人教版八年级上册期末强化数学质量检测试题带答案.doc

人教版八年级上册期末强化数学质量检测试题带答案
一、选择题
1．下列剪纸作品中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
2．2020年6月23日上午9时43分，北斗三号系统第30颗卫星，同时也是整个北斗系统的第55颗卫星成功发射，北斗三号全球卫星导航系统星座部署全面完成．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．1纳米＝0.000000001米，将22纳米用科学记数法表示为（       ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．下列运算正确的是（　　）
A．x2•x3＝x6 B．（2x）3＝6x3
C．（﹣x2）3＝﹣x6 D．2xy2+3yx2＝5xy2
4．若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是(        )
A． B． C． D．
5．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（       ）
A． B．
C． D．
6．下列各式与一定相等的是（       ）
A． B． C． D．
7．如图，在△ACD和△BCE中，DA⊥AB，EB⊥AB，点C是AB的中点，添加下列条件后，不能判定△ACD≌△BCE的是（　　）

A．CD＝CE B．AD＝BE C．ADBE D．∠D＝∠E
8．已知关于x的分式方程的解为正数，关于y的不等式组，恰好有三个整数解，则所有满足条件的整数a的和是（   ）
A．1 B．3 C．4 D．6
9．将一个长为，宽为的矩形纸片，用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（       ）

A． B． C． D．
10．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，∠EAF＝∠BAD，若DF＝1，BE＝5，则线段EF的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．如果分式的值为0，那么x的取值为_______．
12．在平面直角坐标系中，若点P（a﹣3，1）与点Q（2，b+1）关于x轴对称，则a+b的值是_______．
13．如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”的个数为a3，…，则的值为 __；以此类推，若．n为正整数，则n的值为 __．

14．若，，则_________，_________．
15．如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，，则的周长的最小值为___________.

16．若是一个完全平方式，那么m的值应为______．
17．如图的平面图形由多条线段首尾相连构成，已知∠A=90°，则∠D+∠E+∠F+∠G=_____．

18．如图，，cm，cm，点P在线段AC上，以每秒2cm的速度从点A出发向C运动，到点C停止运动，点Q在射线AM上运动，且，当点P的运动时间为_________秒时，△ABC才能和△PQA全等．

三、解答题
19．分解因式
(1)；
(2)．
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，证明：△ABD≌△ACD

22．如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．

(1)关于“准直角三角形”，下列说法：
①在中，若，，，则是准直角三角形；
②若是“准直角三角形”， ，，则；
③“准直角三角形”一定是钝角三角形．其中，正确的是　　．（填写所有正确结论的序号）
(2)如图①，在中，，是的角平分线．
求证：是“准直角三角形”．
(3)如图②，、为直线上两点，点在直线外，且．若是上一点，且是“准直角三角形”，请直接写出的度数．
23．某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了4000元，乙种商品共用了4800元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多16元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
(1)求甲、乙两种商品的每件进价；
(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为120元，乙种商品的销售单价为136元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2520元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
24．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．
例如：分解因式
求代数式的最小值，．
当时，有最小值，最小值是，
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：__________．
（2）当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
（3）若，求出a，b的值．
25．如图，已知CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，C在D点上方，∠BAC=30°，P是直线CD上一动点，E是射线AC上除A点外的一点，PB=PE，连BE．
（1）如图1，若点P与点C重合，求∠ABE的度数；
（2）如图2，若P在C点上方，求证：PD+AC=CE；
（3）若AC=6，CE=2，则PD的值为　 　（直接写出结果）．

26．（1）如图1，已知：在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E． 证明：DE=BD+CE．（提示：由于DE=AD+AE，证明AD=CE，AE=BD即可）
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试证明DEF是等边三角形．

