芳和同学们作如下探究：
已知：在中，，分别是的边，上的点，点是边上的一个动点，令，．

(1)他们探究得到：四边形的内角和是．
理由如下：如图①，连接，
在和中，
,
（ ）．

（ ）．
．
即四边形的内角和是．
(2)如图①，点在线段上，且,求的度数．
(3)如果点运动到的延长线上，请在图②中补全图形，并直接写出，，之间的等量关系．
23．某服装制造厂要在开学前赶制4800套校服，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强一线人力，使每天制作的校服数量比原计划每天制作的数量增加40套，结果所用天数是原计划天数的．求原计划每天制作校服多少套．
24．好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：( x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为： x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．
请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．
(1)计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为_____．
(2)( x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为_______．
(3)若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；
(4)若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020=_____．
25．已知，A(0，a)，B(b，0)，点为x轴正半轴上一个动点，AC＝CD，∠ACD＝90°．
（1）已知a，b满足等式｜a +b｜+b2+4b＝－4．
①求A点和B点的坐标；
②如图1，连BD交y轴于点H，求点H的坐标；

（2）如图2，已知a+b=0，OC＞OB，作点B关于y轴的对称点E，连DE，点F为DE的中点，连OF和CF，请补全图形，探究OF与CF有什么数量和位置关系，并证明你的结论．

26．等边中，点、分别在边、上，且，连接、交于点．
（1）如图1，求的度数；

图1
（2）连接，若，求的值；
（3）如图2，若点为边的中点，连接，且，则的大小是___________．

图2
【参考答案】
一、选择题
2．C
解析：C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.
3．A
解析：A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.000000076用科学记数法表示为，
故选：A．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．C
解析：C
【分析】利用合并同类项的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、a3+a3=2a3，故A不符合题意；
B、（a2b）2=a4b2，故B不符合题意；
C、（-a）6÷（-a）2=a4，故C符合题意；
D、（-2a）3=-8a3，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．B
解析：B
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0即可得出答案．
【详解】解：∵x−1＞0，
∴x＞1．
故选：B．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：是整式的乘法，故A不符合题意；
，符合因式分解的定义，故B符合题意；
不是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C不符合题意；
，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，利用平方差公式分解因式，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
7．D
解析：D
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，逐项判断即可．
【详解】解：∵，
∴选项A不符合题意；
∵，
∴选项B不符合题意；
∵，
∴选项C不符合题意；
∵，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
8．B
解析：B
【分析】先证明∠ACB＝∠DFE，EF＝BC，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】解：∵AC//DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵EC＝BF，
∴EC+CF＝BF+CF，
即EF＝BC，
∴当添加AC＝DF时，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF；
当添加∠A＝∠D时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF；
当添加AB∥DE时，∠B＝∠E，可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
9．A
解析：A
【分析】先利用一次函数的性质列不等式组求解m的范围，再解分式方程可得结合分式方程的解为非负整数确定m的值，从而可得答案．
【详解】解：∵一次函数y=（m+3）x+m-5的图象不经过第二象限，
解得-3＜m≤5，
解分式方程
∴
整理得：
得，
∵关于x的分式方程有非负整数解，
∴是非负整数且不等于2，
∴m=-1，2，
∵（-1）+2=1，
∴满足条件的所有整数m的和为1，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的性质、分式方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出满足条件的m的值，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答．
10．B
解析：B
【分析】连接AD，由线段垂直平分线的性质可得AD＝CD，进而可得∠DAC＝∠C，由等腰三角形的性质可得∠ABD＝∠ADB＝74°，由外角的性质和三角形内角和定理可求解．
【详解】解：如图，连接AD，

