上海民办洋泾外国语学校数学八年级上册期末试卷.doc

上海民办洋泾外国语学校数学八年级上册期末试卷
一、选择题
1、下面图形中，不是轴对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
2、少年的一根头发的直径大约为0.0000412：米，将数据“0.0000412”用科学记数法表示为（       ）
A． B． C． D．
3、下列运算中正确的是（　　）
A．（﹣a）4＝a4 B．a2•a3＝a4 C．a2+a3＝a5 D．（a2）3＝a5
4、若分式有意义，则x应该满足的条件是（       ）
A． B． C． D．
5、下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（       ）
A． B．
C． D．
6、下列各式正确的是（       ）
A． B．
C． D．
7、如图，CEBF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB．需要添加下列选项中的（     ）

A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC
8、方程有增根，则的值为（       ）
A．3 B．－3 C． D．
9、如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管，，，…，添加的钢管长度都与的长度相等，则最多能添加的钢管根数为（       ）

A．4 B．5 C．6 D．无数
二、填空题
10、如图所示，将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形，根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于、的恒等式为（       ）．

A． B．
C． D．
11、当______时，分式的值为．
12、若点P（2，a）关于x轴的对称点为Q（b，1），则（a+b）3的值是 _____．
13、若，且m≠0，则的值为______．
14、已知3m＝6，9n＝2，则32m－4n＋1的值为_________．
15、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M、N分别是OB、OA边上的点，当△PMN周长的最小值是5cm时，则∠AOB= ____________ ．

16、若是完全平方式，则k的值为______________．
17、若，，则的值为________________．
18、如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为设点的运动速度为，若使得与全等，则的值为______．

三、解答题
19、因式分解：
(1)；
(2)．
20、解分式方程：
(1)；
(2)．
21、如图，在△ABC中，CD是AB边上高，BE为角平分线，若∠BFC=112°，求∠BCF的度数．

22、如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们常把这样的图形叫做“规形图”．

(1)观察“规形图”，试探究与、、之间的数量关系，并说明理由；
(2)请你利用此结论，解决以下两个问题：
①如图（2），把一个三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______；
②如图（3），平分，平分，若，，求的度数．
23、阅读下列材料：
关于的方程：
的解是，；
（即）的解是，；
的解是，；
的解是；…
(1)请观察上述方程与解的特征，比较关于的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证；
(2)由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于的方程：．
24、已知，如图1，我们在2018年某月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”)该十字星的十字差为，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为47、

（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为 ．
（2）若将正整数依次填入6列的长方形数表中，不同位置十字星的“十字差”是一个定值吗?如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（3）若将正整数依次填入k列的长方形数表中(k≥3)，继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数有关的定值，请用表示出这个定值，并证明你的结论．
25、如图，在等边中，，分别为，边上的点，，．

(1)如图1，若点在边上，求证：；
(2)如图2，连．若，求证：；
(3)如图3，是的中点，点在内，，点，分别在，上，，若，直接写出的度数（用含有的式子表示）．
一、选择题
1、A
【解析】A
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】选项B、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项A不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2、C
【解析】C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10－n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：数据0.0000412米可用科学记数法表示为4.12×10－5米，
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10－n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3、A
【解析】A
【分析】根据幂的乘方运算法则，根据同底数幂的乘法运算法则，根据合并同类项运算法则对选项进行判断．
【详解】解：A、，正确，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握幂的乘方，同底数幂的乘法（底数不变，指数相加），以及合并同类项的运算法则．
4、B
【解析】B
【分析】根据分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：由题意，得x＋1≠0，解得：x≠－1，
故选：B．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．
5、D
【解析】D
【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是分解因式，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形是整式乘法运算，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是分解因式，故本选项不符合题意；
D．从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了分解因式的定义，能熟记分解因式的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．
6、D
【解析】D
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，逐项判断即可．
【详解】解：∵，
∴选项A不符合题意；
∵，
∴选项B不符合题意；
∵，
∴选项C不符合题意；
∵，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
7、C
【解析】C
【分析】由平行线的性质可得，结合，则还需要一角，再结合选项可求得答案．
【详解】解： ∵，
．
，
∴要使，利用判定三角形全等的”“还需要或．
故选：.
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
8、A
【解析】A
【分析】用含m的式子表示出分式方程的根，根据分式方程有增根再令含m的代数式等于3，求出m的值即可．
【详解】解得：，
∵方程有增根，
∴x=3，
∴令，
∴解得m=3，
故选：A．
【点睛】本题考查了解分式方程以及根据分式方程有增根求解参数的值的知识，理解分式方程有增根的含义是解答本题的关键．
9、A
【解析】A
【分析】因为添加的钢管长度都与OE相等，且∠AOB＝18 ，所以 ∠EFO＝18 ，∠FEG＝36，   ∠FGO＝∠FEG＝36，依次类推，第4个等腰三角形的底角为72，第5个等腰三角形的底角为90，则第5个等腰三角形不存在．因此，最多添加4根．
【详解】                                             
如图
∵△OEF中，OE＝EF，∠AOB＝18
∴ ∠EFO＝∠EOF＝18   
∴ ∠FEG＝∠EFO＋∠EOF＝36
∵FE＝FG
∴ ∠FGO＝36
∴ ∠GFH＝∠GOF＋∠FGH＝54
∵GF＝GH
∴∠GHO＝54
∴∠HGM＝∠GOH＋∠GHO＝72
∵HG＝HM
∴∠HMO＝72
∴∠MHB＝∠MOH＋∠HMO＝90
此时，不能再添加了，
因此最多添加4根，
故选：A．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质及三角形外角定理．熟练掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题
10、C
【解析】C
【分析】根据图形特点，利用等面积法分别表示阴影部分的面积，结合完全平方公式可得出结论．
【详解】方法一：阴影部分的面积为：，
方法二：阴影部分的面积为：，
∴根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a、b的恒等式为．
故选：C．
【点睛】本题考查完全平方公式与图形面积的关系，熟练掌握完全平方公式是关键．
11、-12
【分析】分式的值为零，则分子为零但分母不为零，根据此结论即可求得x的值．
【详解】分式的值为，
，且．
解得：，且．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，关键是掌握分式的概念．一定要验证分母的值是否为零．
12、1
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数得出a，b的值，从而得出(a+b)2、
【详解】解：∵点P（2，a）关于x轴的对称点为Q（b，1），
∴a=，b=2，
∴(a+b)3=1．
故答案为1．
【点睛】本题主要考查了关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，比较简单．
13、3
【分析】先通分把原分式化为，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴

