高等代数第一章.ppt

.作业：P7 3-7.一、映射的概念及例一、映射的概念及例 定义定义1 1 设设A，B 是两个非空的集合，是两个非空的集合，A到到B 的一个的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A中的每一个元素中的每一个元素 x，有集合，有集合B中一个唯一确定的元素中一个唯一确定的元素 y 与它对应与它对应.用字母用字母f，g，表示映射表示映射.用记号用记号 表示表示f 是是A到到B的一个映射的一个映射.如果通过映射如果通过映射f，与，与A中元素中元素x对应的对应的B中元素是中元素是y，那么就写作那么就写作 这时这时y 叫做叫做 x 在在f 之下的象，记作之下的象，记作 .1.2 映映 射射.注意注意:A A与与B B可以是相同的集合，也可以是不同的集可以是相同的集合，也可以是不同的集合合 对于对于A A的每一个元素的每一个元素x x，需要，需要B B中一个唯一确定中一个唯一确定的元素与它对应的元素与它对应.一般说来，一般说来，B B中的元素不一定都是中的元素不一定都是A A中元素的中元素的象象.A A中不相同的元素的象可能相同中不相同的元素的象可能相同.二、映射的相等及像二、映射的相等及像 设设 是一个映射是一个映射.对于对于 ，x的象的象 .一切这样的象作成一切这样的象作成B的一个子集，用的一个子集，用 表示：表示：，叫做叫做A在在f 之下的象，或者叫做之下的象，或者叫做映射映射f 的象的象.例例 令令 ,那么那么 .设设 ，都是都是A到到B的映射，如果对于的映射，如果对于每一每一 x，都有，都有 ，那么就说映射，那么就说映射f与与g是是相等相等的的.记记作作.设设 是是A到到B 的一个映射，的一个映射，是是B 到到C 的一个映射的一个映射.那么对于每一个那么对于每一个 ，是是C中的中的一个元素一个元素.因此，对于每一因此，对于每一 ，就有，就有C 中唯一的确定中唯一的确定的元素的元素 与它对应，这样就得到与它对应，这样就得到A到到C 的一个映射，的一个映射，这映射是由这映射是由 和和 所决定的，称为所决定的，称为 f 与与g 的合成（乘积），记作的合成（乘积），记作 .于是有于是有 对于一切对于一切 ,f 与与g 的合成可以用下面的图示意：的合成可以用下面的图示意：fgABC三、三、三、三、映射的合成映射的合成映射的合成映射的合成.设给映射设给映射 ，有，有 .但是，一般情况下但是，一般情况下.设设A，B是两个非空集合，用是两个非空集合，用 和和 表示表示A和和B的恒的恒等映射等映射.设设 是是A到到B的一个映射的一个映射.显然有：显然有：，.设设A是非空集合是非空集合,，称为称为A上的上的 恒恒等映射。等映射。.四四 单射、满射、双射单射、满射、双射 定义定义2 2 设设f f 是是A A到到B B的一个映射，如果的一个映射，如果 ,那那么说么说称称f f 是是A A到到B B上的一个映射，这时也称上的一个映射，这时也称f f 是一个满映是一个满映射，简称满射射，简称满射.是满射必要且只要对于是满射必要且只要对于B中的每一元素中的每一元素y，都有都有A中元素中元素x 使得使得 .关于映射，只要求对于关于映射，只要求对于A中的每一个元素中的每一个元素x，有，有B中的一个唯中的一个唯一确定的元素一确定的元素y与它对应，但是与它对应，但是A中不同的元素可以有相同的象中不同的元素可以有相同的象.定义定义3 设设 是一个映射，如果对于是一个映射，如果对于A中任意两中任意两个元素个元素 和和 ，只要，只要 ，就有，就有 ，那么就，那么就称称f 是是A到到B 的一个单映射，简称单射的一个单映射，简称单射.定义定义3：如果如果f 既是满射，又是单射，即如果既是满射，又是单射，即如果f 满足满足下面两个条件下面两个条件:对于一切对于一切 ，那，那么就称么就称f 是是A 到到B 的一个双射或一一映射。