八年级期末试卷复习练习(Word版含答案).doc

八年级期末试卷复习练习(Word版含答案)
一、选择题
1．已知二次根式，则的最小值是（ ）
A．0 B．-1 C． D．
2．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为1：2：3 B．三边长分别为1、、2
C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：5
3．如图，在四边形ABCD中，ABCD．下列条件不能判定此四边形为平行四边形的是（　　）

A．AB＝CD B．ADBC C．∠B＝∠D D．AD＝BC
4．一组数据：的平均数为，众数为，中位数为，则以下判断正确的是（ ）
A．一定出现在中 B．一定出现在中
C．一定出现在中 D．，，都不会出现在中
5．如图所示，正方形ABCD的边长为4，点E为线段BC上一动点，连结AE，将AE绕点E顺时针旋转90°至EF，连结BF，取BF的中点M，若点E从点B运动至点C，则点M经过的路径长为（　　）

A．2 B． C． D．4
6．如图，在菱形ABCD中MN分别在AB、CD上且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO若∠DAC=62°，则∠OBC的度数为（　　）

A．28° B．52° C．62° D．72°
7．如图，正方形ABCD的边长为4，E是AD边的中点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折至△FBE，延长EF交CD于点G，则CG的长度是（　　）

A． B． C． D．
8．如图1，动点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→C→D以1cm/s的速度运动到点D．设点P的运动时间为（s），△PAB的面积为y（cm2）．表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则a的值为（　　）

A． B． C．2 D．2
二、填空题
9．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ___．
10．在菱形中，对角线则菱形的面积为__________
11．已知一个直角三角形的两直角边长分别是1和3，则斜边长为________．
12．如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长是______．

13．若正比例函数的图像经过点，则的值为________．
14．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件（不再添加辅助线和字母），使得平行四边形ABCD变成菱形，你添加的条件是：_____________ ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，3），（3，3），若直线y＝kx与线段AB有公共点，则k的取值范围为___．

16．如图，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，则线段的长等于_________，线段的长等于_________．

三、解答题
17．计算
（1）（+）（-）
（2）
18．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝4，求AC的长．

19．如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形或四边形．（绘图要求：①所绘图形不得超出正方形网格；②必须用直尺和中性笔绘图，确保所绘图形的顶点必须在格点上）
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；
（4）在图④中，画一个正方形，使它的面积为10．

20．如图，已知点是中边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，．

（1）求证：四边形为矩形；
（2）若是等边三角形，且边长为6，求四边形的面积．
21．[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：
；
；
；
……
[发现]根据你的阅读回答下列问题：
（1）请根据上面式子的规律填空：
（为正整数）；
（2）请证明(1) 中你所发现的规律．
[应用]请直接写出下面式子的结果：
．
22．暑期将至，某游泳馆面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次游泳费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次游泳费用按八折优惠．
设某学生暑期游泳x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．
（1）求k1和b的值；
（2）八年级学生小华计划暑期前往该游泳馆游泳8次，应选择哪种方案所需费用更少？请说明理由．

23．如图，正方形ABCD的顶点C处有一等腰直角三角形CEP，∠PEC＝90°，连接AP，BE．
（1）若点E在BC上时，如图1，线段AP和BE之间的数量关系是 　 　；
（2）若将图1中的△CEP顺时针旋转使P点落在CD上，如图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）在（2）的基础上延长AP，BE交于F点，若DP＝PC＝2，求BF的长．

24．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“合成矩形”．如图为点P，Q的“合成矩形”的示意图．