故答案为：3
【点睛】本题考查的是利用条件式求解分式的值，掌握“整体代入法求解分式的值”是解本题的关键．
14、27
【分析】先根据同底数幂乘除法法则的逆运算将原式化为，然后利用幂的乘方逆运算化为，再代入数值计算即可．
【详解】解：∵3m＝6，9n＝2，
∴32n=2，
∴32m－4n＋1
=
=
=
=，
故答案为：．
【点睛】此题考查了整式的计算公式：同底数幂乘除法法则，幂的乘方运算法则，正确掌握各计算法则是解题的关键．
15、30°##30度
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COB=∠POB；
【解析】30°##30度
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COB=∠POB；PN=CN，OP=OD，∠DOA=∠POA，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：

∵点P关于OA的对称点为D，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA，
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD=5，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明△OCD是等边三角形是解决问题的关键．
16、9
【分析】根据完全平方公式求出k=32，再求出即可．
【详解】解：∵多项式4x2-12x+k是一个完全平方式，
∴（2x）2-2•2x•3+k是一个完全平方式，
∴k=32=9，
故答案为：8、
【解析】9
【分析】根据完全平方公式求出k=32，再求出即可．
【详解】解：∵多项式4x2-12x+k是一个完全平方式，
∴（2x）2-2•2x•3+k是一个完全平方式，
∴k=32=9，
故答案为：8、
【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，完全平方式有a2+2ab+b2和a2-2ab+b1、
17、19
【分析】根据公式=计算．
【详解】∵，
∴=，
∴==19，
故答案为：18、
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，灵活进行公式变形是解题的关键．
【解析】19
【分析】根据公式=计算．
【详解】∵，
∴=，
∴==19，
故答案为：18、
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，灵活进行公式变形是解题的关键．
18、或##或
【分析】分两种情形：①当≌时，可得：；②当≌时，， 根据全等三角形的性质分别求解即可．
【详解】解：①当≌时，可得：，
运动时间相同，
，的运动速度也相同，
；
②当≌时，
，，
，
，
【解析】或##或
【分析】分两种情形：①当≌时，可得：；②当≌时，， 根据全等三角形的性质分别求解即可．
【详解】解：①当≌时，可得：，
运动时间相同，
，的运动速度也相同，
；
②当≌时，
，，
，
，
故答案为：或．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识进行分类解决问题．
三、解答题
19、(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
（1）
解：
；
（2）
解：
．
【点睛】本题考查了提公因
【解析】(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
（1）
解：