的一个双射或一一映射。定理定理1.2.1 令令 是集合是集合A 到到B 的一个映射的一个映射.那那么以下两个条件是等价的：么以下两个条件是等价的：f 是一个双射；是一个双射；存在存在B到到A的一个映射的一个映射g，使得，使得 ，再者，当条件再者，当条件成立时，映射成立时，映射g是由是由f 唯一确唯一确 定的定的.一个有限集合一个有限集合A到自身的双射叫做到自身的双射叫做A的一个置换的一个置换.作业：P14 3，4，9，10.1.3 1.3 数学归纳法数学归纳法 内容分布内容分布 最小数原理最小数原理 数学归纳法的依据数学归纳法的依据 教学目的教学目的 掌握最小数原理，并能熟练应用数学归纳法。掌握最小数原理，并能熟练应用数学归纳法。重点、难点重点、难点 最小数原理的理解，数学归纳法原理的证明。最小数原理的理解，数学归纳法原理的证明。.一、一、最小数原理最小数原理.数学归纳法的理论依据数学归纳法的理论依据最小数原理（正整数的最小数原理（正整数的一个最基本的性质一个最基本的性质）.最小数原理最小数原理 正整数集正整数集 的任意一个非空子集的任意一个非空子集S必含有必含有一个最小数，也就是这样一个数一个最小数，也就是这样一个数 ，对任意，对任意 都都有有 .其中其中 表示全体正整数表示全体正整数 的集合的集合.1 最小数原理并不是对于任意数集都成立的最小数原理并不是对于任意数集都成立的 2 设设c是任意一个整数，令是任意一个整数，令注意注意那么其代替正整数集那么其代替正整数集 ，最小数原理对于，最小数原理对于 仍然成仍然成立立.也就是说，也就是说，的任意的任意 一个非空子集必含有一个最一个非空子集必含有一个最小数，特别，小数，特别，N 的任意一个非空了集必含有一个最小的任意一个非空了集必含有一个最小数数.二、数学归纳法原理二、数学归纳法原理 定理定理1.3.11.3.1（数学归纳法原理）设有一个与正整（数学归纳法原理）设有一个与正整数数n n 有关的命题有关的命题.如果如果 当当n=1 n=1 时时.命题成立；命题成立；假设当假设当n=k n=k 时命题成立，当时命题成立，当n=k+1 n=k+1 时命题也时命题也成立；那么这个命题对于一切正整数成立；那么这个命题对于一切正整数n n 都成立都成立.证证 设命题不对一切正整数都成立设命题不对一切正整数都成立.令令S 表示使命表示使命题不成立的正整数所成的集合题不成立的正整数所成的集合.那么那么 .于是，由最于是，由最小数原理，小数原理，S 中有最小数中有最小数h.因为命题对于因为命题对于n=1 成立，所成立，所以以 从而从而h-1 是一个正整数是一个正整数.因为因为h是是S中最小的数，所中最小的数，所以以 .这就是说当这就是说当n=h-1 时，命题成立时，命题成立.于是由于是由，当，当n=h时命题也成立时命题也成立.因此因此 .这就导致矛盾这就导致矛盾.定理定理1.3.2（第二数学归纳法）（第二数学归纳法）设有一个与正整数设有一个与正整数n有关的命题有关的命题.如果如果 当当n=1时命题成立；时命题成立；假设命题对于一切小于假设命题对于一切小于k的自然数来说成立，则的自然数来说成立，则命题对于命题对于k也成立；也成立；那么命题对于一切自然数那么命题对于一切自然数n来说都成立来说都成立.作业：P17 1，2，3.1.4 1.4 整数的一些整除性质整数的一些整除性质一、内容分布一、内容分布 整除与带余除法整除与带余除法 最大公因数最大公因数 互素互素 素数的简单性质素数的简单性质二、教学目的二、教学目的 1.理解和掌握整除及其性质。理解和掌握整除及其性质。2.掌握最大公因数性质、求法。掌握最大公因数性质、求法。3.理解互素、素数的简单性质。理解互素、素数的简单性质。三、重点、难点三、重点、难点 整除、最大公因数性质、互素有关的证明整除、最大公因数性质、互素有关的证明。.