（1）若A点坐标为（2，0），
①当B点坐标为（5，1）时，点A，B的“合成矩形”的面积是 　 　；
②若点C在直线x＝4上，且点A，C的“合成矩形”为正方形，求直线AC的表达式；
③若点P在直线y＝﹣2x＋2上，且点A，P的“合成矩形”为正方形，直接写出P点的坐标；
（2）点O的坐标为（0，0），点D为直线y＝x＋b（b≠0）上一动点，若O，D的“合成矩形”为正方形，且此正方形面积不小于2时，求b的取值范围．
25．如图，两个全等的等边三角形△ABC与△ACD，拼成的四边形ABCD中，AC＝6，点E、F分别为AB、AD边上的动点，满足BE＝AF，连接EF交AC于点G，连接BD与CE、AC、CF分别交于点M、O、N，且AC⊥BD．
（1）求证：△CEF是等边三角形．
（2）△AEF的周长最小值是 　 　．
（3）若BE＝3，求证：BM＝MN＝DN．

【参考答案】
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
直接利用二次根式得定义得出的取值范围，进而得出答案．
【详解】
解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：，
故的最小值为，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查二次根式的定义，正确得出的取值范围是解题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
根据三角形内角和定理及勾股定理的逆定理逐一判定是否为直角三角形即可得答案．
【详解】
A.设三个内角的度数为n，2n，3n
∴n+2n+3n=180，
解得：n=30°，
∴各角分别为30°，60°，90°，故此三角形是直角三角形；
B.∵12+（）2=22，
∴此三角形是直角三角形，
C.设三条边为3n，4n，5n，
∵(3n)2+(4n)2=(5n)2，
∴此三角形是直角三角形，
D.设三个内角的度数为3n，4n，5n，
∴3n+4n+5n=180°，
解得：n=15°，
∴各角分别为45°，60°，75°，
∴此三角形不是直角三角形，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定条件可直接进行排除选项．
【详解】
解：A、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
B、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
C、∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∵∠B=∠D，∴∠D+∠C=180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
D、AD=BC，AB∥CD无法得出四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
故选D．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定条件是解题的关键．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据平均数、中位数、众数的定义，对于错误的说法举出反例说明，从而利于排除法求解．
【详解】
解：A、如数据0，1，1，4这四个数的平均数是1.5，不是这组数中的某个数，错误，不符合题意；
B、众数是一组数据中出现次数最多的数，它一定是数据中的数，正确，符合题意；
C、如数据1，2，3，4的中位数是2.5，不是这组数中的某个数，错误，不符合题意；
D、众数是一组数据中出现次数最多的数，它一定是数据中的数，错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平均数、中位数、众数的定义．平均数等于数据之和除以总个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
5．B
解析：B
【分析】
已知EF⊥AE，当E点在线段BC上运动到两端时，正好是M点运动的两个端点，由此可以判断M点的运动轨迹是BC、CD中点的连线长.
【详解】
解：取BC、CD的中点G、H，连接GH，连接BD
∴GH为△BCD的中位线，即
∵将AE绕点E顺时针旋转90°至EF，
∴EF⊥AE，
当E点在B处时，M点在BC的中点G处，当E点在C点处时，M点在CD中点处，
∴点M经过的路径长为GH的长，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴
∴，
故选B．

【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理和中位线定理，解题的关键在于找到M点的运动轨迹.
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
连接OB，根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
【详解】
解：连接OB，

∵四边形ABCD为菱形
∴AB∥CD，AB=BC，
∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∵，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO=CO，
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∵∠DAC=62°，
∴∠BCA=∠DAC=62°，
∴∠OBC=90°-62°=28°．
故选A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
连接BG，根据折叠的性质和正方形的性质可得AB＝BF＝BC＝4，AE＝FE＝AD＝2＝DE，∠A＝∠BFE＝90°＝∠C，即可证明Rt△BFG≌Rt△BCG得到FG＝CG，设CG＝FG＝x，则DG＝4﹣x，EG＝2+x，在Rt△DEG中，由勾股定理进行求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝DC＝4，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，
由折叠的性质可得，AB＝BF＝BC＝4，AE＝FE＝AD＝2＝DE，∠A＝∠BFE＝90°＝∠C，
∵∠BFE+∠BFG＝180°，
∴∠C＝∠BFG＝90°，
又∵BG＝BG，
∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL），
∴FG＝CG，
设CG＝FG＝x，则DG＝4﹣x，EG＝2+x，
在Rt△DEG中，由勾股定理得，
EG2＝DE2+DG2，
∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2，
解得x＝，
即CG＝，
故选C．