∵边AC的垂直平分线交BC于点D，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C，
∵AB+BD＝BC，BD+CD＝BC，
∴CD＝AB，
∴AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB＝74°，
∴∠C＝37°，
∴∠BAC＝180°﹣74°﹣37°＝69°，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是本题的关键．
11．C
解析：C
【分析】利用“角边角”证明△APE和△CPF全等，根据全等三角形的可得AE=CF，再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP是等腰直角三角形，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半．
【详解】∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，
∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，
∴∠APF+∠CPF=90°，
∵∠EPF是直角，
∴∠APF+∠APE=90°，
∴∠APE=∠CPF，
在△APE和△CPF中，
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，故①②正确；
∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE，
∴△EFP是等腰直角三角形，故③错误；
∵△APE≌△CPF，
∴S△APE=S△CPF，
∴四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=S△ABC．故④正确，
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，从而得到△APE和△CPF全等是解题的关键，也是本题的突破点．
二、填空题
12．3
【分析】根据分式的值为0时分母≠0，且分子＝0两个条件求出x的值即可．
【详解】由x2-9=0，得
x=±3．
又∵x+3≠0，
∴x≠-3，
因此x=3．
故答案为3．
【点睛】本题考查了分式值为0时求字母的值．分式值为0时分子=0，分母≠0，两个条件缺一不可，掌握以上知识是解题的关键．
13．B
解析：（2，-3）
【分析】先根据关于轴对称的点的特征求得点的坐标，再根据关于轴对称的点的特征求得点的坐标即可．
【详解】点与点B关于y轴对称，
，
点B与点C关于x轴对称，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中对称点的坐标特点，掌握对称点的坐标特点是解题的关键．①关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数．
14．
【分析】先利用乘法公式算出的值，再根据分式的加法运算算出结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的求值，解题的关键是掌握分式的加法运算法则．
15．4
【分析】逆用积的乘方得到一元一次方程，求解方程即可得到x的值．
【详解】解：∵
∴，即
∴
解得，
故答案为：4
【点睛】本题主要考查了积的乘方逆运用以及解一元一次方程，熟练掌握积的乘方的性质是解答本题的关键．
16．6
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
【详解】解：过点
解析：6
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M作MN′⊥BC于N′，

∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N
∴M′N′＝M′E，
∴CE＝CM′+M′E
∴当点M与M′重合，点N与N′重合时，CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为30，AB＝10，
∴×10×CE＝30，
∴CE＝6．
即CM+MN的最小值为6．
故答案为6．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
17．【分析】两个完全平方式： 根据完全平方式的特点进行解得即可.
【详解】解： 是完全平方式，
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用完全平方式的特点求解字母参数的范围，掌握“完全平
解析：
【分析】两个完全平方式： 根据完全平方式的特点进行解得即可.
【详解】解： 是完全平方式，

故答案为：
【点睛】本题考查的是利用完全平方式的特点求解字母参数的范围，掌握“完全平方式的特点”是解本题的关键.
18．8
【分析】直接根据内角和公式计算即可求解．
【详解】解：（n﹣2）•180°=1080°，解得n=8．
故答案为8．
【点睛】主要考查了多边形的内角和公式.多边形内角和公式：．
解析：8
【分析】直接根据内角和公式计算即可求解．
【详解】解：（n﹣2）•180°=1080°，解得n=8．
故答案为8．
【点睛】主要考查了多边形的内角和公式.多边形内角和公式：．
19．8或15##15或8
【分析】设，则，使△ACM与△BMN全等，由可知，分两种情况讨论：当BM=AC，BN=AM时，列方程解得t的值即可得到AC的长；当BM=AM，BN=AC时，列方程解得t的值，
解析：8或15##15或8
【分析】设，则，使△ACM与△BMN全等，由可知，分两种情况讨论：当BM=AC，BN=AM时，列方程解得t的值即可得到AC的长；当BM=AM，BN=AC时，列方程解得t的值，可解得AC的长．
【详解】解：设cm，则cm，
，要使得△ACM与△BMN全等，可分两种情况讨论：
当BM=AC，BN=AM时，