一、整除与带余除法一、整除与带余除法 设设a，b是两个整数，如果存在一个整数是两个整数，如果存在一个整数d，使得，使得b=ad，那么就说，那么就说a整除整除b（或者说（或者说b被被a整除）。用符号整除）。用符号a|b表示表示a整除整除b。这时。这时a 叫作叫作b 的一个因数，而的一个因数，而b叫做叫做a的的一个倍数。如果一个倍数。如果a不整除不整除b，那么就记作，那么就记作 .每一个整数都可以被每一个整数都可以被1和和-1整除。整除。每一个整数每一个整数a都可以被它自己和它的相反数都可以被它自己和它的相反数-a整除整除.定理定理1.4.1（带余除法）（带余除法）设设a，b 是整数且是整数且 ，那么存在一对整数那么存在一对整数q和和r，使得，使得满足以上条件整数满足以上条件整数q和和r 的唯一确定的。的唯一确定的。证证 令令 。因为。因为 ，所以，所以S 是是N 的一个非空子集。根据最小数定理（对于的一个非空子集。根据最小数定理（对于N），），S 含有一个最小数。也就是说，存在含有一个最小数。也就是说，存在 ，使得，使得 r=b-aq 是是S 中最小数。于是中最小数。于是b=aq+r，并且，并且 。如果。如果 ，那么那么 ，而，而.所以所以 。这是与。这是与r 是是S 中最小数的事实矛盾。中最小数的事实矛盾。因此因此 .假设还假设还 ，使得，使得 于是就有于是就有 。如果。如果 那么那么由此或者由此或者 ，或者，或者 。不论是哪。不论是哪一种情形，都将导致矛盾。这样必须一种情形，都将导致矛盾。这样必须 ，从而，从而 ，也就是说，也就是说 .二、二、最大公因数最大公因数 设设a，b是两个整数，满足下列条件的整数是两个整数，满足下列条件的整数 d 叫作叫作a与与b的的最大公因数：最大公因数：；。如果如果 一般地，设一般地，设 是是n 个整数。满足下列条件的整个整数。满足下列条件的整数数d 叫做叫做 的一个最大公因数：的一个最大公因数：.定理定理1.4.2 任意任意 个整数个整数 都有最都有最大公因数。如果大公因数。如果d是是 的一个最大公因数，那的一个最大公因数，那么么-d 也是一个最大公因数；也是一个最大公因数；的两个最大公因的两个最大公因数至多只相差一个符号。数至多只相差一个符号。现证，任意现证，任意n个整数个整数 有最大公因数。如果有最大公因数。如果果果 ，那么，那么0显然就是显然就是 的最大公因数。的最大公因数。I 显然不是空集，因为对于每一个显然不是空集，因为对于每一个i 证证 由最大公因数的定义和整除的基本性质，最后一个论断由最大公因数的定义和整除的基本性质，最后一个论断是明显的。是明显的。设设 不全为零，考虑不全为零，考虑Z 的子集的子集.又因为又因为 不全为零，所以不全为零，所以I 含有非零整数。因含有非零整数。因此此是正整数集的一个非空子集，于是由最小数原理，是正整数集的一个非空子集，于是由最小数原理，有有一个最小数一个最小数d.下证明，下证明，d 就是就是 的一个最大公的一个最大公因数。因数。首先，因为首先，因为 ，所以，所以d 0并且并且d 有形式有形式又由带余除法，有又由带余除法，有.如果某一如果某一 ，如，如 ，那么，那么 而而 。这与。这与d是是 中的最小数的事实矛盾。这样，中的最小数的事实矛盾。这样，必须所有必须所有 ，即，即 。另一方面，如果另一方面，如果 。那么。那么 。这就证明。这就证明了了d 是是 的的一个最大公因数。一个最大公因数。.定理定理1.4.3 设设d是是 的一个最大公因数。那的一个最大公因数。那么存在整数么存在整数 ，使得，使得 。.三、三、互素的定义及其性质互素的定义及其性质 设设a,b是两个整数，如果（是两个整数，如果（a,b）=1，那么就说，那么就说a与与b互素。互素。一般地，一般地，是是n个整数，如果个整数，如果 ，那么，那么就说就说这这n 个整数个整数 互素。互素。