【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
8．B
解析：B
【分析】
由图2知，菱形的边长为a，对角线AC=，则对角线BD为22，当点P在线段AC上运动时，yAPBDx，即可求解．
【详解】
解：由图2知，菱形的边长为a，对角线AC，
则对角线BD为22，
当点P在线段AC上运动时，
yAPBDx，
由图2知，当x时，y＝a，
即a，
解得：a，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是动点图象问题，涉及到函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
二、填空题
9．且
【解析】
【分析】
根据二次根式及分式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】
解：由题意得：
且，
解得：且；
故答案为且．
【点睛】
本题主要考查二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键．
10．A
解析：14
【解析】
【分析】
根据菱形的面积=两条对角线长乘积的一半进行计算即可．
【详解】
如图所示：

∵菱形ABCD中，对角线AC=4cm，BD=7cm，
∴菱形ABCD的面积ACBD×4×7=14（cm2）；
故答案为：14．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，熟记菱形的面积=两条对角线长乘积的一半是解题的关键．
11．
【解析】
【分析】
利用勾股定理计算即可．
【详解】
解：∵直角三角形的两直角边长分别是1和3，
∴斜边==，
故答案为：．
【点睛】
本题考查勾股定理，解题的关键是记住勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
12．A
解析：
【分析】
根据矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，∠BAD=90°，求出△AOB是等边三角形，求出OB=AB=5，根据矩形的性质求出BD，根据勾股定理求出AD即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD, ∠BAD=90°，
∵
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=5，
∴BD=2BO=10，
在Rt△BAD中,
故答案为：
【点睛】
考查矩形的性质，勾股定理等，等边三角形的性质与判定，掌握矩形的对角线相等是解题的关键.
13．-4
【分析】
把代入，即可求解．
【详解】
解：∵正比例函数的图像经过点，
∴，即：k=-4，
故答案是：-4．
【点睛】
本题主要考查正比例函数，掌握待定系数法，是解题的关键.
14．A
解析：AB=BC
【分析】
菱形的判定方法有三种： ①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②四边相等； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 利用菱形的判定方法可得答案．
【详解】
解： AB=BC．平行四边形ABCD，
是菱形．
故答案为：AB=BC．
【点睛】
此题主要考查了菱形的判定，熟练地掌握菱形的判定定理是解决问题的关键．
15．1≤k≤3
【分析】
把点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，求得k的最大值和最小值，易得k的取值范围．
【详解】
解：把（1，3）代入y=kx，得k=3．
把（3，3）代入y=kx，得3k=3，解
解析：1≤k≤3
【分析】
把点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，求得k的最大值和最小值，易得k的取值范围．
【详解】
解：把（1，3）代入y=kx，得k=3．
把（3，3）代入y=kx，得3k=3，解得k=1．
故k的取值范围为1≤k≤3．
故答案是：1≤k≤3．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于k的最值是解题的关键．
16．【分析】
先依据勾股定理求得AB的长，然后在△ABC中，利用面积法可求得CE的长，然后依据勾股定理定理可求得AE的长，证明△ECF为等腰直角三角形可求得EF的长，依据FB=AB-A
解析：
【分析】
先依据勾股定理求得AB的长，然后在△ABC中，利用面积法可求得CE的长，然后依据勾股定理定理可求得AE的长，证明△ECF为等腰直角三角形可求得EF的长，依据FB=AB-AF求得FB的长即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，AB==10，
∵S△ABC=AC•BC=AB•CE，
∴CE=，
在△AEC中，依据勾股定理得：AE=，
由翻折的性质可知∠ECD=∠ACD，∠DCF=∠DCB，CE⊥AD，
∴∠ECF=45°．
∵CE⊥AD，
∴CE=EF=，
∴FB=AB-AE-EF=10--=，
故答案为：，．
【点睛】
本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用面积法求得CE的长，然后再利用勾股定理和等腰三角形的性质求得AE和EF的长是解答问题的关键．
三、解答题
17．（1）4；（2）
【分析】
（1）根据二次根式运算法则结合平方差公式进行计算即可；
（2）先将题目中的二次根式化解为最简二次根式，然后根据二次根式的加减运算法则计算即可．
【详解】
解：（1）原式；
解析：（1）4；（2）
【分析】
（1）根据二次根式运算法则结合平方差公式进行计算即可；
（2）先将题目中的二次根式化解为最简二次根式，然后根据二次根式的加减运算法则计算即可．
【详解】
解：（1）原式；
（2）原式