解得
cm；
当BM=AM，BN=AC时，

解得
cm
故答案为：8或15．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，涉及分类讨论法、列一元一次方程、解一元一次方程等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题
20．(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解；
（2）先利用平方差公式因式分解，再提取公因式因式分解．
(1)
解：；
(2)
解：．
【点睛】本题考查了因式
解析：(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解；
（2）先利用平方差公式因式分解，再提取公因式因式分解．
(1)
解：；
(2)
解：．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提取公因式及平方差公式．
21．（1）；（2）
【分析】（1）分式方程两边同乘以x（x+2），去分母将分式方程转化为整式方程求解，结果要检验；
（2）分式方程两边同乘以（x-2）（x+2），去分母将分式方程转化为整式方程求解，
解析：（1）；（2）
【分析】（1）分式方程两边同乘以x（x+2），去分母将分式方程转化为整式方程求解，结果要检验；
（2）分式方程两边同乘以（x-2）（x+2），去分母将分式方程转化为整式方程求解，结果要检验．
【详解】解：（1）去分母得：2x+4=3x，
解得：x=4，
经检验x=4是分式方程的解；
（2）去分母得：x（x+2）-1=（x+2）（x-2），
解得：，
经检验是分式方程的解．
【点睛】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
22．见解析
【分析】利用平行线的性质推知∠ABC＝∠DEF，由AAS证得△ABC≌△DEF，即可得出结论．
【详解】∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在
解析：见解析
【分析】利用平行线的性质推知∠ABC＝∠DEF，由AAS证得△ABC≌△DEF，即可得出结论．
【详解】∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC＝DF．
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质以及平行线的性质；证明三角形全等是解题的关键．
23．(1)三角形的内角和等于；等式的性质
(2)124°
(3)或
【分析】（1）根据三角形内角和定理、等式的性质直接得出．
（2）根据探究得出的四边形的内角和是，已知，建立等式，利用平角的定义
解析：(1)三角形的内角和等于；等式的性质
(2)124°
(3)或
【分析】（1）根据三角形内角和定理、等式的性质直接得出．
（2）根据探究得出的四边形的内角和是，已知，建立等式，利用平角的定义进行等量代换即可得出．
（3）利用三角形内角和定理、平角的定义建立等式，等量代换推理得出．
（1）解：如图①，连接，在和中，,（三角形的内角和等于）．（等式的性质）．．四边形的内角和是．
（2）解：由（1）得，（已证），，（已知）．          ①又，，（平角的定义），．，（等式的性质）．          ②由①②得，，．
（3）如图②，．，，，，，．，．如图③，．，，，．，，．．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理的理解与探索论证能力．涉及以下知识点：三角形三个内角和等于；平角等于，是角的两边成一条直线时所成的角；对顶角相等．灵活运用三角形内角和定理、平角的定义、已知信息建立等式，从而可以等量代换是解本题的关键．
24．原计划每天制作校服120套
【分析】设原计划每天制作校服套，根据结果所用天数是原计划天数的．列分式方程，解此方程即可．
【详解】解：设原计划每天制作校服套
根据题意，得
解，得
经检验：是
解析：原计划每天制作校服120套
【分析】设原计划每天制作校服套，根据结果所用天数是原计划天数的．列分式方程，解此方程即可．
【详解】解：设原计划每天制作校服套
根据题意，得
解，得
经检验：是原方程的解
答：原计划每天制作校服120套．
【点睛】本题考查分式方程的应用、解分式方程等知识，注意验根．
25．（1）-11（2）63.5（3）a=-3（4）2021．
【分析】（1）求一次项系数，用每个括号中一次项的系数分别与另外两个括号中的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．
（2）求二次项系数，还有
解析：（1）-11（2）63.5（3）a=-3（4）2021．
【分析】（1）求一次项系数，用每个括号中一次项的系数分别与另外两个括号中的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．
（2）求二次项系数，还有未知数的项有x、2x、5x，选出其中两个与另一个括号内的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．
（3）先根据（1）（2）所求方法求出一次项系数，然后列出等式求出a的值．
（4）根据前三问的规律即可计算出第四问的值．
【详解】解：（1）由题意可得(x+2)(3x+1)(5x-3)一次项系数是：1×1×（-3）+3×2×（-3）+5×2×1=-11．
（2）由题意可得( x+6)(2x+3)(5x-4) 二次项系数是：
．
（3）由题意可得(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)一次项系数是：
1×a×（-1）+（-3）×1×（-1）+2×1×a = a+3=0
∴a=-3．
（4）通过题干以及前三问可知：一次项系数是每个多项式的一次项分别乘以其他多项式常数项然后结果相加可得．
所以(x+1)2021一次项系数是：a2020=2021×1=2021．
故答案为：（1）-11（2）63.5（3）a=-3（4）2021．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，观察题干，得出规律是关键．
26．（1）①A（0，2），B（-2，0）；②H（0，-2）；（2）CF⊥OF，CF=OF，证明见解析．
【分析】（1）①利用绝对值、完全平方的非负性的应用，求出a、b的值，即可得到答案；
②过C作y
解析：（1）①A（0，2），B（-2，0）；②H（0，-2）；（2）CF⊥OF，CF=OF，证明见解析．
【分析】（1）①利用绝对值、完全平方的非负性的应用，求出a、b的值，即可得到答案；
②过C作y轴垂线交BA的延长线于E，然后证明△CEA≌△CBD，得到OB=OH，即可得到答案；
（2）由题意，先证明△DFG≌△EFO，然后证明△DCG≌△ACO，得到△OCG是等腰直角三角形，再根据三线合一定理，即可得到结论成立．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴A（0，2），B（2，0）；
②过C作x轴垂线交BA的延长线于E，