（1 1）定理定理1.4.4 n 个整数个整数 互素的充分且必要条件是存互素的充分且必要条件是存在整数在整数 ，使得，使得 证证 如果如果 互素，互素，那么由定理那么由定理1.4.2立即得到等式立即得到等式（1）成立。反过来，设等式（）成立。反过来，设等式（1）成立。令）成立。令 那么那么c 能整除（能整除（1）式中的左端。所以）式中的左端。所以c|1，因此，因此c=1,即即 。.四、四、素数的定义及其简单性质素数的定义及其简单性质 定义定义 一个正整数一个正整数p1叫作一个素数，如果除叫作一个素数，如果除1和和p 外，没有其它因数。外，没有其它因数。.四、四、素数的定义及其简单性质素数的定义及其简单性质 定理定理1.4.5 一个素数如果整除两个整数一个素数如果整除两个整数a 与与b的乘积，的乘积，那么它至少整除那么它至少整除a 与与b中的一个。中的一个。证证 设设p是一个素数，如果是一个素数，如果p|ab，但，但 ，由上面，由上面所指出的素数的性质，必定有所指出的素数的性质，必定有（p,a）=1。于是由定理。于是由定理1.4.4，存在整数，存在整数s 和和t 使得使得 sp+ta=1 两边同乘以两边同乘以b：spb+tab=b.左边的第一项自然能被左边的第一项自然能被p整除；又因为整除；又因为p|ab，所以左边，所以左边第二项也能被第二项也能被p整除。于是整除。于是p整除左边两项的和，从而整除左边两项的和，从而p|b.作业：P23 1，2，4，5.1.5 数环和数域 定义定义1 1：设：设S S是复数集是复数集C C 的一个非空子集，如果对的一个非空子集，如果对于于S S中任意两个数中任意两个数a,ba,b 来说，来说，a+b,a a+b,a b,ab b,ab 都在都在S S内，那么就称内，那么就称S S是一个数环。是一个数环。例例1 取定一个整数取定一个整数a，令，令 那么那么S是一个是一个数环。数环。如取如取a=2，那么，那么S 就是全体偶数所组成的数环。就是全体偶数所组成的数环。一、一、数环和数域的定义数环和数域的定义数环和数域的定义数环和数域的定义证明：证明：S显然不是空集。显然不是空集。设设 ，那么，那么所以所以S是一个数环。是一个数环。.定义定义2 2 设设F F 是一个数环，如果是一个数环，如果 F 含有一个不等于零的数；含有一个不等于零的数；如果，如果，那么就称那么就称F 是一个数域。是一个数域。例例2 令令 .证明证明S是数环是数环证明：证明：S显然不是空集，设显然不是空集，设 ，那么，那么所以所以S是一个数环。是一个数环。.例例3 3 令令 ，则，则F F是一个数域。是一个数域。这就证明了这就证明了F 是一个数域。是一个数域。证明：证明：易知易知F是一个数环，并且是一个数环，并且 ，所以，所以成立。成立。现设现设 ，那么那么 ，否则当否则当d=0 时，时，c=0，这与，这与 矛盾；矛盾；当当 的时，的时，矛盾。因此矛盾。因此.二、数环与数域的性质二、数环与数域的性质1.1.任何数环都含有数零；任何数环都含有数零；2.2.任何数域都含有数零和数任何数域都含有数零和数1 1；3.3.两个数环的交还是数环；两个数环的交还是数环；4.4.两个数域的交还是数域；两个数域的交还是数域；.4.4.定理定理1.5.1 1.5.1 任何数域都包含有理数域任何数域都包含有理数域Q Q。证证 设设F 是一个数域。那么由条件是一个数域。那么由条件，F 含有一个含有一个不等于不等于0的数的数a，再由条件，再由条件，。用。用1 和它自己重和它自己重复相加，可得全体正整数，因而全体正整数都属于复相加，可得全体正整数，因而全体正整数都属于F。另一方面，另一方面，所以所以F 也含有也含有0与任一正整数与任一正整数的差，亦即全体负整数。因为的差，亦即全体负整数。因为F 含有全体整数。这样，含有全体整数。这样，F 也含有用意两个整数的商（分母不为也含有用意两个整数的商（分母不为0），因而，），因而，F 含含有一切有理数。有一切有理数。.作业：P25 1，3，4，5.