．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解本题的关键．
18．【分析】
直接利用勾股定理进而得出AC的长．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵AC+AB＝10，BC＝4，
设AC＝x，则AB＝10﹣x，
∴x2+
解析：
【分析】
直接利用勾股定理进而得出AC的长．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵AC+AB＝10，BC＝4，
设AC＝x，则AB＝10﹣x，
∴x2+42＝（10﹣x）2，
解得：x＝，
答：AC的长为．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出等式方程是解题关键．
19．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；
【解析】
【分析】
根据勾股定理即可得．
【详解】
解：（1）如图①所示，三边分别为：3，4，5；
（2）如图②所示，三边分别为：，，2或
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；
【解析】
【分析】
根据勾股定理即可得．
【详解】
解：（1）如图①所示，三边分别为：3，4，5；
（2）如图②所示，三边分别为：，，2或，，4 ；
（3如图③所示，三边分别为：，，或，，或，，；
（4）如图④所示，正方形的边长为：，则面积：（）2=10．

【点睛】
本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．
20．（1）见解析；（2）四边形的面积．
【分析】
（1）利用平行四边形的性质先证明，可得再证明四边形是平行四边形，从而可得结论；
（2）先求解，，再利用勾股定理求解，从而可得答案.
【详解】
（1）证明
解析：（1）见解析；（2）四边形的面积．
【分析】
（1）利用平行四边形的性质先证明，可得再证明四边形是平行四边形，从而可得结论；
（2）先求解，，再利用勾股定理求解，从而可得答案.
【详解】
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点是中边的中点，
，
，
，

，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形为矩形；
（2）解：由（1）得：四边形为矩形，
，
是等边三角形，
，，
，
四边形的面积．
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质与判定，矩形的判定，熟练的使用矩形的判定定理是解题的关键.
21．[观察]，，；[发现]（1）或；（2）证明见解析；[应用]或．
【解析】
【分析】
（1）计算题目中结果，并根据计算过程和结果，总结得到一般规律，作出猜想，并对猜想进行计算，即可进行证明；
（2）运
解析：[观察]，，；[发现]（1）或；（2）证明见解析；[应用]或．
【解析】
【分析】
（1）计算题目中结果，并根据计算过程和结果，总结得到一般规律，作出猜想，并对猜想进行计算，即可进行证明；
（2）运用（1）中发现规律，进行计算即可.
【详解】
[观察]，，，
[发现]（1）或
（2）左

∵为正整数，
∴
∴左右
[应用]