∵OA=OB=2，∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
∵EC⊥BC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BC=EC，∠BCE=90°=∠ACD，
∴∠ACE=∠DCB，
∵AC=DC，
∴△CEA≌△CBD，
∴∠CBD=∠E=45°，
∴OH=OB=2，
∴H（0，2）；
（2）补全图形，如图：

∵点B、E关于y轴对称，
∴OB=OE，
∵a+b=0，即
∴OA=OB=OE
延长OF至G使FG=OF，连DG，CG，
∵OF=FG，∠OFE=∠DFG，EF=DF
∴△DFG≌△EFO
∴DG=OE=OA，∠DGF=∠EOF
∴DG∥OE
∴∠CDG=∠DCO；
∵∠ACO+∠CAO=∠ACO+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠CAO；
∴∠CDG=∠DCO=∠CAO；
∵CD=AC，OA=DG
∴△DCG≌△ACO
∴OC=GC，∠DCG=∠ACO
∴∠OCG=90°，
∴∠COF=45°，
∴△OCG是等腰直角三角形，
由三线合一定理得CF⊥OF
∵∠OCF=∠COF=45°，
∴CF=OF；
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，非负性的应用，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题．
27．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由是等边三角形，可得出，，再利用，可证，得出，由可求出，最后由补角定义求出.
（2）在上取点，使，由可证，再利用，，可证明，进而求出，再用补角的性质得知，在
解析：（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由是等边三角形，可得出，，再利用，可证，得出，由可求出，最后由补角定义求出.
（2）在上取点，使，由可证，再利用，，可证明，进而求出，再用补角的性质得知，在中利用外角的性质可求出，进而证出为等腰三角形，最后可证出即可求解.
（3）延长至，使为等边三角形，延长交于，可得出，进而得出，利用角的和差得出，则证出，进而证出，再利用，证出为等边三角形，进而证出.
【详解】（1）∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）在上取点，使．

由（1）知，
又，
∴．
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）．
提示：目测即得答案．详细理由如下：
由（1）知．延长至，使为等边三角形．

延长交于．
∵ ，
∴，
在和中，
,
∴，
∴．
∴，
∴．
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵
∴为等边三角形，
∴
∴．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键.