函数模型及其应用.doc
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1、15 函数模型及其应用知识梳理1几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数f(x)axb(a,b为常数,a0)二次函数f(x)ax2bxc(a,b,c为常数,a0)指数函数f(x)baxc(a,b,c为常数,a0且a1,b0)对数函数f(x)blogaxc(a,b,c为常数,a0且a1,b0)幂函数f(x)axnb(a,b,n为常数,a0,n0)2.三种函数模型性质比较yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0,)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随着x的增大,图象与y轴接近平行随着x的增大,图象与x轴接近平行随n值变化而各有不同要点整合:理解
2、解决实际应用问题的一般步骤(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下:题型一函数模型的选择例1.某研究所对人体在成长过程中,年龄与身高的关系进行研究,根据统计,某地区未成年人,从1岁到16岁的年龄x(岁)与身高y(米)的散点图如图,则该关系较适宜的函数模型为()AyaxbByalogbxCyabxDyax2b解析:根据散点图可知,较适宜的函数模型为yalogbx,故选B.答
3、案B选择函数模型的基本思想(1)根据数据描绘出散点图;(2)将散点根据趋势“连接”起来,得到大致走势图象;(3)根据图象与常见的基本函数的图象进行联想对比,选择最佳函数模型但必须注意实际意义与基本图形的平移性相结合变式1某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)的影响根据近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1,2,8)数据得到下面的散点图则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合()AyaxbByabCyabxDyax2bxc解析:选B.根据散点图知,选择yab最适合,故选B.变式2某地西红柿上市后,通过市场调查,得到西红柿种
4、植成本Q(单位:元/100kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系:Qatb,Qat2btc,Qabt,Qalogbt.利用你选取的函数,求:(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是_;(2)最低种植成本是_元/100kg.解析:随着时间的增加,种植成本先减少后增加,而且当t60和t180时种植成本相等,再结合题中给出的四种函数关系可知,种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Qat2btc,即Qa(t120)2m描述,将表中数据代入可得解得Q0.01(t120)
5、280,故当上市天数为120时,种植成本取到最低值80元/100kg.答案:(1)120(2)80题型二函数模型的应用例2. 已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由解(1)在ykx(1k2)x2(k0)中,令y0,得kx(1k2)x20.由实际意义和题设条件知x0,k0.解以上关于x的方程得x10,当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程是10千米(2)a0,炮弹可以击中目标
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