∴答案为：或.
【点睛】
（1）此类规律探究问题一定要结合式子特点和数的规律进行探究，类比；
（2）此类题目往往无法直接进行计算，一般要根据规律进行变形，往往会消去部分中间项，实现简化运算目的.
22．（1）y1=15x+30；（2）选择方案一所需费用更少，理由见解析
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出y2与x之间的函数关系式，将x=8分别代入y1、y2关于x的函数解析式，比较即
解析：（1）y1=15x+30；（2）选择方案一所需费用更少，理由见解析
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出y2与x之间的函数关系式，将x=8分别代入y1、y2关于x的函数解析式，比较即可．
【详解】
解：（1）根据题意，得：
，解得：，
∴方案一所需费用y1与x之间的函数关系式为y1=18x+30，
∴k1=18，b=30；
（2）∵打折前的每次游泳费用为18÷0.6=30（元），
∴k2=30×0.8=24；
∴y2=24x，
当游泳8次时，
选择方案一所需费用：y1=18×8+30=174（元），
选择方案二所需费用：y2=24×8=192（元），
∵174＜192，
∴选择方案一所需费用更少．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解两种优惠活动方案，求出y1、y2关于x的函数解析式．
23．（1）AP=BE；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】
（1）首先说明A，P，C三点共线，设正方形ABCD的边长为1，CE=x，根据正方形和等腰直角三角形的性质求出AP和BE的长，即可判断；
（
解析：（1）AP=BE；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】
（1）首先说明A，P，C三点共线，设正方形ABCD的边长为1，CE=x，根据正方形和等腰直角三角形的性质求出AP和BE的长，即可判断；
（2）过点B作BH⊥BE，且BH=BE，连接AH，EH，证明△ABH≌△BEC，得到AH=EC=PE，∠AHB=∠CEB，从而证明四边形AHEP是平行四边形，同理可得AP=EH=BE；
（3）过B，D分别作AF的垂线，垂足为K，M，证明△ABK≌△DAM，得到BK=AM，求出AP，在△ADP中利用面积法求出DM，可得AM和BK，再利用勾股定理求出BF即可．
【详解】
解：（1）∵点E在BC上，△PEC为等腰直角三角形，
∴PE=CE，∠PCE=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
∴A，P，C三点共线，设正方形ABCD的边长为1，CE=x，
∴PE=x，PC=x，AC=，
∴AP=AC-PC=，BE=BC-CE=1-x，
∴AP=BE；
（2）成立，
如图，过点B作BH⊥BE，且BH=BE，连接AH，EH，

∵∠ABC=∠EBH=90°，
∴∠CBE+∠ABE=∠ABH+∠ABE=90°，
∴∠CBE=∠ABH，
又∵BH=BE，AB=BC，
∴△ABH≌△BEC（SAS），
∴AH=EC=PE，∠AHB=∠CEB，
∴∠AHE=∠AHB-∠EHB=∠CEB-45°，
∵∠HEP=360°-∠CEB-∠HEB-∠CEP
=360°-∠CEB-45°-90°
=225°-∠CEB，
∴∠AHE+∠HEP=∠CEB-45°+225°-∠CEB=180°，
∴AH∥PE，
∴四边形AHEP是平行四边形，
∴AP=EH=BE；
（3）如图，过B，D分别作AF的垂线，垂足为K，M，

∵∠BAD=∠BAK+∠DAM=90°，∠ABK+∠BAK=90°，
∴∠ABK=∠DAM，
又∵AB=AD，∠AKB=∠AMD=90°，
∴△ABK≌△DAM（AAS），
∴BK=AM，
∵四边形ABCD是正方形，DP=PC=2，
∴AD=CD=4，∠AHE=90°，
∴AP=，
∴S△ADP=，
∴，
∴，
∴AM=，
由（2）可知：△EBH为等腰直角三角形，HE∥AP，
∴∠KBF=∠HBE=45°，
∴∠F=45°，
∴BF==．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
24．（1）①3；②或；③，；（2）或
【解析】
【分析】
（1）①由的坐标为，的坐标为，得出“合成矩形”的长为3，宽为1，求出面积；
②分两种情况画图，得到正方形边长为2，可知点的坐标，待定系数法求的函
解析：（1）①3；②或；③，；（2）或
【解析】
【分析】
（1）①由的坐标为，的坐标为，得出“合成矩形”的长为3，宽为1，求出面积；
②分两种情况画图，得到正方形边长为2，可知点的坐标，待定系数法求的函数关系式；
③根据正方形的边长相等，建立的方程求解；
（2）根据正方形面积公式，求出点 的坐标，代入函数表达式，求的取值范围．
【详解】
解：（1）①点，的“合成矩形”如图1，
的坐标为，的坐标为，
，．
点，的“合成矩形” 的面积．
故答案为：3．