；
（2）
解：

．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
20、(1)
(2)原方程的无解
【分析】（1）先把分式方程化为整式方程求解，最后检验即可；
（2）先把分式方程化为整式方程求解，最后检验即可．
(1)
解：
去分母得：，
移项得：，
合并得：，
系数化
【解析】(1)
(2)原方程的无解
【分析】（1）先把分式方程化为整式方程求解，最后检验即可；
（2）先把分式方程化为整式方程求解，最后检验即可．
(1)
解：
去分母得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：，
经检验是原方程的解；
(2)
解：
去分母得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：，
经检验是增根，
∴原方程的无解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键．
21、46°
【分析】先根据邻补角互补求出∠DFB的度数，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠DBF的度数，再根据角平分线的定义求出∠CBF的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出∠BCF的度数．
【详解】
【解析】46°
【分析】先根据邻补角互补求出∠DFB的度数，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠DBF的度数，再根据角平分线的定义求出∠CBF的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出∠BCF的度数．
【详解】解：∵∠BFC=112°，
∴∠DFB=180°-∠BFC=68°，
∵CD是△ABC中AB边上的高，
∴∠BDF=90°，
∴∠DBF=90°-∠DFB=22°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBF=∠DBF=22°，
∴∠BCF=180°-∠BFC-∠CBF=46°．
【点睛】本题主要考查了邻补角互补，直角三角形两锐角互余，角平分的定义，三角形内角和定理，正确求出∠CBF的度数是解题的关键．
22、(1)；理由见解析；
(2)①60°；②
【分析】（1）连接并延长，根据三角形外角定理即可进行转化，可知；
（2）①利用（1）中结论直接进行计算即可；
②由（1）可知，即，再利用（1）中结论求值即可
【解析】(1)；理由见解析；
(2)①60°；②
【分析】（1）连接并延长，根据三角形外角定理即可进行转化，可知；
（2）①利用（1）中结论直接进行计算即可；
②由（1）可知，即，再利用（1）中结论求值即可．
（1），理由如下：连接并延长，如图①，
由题意得：，，，即；
（2）①由（1）得，，故答案为：60°；②由（1）可得：，，平分，平分，，，，．
【点睛】本题主要是考查了三角形外角定理的应用，灵活进行转化是解题关键．
23、(1)的解是，，验证见解析
(2)，
【分析】（1）认真审题，找到规律：的解为，，分别代入验证即可；
（2）据规律解题即可．
（1）
解：猜想 (m≠0)的解是，．
验证：当x=c时，方程左边=c+
【解析】(1)的解是，，验证见解析
(2)，
【分析】（1）认真审题，找到规律：的解为，，分别代入验证即可；
（2）据规律解题即可．
（1）
解：猜想 (m≠0)的解是，．
验证：当x=c时，方程左边=c+，方程右边=c+，
∴方程成立；
当x=时，方程左边=+c，方程右边=c+，
∴方程成立；
∴ (m≠0)的解是，；
（2）
解：由得，
∴x-1=a-1，，
∴，．
经检验：它们都是原方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，解此题的关键是理解题意，认真审题，寻找规律： (m≠0)的解是，．
24、（1）24；（2）是，这个定值是35，理由见解析；（3）定值为，证明见解析.
【分析】（1）根据题意求出相应的“十字差”，即可确定出所求定值；
（2）设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x-
【解析】（1）24；（2）是，这个定值是35，理由见解析；（3）定值为，证明见解析.
【分析】（1）根据题意求出相应的“十字差”，即可确定出所求定值；
（2）设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x-1，x+1，上下两数分别为x-6，x+6，进而表示出十字差，化简即可得证；
（3）设十字星中心的数为y，表示出十字星左右两数，上下两数，进而表示出十字差，化简即可得证．
【详解】解：（1）根据题意得：，
故答案为：24；
（2）是，这个定值是34、理由如下：
设十字星中心的数为，则十字星左右两数分别为，，上下两数分别为，，
十字差为：．
故不同位置十字星的“十字差”是一个定值，这个定值为35；
(3)定值为，证明如下：
设设十字星中心的数为y，则十字星左右两数分别为，，上下两数分别为，，
十字差为：，
故这个定值为．
【点睛】此题考查了整式运算的实际应用，正确理解题意以及熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25、(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接DF，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断△DEF是等边三角形，则DF=EF，又△ABC是等边三角形，根据三角形内角和可得出，
【解析】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接DF，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断△DEF是等边三角形，则DF=EF，又△ABC是等边三角形，根据三角形内角和可得出，∠AFD=∠FEC，所以△ADF≌△CFE（AAS），则AD=CF；
（2）过点F作JKAC交AB于点J，交BC于点K，过点F作PIAB交AC于P，交BC于点I，连接DF，则△BJK和△CPI是等边三角形，△BDE≌△JFD≌KEF，所以DJ=BE=FK，因为ABPI，FKAC，所以四边形AJFP是平行四边形，则AJ=PF，易得△CPI为等边三角形，由∠FCB=30°可得CF平分∠PCI，则FI=FP，所以FP=AJ，FK=BE=DJ，FI=FK，所以AJ=DJ=BE，即AD=AJ+DJ=2BE；
（3）延长MO到点G，使OG=OM，连接NG，BG，NM，作∠ACQ=∠ABN，且使CQ=BN，连接MQ，AQ，先得到△BOG≌△COM（SAS），再得到△ACQ≌△ABN（SAS）和△BNG≌△CQM（SAS），所以∠NAM=∠MAQ=∠CAM+∠CAQ=∠CAM+∠BAN，所以∠CAM+∠BAN=30°，则∠CAM=，所以∠BAN=30°-．
(1)
证明：如图，连接，

，，
∵是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
，
，
，
，，
，
；
(2)
证明：如图，过点作交于点，交于点，过点作交于，交于点，连接，

，
，
和是等边三角形，
，，
是等边三角形，
由（1）中结论可知，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
为等边三角形，，
，
平分，
是等边三角形，
，
，
，，
，即；
(3)
如图，延长到点，使，连接，，，作，且使，连接，，

，，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，，，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
．
【点睛】本题属于三角形的综合题，涉及全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形三线合一等知识，类比思想及构造的思想进行分析，仿造（1）中的结论构造出全等三角形是解题关键．