【参考答案】
一、选择题
2．C
解析：C
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．C
解析：C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：22纳米＝22×0.000000001米＝2.2×10−8米．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．C
解析：C
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项法则逐项判断即可．
【详解】解：A、x2•x3＝x5，原式错误，不符合题意；
B、（2x）3＝8x3，原式错误，不符合题意；
C、（﹣x2）3＝﹣x6，原式正确，符合题意；
D、2xy2和3yx2不是同类项，不能合并，原式错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．A
解析：A
【分析】根据分式有意义的条件解答即可．
【详解】解：若分式在实数范围内有意义，则x-1≠0，
解得x≠1，
故选：A．
【点睛】此题考查了分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
【详解】解：A、是整式的乘法，故A不是因式分解，不符合题意；
B、提取公因式分解因式，故B正确，符合题意．
C、没转化成整式积的形式，故C不是因式分解，不符合题意；
D、是整式的乘法，故D不是因式分解，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解就是把多项式转化成几个整式积的形式是解题关键．
7．D
解析：D
【分析】根据分式的基本性质判断即可．
【详解】解：根据分式的基本性质可得：，故A不符合题意；
B.，故B不符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.，故D符合题意；
故选 D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】根据垂直定义得出∠A=∠B=90°，根据点C是AB的中点得出AC=BC，再根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
∵点C是AB的中点，
∴AC=BC，
A．CD=CE，AC=BC，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出△ACD≌△BCE，故本选项不符合题意；
B．BD=BE，AC=BC，符合两直角三角形全等的判定定理SAS，能推出△ACD≌△BCE，故本选项不符合题意；
C．∠A=∠B=90°，AC=BC，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出△ACD≌△BCE，故本选项符合题意；
D．∠D=∠E，∠A=∠B，AC=BC，符合两直角三角形全等的判定定理AAS，能推出△ACD≌△BCE，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
9．C
解析：C
【分析】根据分式方程解的情况，求得的范围，解不等式组确定的范围，进而求得的整数解，求和即可求解．
【详解】解：
去分母得，，
解得 ，
时，方程产生增根，
，即
，

且，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组有解，
∴不等式组的解集为：，
恰好有三个整数解，
，
解得，
又且，
且，
整数为，其和为1+3=4，
故选C．
【点睛】本题考查了解分式方程，一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键．
10．D
解析：D
【分析】由图1得，一个小长方形的长为a，宽为b，由图2得：中间空的小正方形的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积，代入计算．
【详解】解：中间空的部分的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积，
=（a+b）2-4ab，
=a2+2ab+b2-4ab，
=（a-b）2
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用几何图形面积公式和或差列等式进行计算．
11．B
解析：B
【分析】在BE上截取BG＝DF，先证△ADF≌△ABG，再证△AEG≌△AEF即可解答．
【详解】在BE上截取BG＝DF，

∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
在△ADF与△ABG中
，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AG＝AF，∠FAD＝∠GAB，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠FAE＝∠GAE，
在△AEG与△AEF中
，
∴△AEG≌△AEF（SAS）
∴EF＝EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF＝4．
故选：B．
【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
二、填空题
12．
【分析】根据分式的分子为0，分母不为0，可得答案．
【详解】分式的值为0，
，且，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式为0条件，分式的分子为0，分母不为0是解题的关键．
13．3
【分析】掌握关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案．
【详解】由题意可得：，
解得：，因此a+b＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的特征，准确找出横纵坐标的关系是本题的关键．
14．          4040
【分析】先根据已知图形归纳出规律，然后代入到方程中，最后再利用所得规律化简即可．
【详解】解：由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，
∴＝+＝2×（1﹣+﹣+-）＝．
∵
∴+…+＝，
∴2×（1﹣+﹣+-+…+﹣）=，
2×＝，解得：n＝4040．
故答案为：，4040．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形归纳出规律是解答本题关键．
15．     15    
【分析】由同底数幂乘法、除法的运算法则进行计算，即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴；
；
故答案为：15，；
【点睛】本题考查了同底数幂乘法、除法的运算，解题的关键是掌握运算法则，正确地进行解题．
16．3
【分析】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等边三角形，据此
解析：3
【分析】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等边三角形，据此即可求解．
【详解】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．

∵点P关于OA的对称点为C，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=3．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．
【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识．正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．
17．【分析】由完全平方公式可知，计算求解即可．
【详解】解：∵
∴由完全平方公式可知
∴
解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握完全平方公式．
解析：
【分析】由完全平方公式可知，计算求解即可．
【详解】解：∵
∴由完全平方公式可知
∴
解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握完全平方公式．
18．270°##270度
【分析】连接EF，在△AEF中，根据三角形内角和是180°得到∠AFE+∠AEF=180°-∠A=180°-90°=90°，在四边形DEFG中，根据四边形内角和是360°得到
解析：270°##270度
【分析】连接EF，在△AEF中，根据三角形内角和是180°得到∠AFE+∠AEF=180°-∠A=180°-90°=90°，在四边形DEFG中，根据四边形内角和是360°得到∠D+∠DEF+∠EFG+∠G=360°即可得出答案．
【详解】解：如图，连接EF，