②如图2，
的坐标为，
点在直线上，
且点，的“合成矩形”为正方形时，
当在轴上方时，
点，
．
点，的“合成矩形”为正方形，
，
，
设直线解析式为，
将，代入表达式得：
，
解得．
直线解析式为．
同理可得当在轴下方时，
，
此时解析式为．
综上所述，点，的“合成矩形”为正方形，直线的表达式为或；

③如图3，当点在直线上，
设点．
当点在轴上方时，
点，的“合成矩形”为正方形，
则正方形的边长为和，
可得方程，
解得，
点的坐标为．
同理可得，当点在轴下方时，
，的横坐标相同，
则．
点在直线上，且点，的“合成矩形”为正方形时，点的坐标为，．

（2）点的坐标为，
如图4，，的“合成矩形”为正方形时，
且点在轴上，点在轴上．
当点在轴的上方，
且正方形面积等于2时，
．
，．
点代入直线得：
．
正方形面积不小于2，
的取值范围为．
同理可得，
当点在轴下方时，
的取值范围为．
综上，的取值范围为或．

【点睛】
本题是阅读理解题，考查了学生对新定义的理解和运用能力、正方形的性质、以及一次函数的图象和性质，待定系数法求直线解析式等知识，综合性较强，有一定的难度，利用数形结合解决此类问题是非常有效的方法．
25．（1）见解析；（2）6+3；（3）见解析
【分析】
（1）证明△BEC≌△AFC（SAS），可得结论．
（2）△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+BE+EF＝AB+EF＝6+EF，推出EF的值最
解析：（1）见解析；（2）6+3；（3）见解析
【分析】
（1）证明△BEC≌△AFC（SAS），可得结论．
（2）△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+BE+EF＝AB+EF＝6+EF，推出EF的值最小时，△AEF的周长最小，因为△ECF是等边三角形，推出EF＝CE，推出当CE⊥AB时，CE的值最小．
（3）求出BD＝6，再求出BM＝DN＝2，可得BM＝MN＝DN＝2解决问题．
【详解】
（1）证明：∵△ABC，△ACD是全等的等边三角形，
∴AC＝BC，∠ABC＝∠DAC＝∠BCA＝60°，
∵AF＝BE，在△CBE和△CAF中，
，
∴△BEC≌△AFC（SAS），
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE，
∴∠ECF＝∠BCA＝60°，
∴△CEF是等边三角形．
（2）解：∵△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+BE+EF＝AB+EF＝6+EF，
∴EF的值最小时，△AEF的周长最小，
∵△ECF是等边三角形，
∴EF＝CE，
∴当CE⊥AB时，CE的值最小，
∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠BCE=30°，
∴BE=，
∴CE＝，
∴△AEF的周长的最小值为6+3，
故答案为：6+3．
（3）证明：∵△ABC，△ACD是全等的等边三角形，AC⊥BD
∴AO＝CO，BO＝DO，∠ABO＝∠ABC＝30°
∵BE＝3，AB＝AC＝6，
∴点E为AB中点，点F为AD中点，
∴AO＝AB＝3，
∴BO＝，
∴BD＝6，
∵△ABC是等边三角形，BE＝AE＝3，
∴CE⊥AB，
∴BM＝2EM，
∴
∴BM＝2，
同理可得DN＝2，
∴MN＝BD﹣BM﹣DN＝2
∴BM＝MN＝DN．

【点睛】
此题考查了三角形全等，勾股定理，线段最值问题，解题的关键是根据题意找到题目中边角之间的关系．