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平面向量基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.

3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a、b共线⇔x1y2－x2y1＝0.

选择题：
设e1，e2是平面内一组基底，那么(　　)
A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．空间内任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)
C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内
D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对

下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝
解析　两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.

已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b等于(　　)
A．(－2，－1) B．(－2,1) C．(－1,0) D．(－1,2)
解析　a＝(，)，b＝(，－)，故a－b＝(－1,2)．

已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于(　　)
A．－a＋b B.a－b C．－a－b D．－a＋b
解析　设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴∴∴c＝a－b.

已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于(　　)
A. B. C．1 D．2
解析　∵a＋λb＝(1＋λ，2)，c＝(3,4)，且(a＋λb)∥c，∴＝，∴λ＝

已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于(　　)
A. B. C. D.
解析　由已知3c＝－a＋2b＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)，∴c＝.

已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)
A．－ B. C. D.
解析　＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)，∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－

已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量A同方向的单位向量为(　　)
A. B. C. D.
解析　A＝O－O＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与A同方向的单位向量为＝.
已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为(　　)
A．(7,4) B．(7,14) C．(5,4) D．(5,14)
解析　设点B的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－5)，由＝3a，得解得

已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(　　)
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析　由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，∴m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A

已知在□ABCD中，＝(2,8)，＝(－3,4)，则＝(　　)
A．(－1，－12) B．(－1,12) C．(1，－12) D．(1,12)
解析　∵四边形ABCD是平行四边形，∴＝＋＝(－1,12)

在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s等于(　　)
A. B. C．－3 D．0
解析　∵＝2，∴＝＝(－)＝－，则r＋s＝＋＝0

已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则向量＝(　　)
A.＋ B.＋ C.＋ D.＋
解析　如图，∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋

在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于(　　)
A．(－2,7) B．(－6,21) C．(2，－7) D．(6，－21)
解析　＝3＝3(2－)＝6－3＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．

在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A. B. C. D.
解析　∵＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，
∴＝－，∴λ＋μ＝.

填空题：
已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝________.
解析　由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)，即m＝－4.
从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．

已知向量a＝(x,1)，b＝(2，y)，若a＋b＝(1，－1)，则x＋y＝________.
解析　∵(x,1)＋(2，y)＝(1，－1)，∴解得∴x＋y＝－3.

已知向量a＝(1,2)，b＝(0,1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值为(　　)
A．－1 B．－ C. D．1
解析　∵u＝(1,2)＋k(0,1)＝(1,2＋k)，v＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u∥v，∴1×3＝2(2＋k)，得k＝－

已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．
解析　∵a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，∴u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又∵u∥v，∴3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝.
若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________
解析　＝(a－1,3)，＝(－3,4)，根据题意∥，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－

在□ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则向量的坐标为__________．
解析　∵＋＝，∴＝－＝(－1，－1)，∴＝－＝－＝(－3，－5)．

已知□ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________
解析　设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即解得

已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_______
解析　∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，∴＝2.
设点D的坐标为(x，y)，则＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，
∴解得故点D的坐标为(2,4)．

如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
解析：设＝k，k∈R.
∵＝＋＝＋k＝＋k(－)＝＋k(－)＝(1－k)＋，
且＝m＋，∴1－k＝m，＝，解得k＝，m＝.

在□ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝________(用e1，e2表示)
解析　如图，＝－＝＋2＝＋
＝－＋(－)＝－e2＋(e2－e1)＝－e1＋e2

如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝____________
解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b

若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．
解析　＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，则(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，∴＋＝.

设＝(－2,4)，＝(－a,2)，＝(b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________
解析　由题意得＝(－a＋2，－2)，＝(b＋2，－4)，
又∥，∴(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)，即整理得2a＋b＝2，
∴＋＝(2a＋b)(＋)＝(3＋＋)≥(3＋2)＝(当且仅当b＝a时，等号成立)．

已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于点C，且＝2，则实数a＝________.
解析　设C(x，y)，则＝(x－7，y－1)，＝(1－x,4－y)，
∵＝2，∴解得∴C(3,3)．
又∵C在直线y＝ax上，∴3＝a·3，∴a＝2.

已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________
解析　若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线．∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，
∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.

设0＜θ＜，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝________.
解析　∵a∥b，∴sin2θ×1－cos2θ＝0，∴2sinθcosθ－cos2θ＝0，
∵0＜θ＜，∴cosθ＞0，∴2sinθ＝cosθ，∴tanθ＝

解答题：
已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若＝2，求点C的坐标．
解析　(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，
∵A，B，C三点共线，∴∥，∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.
(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．
∴解得∴点C的坐标为(5，－3)．

已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线．
(1)解　＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．
当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0.
(2)证明　当t1＝1时，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)．
∵＝－＝(4,4)，＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2，
∴与共线，又有公共点A，∴A，B，M三点共线．

能力提升题组
已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则等于(　　)
A．－2 B．2 C．－ D.
解析　由题意得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，
∵(ma＋nb)∥(a－2b)，∴－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0，∴＝－

已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则的值为(　　)
A．2 B. C．3 D．4
解析　∵·＝0，∴⊥，以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，
＝(1,0)，＝(0，)，＝m＋n＝(m，n)．∵tan 30°＝＝，∴m＝3n，即＝3

如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且B＝2P，则(　　)

A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝
解析　由题意知O＝O＋B，又B＝2P，∴O＝O＋B＝O＋(O－O)＝O＋O，∴x＝，y＝.

已知点A(－1,2)，B(2,8)，＝，＝－，则的坐标为________
解析　设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
由题意得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．
∵＝，＝－，∴有和
解得和∴点C，D的坐标分别为(0,4)，(－2,0)，从而＝(－2，－4)．

已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(cosα，sinα)(α∈R)，实数m，n满足ma＋nb＝c，则(m－3)2＋n2的最大值为________
解析　由ma＋nb＝c，可得
故(m＋n)2＋(m－n)2＝2，即m2＋n2＝1，故点M(m，n)在单位圆上，则点P(3,0)到点M的距离的最大值为|OP|＋1＝3＋1＝4，故(m－3)2＋n2的最大值为42＝16.

已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m，使得＋＝m成立，则m＝________.
解析∵＋＋＝0，∴M为△ABC的重心．
如图所示，连接AM并延长交BC于D，则D为BC的中点．
∴＝.
又＝(＋)，∴＝(＋)，
即＋＝3，∴m＝3.

如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________
解析　由题意得，＝k(k＜0)，
又|k|＝＜1，∴－1＜k＜0.
又∵B，A，D三点共线，∴＝λ＋(1－λ)，
∴m＋n＝kλ＋k(1－λ)，
∴m＝kλ，n＝k(1－λ)，
∴m＋n＝k，从而m＋n∈(－1,0)．

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