在△AEF中，∠AFE+∠AEF=180°-∠A=180°-90°=90°，
在四边形DEFG中，∠D+∠DEF+∠EFG+∠G=360°，
∴∠D+∠DEB+∠AFG+∠G=360°-（∠AFE+∠AEF）=360°-90°=270°，
故答案为：270°．
【点睛】本题考查了多边形的内角和问题，三角形内角和定理，连接EF，构造三角形和四边形是解题的关键．
19．2或4##4或2
【分析】据全等三角形的判定HL定理分AP=BC和AP=AC解答即可．
【详解】解：设点P的运动时间为t秒，
∵，，
∴当AP=BC=4cm，时，Rt△QPA≌Rt△ABC（
解析：2或4##4或2
【分析】据全等三角形的判定HL定理分AP=BC和AP=AC解答即可．
【详解】解：设点P的运动时间为t秒，
∵，，
∴当AP=BC=4cm，时，Rt△QPA≌Rt△ABC（HL），
∴t=4÷2=2秒；
当AP=AC=8cm，时，Rt△PQA≌Rt△ABC（HL），
∴t=8÷2=4秒，
综上，当点P的运动时间为2或4秒时，△ABC才能和△PQA全等．
故答案为：2或4．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握证明直角三角形全等的HL定理，利用分类讨论思想是解答的关键．
三、解答题
20．(1)5；
(2)（a-1）（a+4）．
【分析】（1）原式提取5，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式整理后，利用十字相乘法分解即可．
（1）
解：
=5（）
=5；
（2）
解析：(1)5；
(2)（a-1）（a+4）．
【分析】（1）原式提取5，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式整理后，利用十字相乘法分解即可．
（1）
解：
=5（）
=5；
（2）
解：
=-16+3a+12
=+3a-4
=（a-1）（a+4）．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
21．，
【分析】先通分，计算括号内分式的减法，利用完全平方公式等进行约分、化简，再将分式的除法转化为乘法，化简，最后由分式有意义的条件解得，代入求解即可．
【详解】解：
当时，
解析：，
【分析】先通分，计算括号内分式的减法，利用完全平方公式等进行约分、化简，再将分式的除法转化为乘法，化简，最后由分式有意义的条件解得，代入求解即可．
【详解】解：

当时，即

原式
．
【点睛】本题考查分式的混合运算，涉及完全平方公式、分式有意义的条件等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
22．见解析
【分析】由“”可证△ABD≌△ACD．
【详解】证明：在△ABD和△ACD 中，
∴△ABD≌△ACD(SAS)
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是
解析：见解析
【分析】由“”可证△ABD≌△ACD．
【详解】证明：在△ABD和△ACD 中，

∴△ABD≌△ACD(SAS)
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
23．(1)①
(2)证明见解析
(3)当，，，时，满足条件
【分析】（1）只要证明，即可判断．
（2）根据“准直角三角形”的定义即可判断．
（3）根据“准直角三角形”的定义，分类讨论即可解决问
解析：(1)①
(2)证明见解析
(3)当，，，时，满足条件
【分析】（1）只要证明，即可判断．
（2）根据“准直角三角形”的定义即可判断．
（3）根据“准直角三角形”的定义，分类讨论即可解决问题．
(1)
①，，
，
是“准直角三角形”．
故①正确．
②三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”，
，
三角形的第三个角大于，
由已知得
又，

故②错误，
③正确．②中已经证明．
故答案为①③．
(2)
在中，，
，
是的角平分线，
，
，
是“准直角三角形”．
(3)
如图②中，当，，，时，满足条件，是“准直角三角形”．

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，“准直角三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
24．(1)甲种商品的每件进价为80元，乙种商品的每件进价为96元
(2)甲种商品按原销售单价至少销售9件
【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为（x＋16）元，根据数量＝总价
解析：(1)甲种商品的每件进价为80元，乙种商品的每件进价为96元
(2)甲种商品按原销售单价至少销售9件
【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为（x＋16）元，根据数量＝总价÷单价结合购进的甲、乙两种商品件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用数量＝总价÷单价可求出购进甲、乙两种商品的数量，设甲种商品按原销售单价销售了m件，根据利润＝销售总价−进货成本，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
（1）解：设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为（x＋16）元．依题意，得：，解得：x＝80，经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意，∴x＋16＝96，答：甲种商品的每件进价为80元，乙种商品的每件进价为96元；
（2）甲种商品的购进数量为4000÷80＝50（件），乙种商品的购进数量为4800÷96＝50（件），设甲种商品按原销售单价销售了m件，依题意，得：120m＋120×0.7（50−m）＋136×50−4000−4800≥2520，解得：m≥，答：甲种商品按原销售单价至少销售9件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．（1）（x+1）（x-5）；（2）x=-1，最大值为5；（3）a=2，b=1
【分析】（1）根据题目中的例子，可以将题目中的式子因式分解；
（2）根据题目中的例子，先将所求式子变形，然后即可得到
解析：（1）（x+1）（x-5）；（2）x=-1，最大值为5；（3）a=2，b=1
【分析】（1）根据题目中的例子，可以将题目中的式子因式分解；
（2）根据题目中的例子，先将所求式子变形，然后即可得到当x为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值；
（3）将题目中的式子化为完全平方式的形式，然后根据非负数的性质，即可得到a、b的值．
【详解】解：（1）x2-4x-5
=（x-2）2-9
=（x-2+3）（x-2-3）
=（x+1）（x-5），
故答案为：（x+1）（x-5）；
（2）∵-2x2-4x+3=-2（x+1）2+5，
∴当x=-1时，多项式-2x-4x+3有最大值，这个最大值是5；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴a-2b=0，b-1=0，
∴a=2，b=1．
【点睛】本题考查非负数的性质、因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答．
26．（1）∠ABE=90°；（2）PD+AC=CE，见解析；（3）1
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质得到：△BPE为等边三角形，则∠CBE=60°，故∠ABE=90°；
解析：（1）∠ABE=90°；（2）PD+AC=CE，见解析；（3）1
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质得到：△BPE为等边三角形，则∠CBE=60°，故∠ABE=90°；
（2）如图2，过P作PH⊥AE于H，连BC，作PG⊥BC交BC的延长线于G，构造含30度角的直角△PCG、直角△CPH以及全等三角形（Rt△PGB≌Rt△PHE），根据含30度的直角三角形的性质和全等三角形的对应边相等证得结论；
（3）分三种情况讨论，根据（2）的解题思路得到PD=AC+CE或PD=CE-AC，将数值代入求解即可．
【详解】（1）解：如图1，∵点P与点C重合，CD是线段AB的垂直平分线，

∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA=30°，
∴∠BPE=∠PAB+∠PBA=60°，
∵PB=PE，
∴△BPE为等边三角形，
∴∠CBE=60°，
∴∠ABE=90°；
（2）如图2，过P作PH⊥AE于H，连BC，作PG⊥BC交BC的延长线于G，

∵CD垂直平分AB，
∴CA=CB，
∵∠BAC=30°，
∴∠ACD=∠BCD=60°，
∴∠GCP=∠HCP=∠BCE=∠ACD=∠BCD=60°，
∴∠GPC=∠HPC=30°，
∴PG=PH，CG=CH=CP，CD=AC，
在Rt△PGB和Rt△PHE中，
，
∴Rt△PGB≌Rt△PHE（HL）．
∴BG=EH，即CB+CG=CE-CH，
∴CB+CP=CE-CP，即CB+CP=CE，
又∵CB=AC，
∴CP=PD-CD=PD-AC，
∴PD+AC=CE；
（3）①当P在C点上方时，由（2）得：PD=CE-AC，
当AC=6，CE=2时，PD=2-3=-1，不符合题意；
②当P在线段CD上时，
如图3，过P作PH⊥AE于H，连BC，作PG⊥BC交BC于G，

此时Rt△PGB≌Rt△PHE（HL），
∴BG=EH，即CB-CG=CE+CH，
∴CB-CP=CE+CP，即CP=CB-CE，
又∵CB=AC，
∴PD=CD-CP=AC-CB+CE，
∴PD=CE-AC．
当AC=6，CE=2时，PD=2-3=-1，不符合题意；
③当P在D点下方时，如图4，

同理，PD=AC-CE，
当AC=6，CE=2时，PD=3-2=1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了三角形综合题，综合运用全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，难度较大，解题时，注意要分类讨论．
27．（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）见解析
【分析】（1）运用AAS证明△ADB≌△CEA即可；
（2）运用AAS证明△ADB≌△CEA即可；
（3）运用SAS证明△DBF≌△EAF，后运
解析：（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）见解析
【分析】（1）运用AAS证明△ADB≌△CEA即可；
（2）运用AAS证明△ADB≌△CEA即可；
（3）运用SAS证明△DBF≌△EAF，后运用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可．
【详解】（1）如图1，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，

∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）如图2，

∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中，，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（3）如图3，

由（2）可知，△ADB≌△CEA，
∴BD=AE，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE，
∵在△DBF和△EAF中，
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF为等边三角形．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．