八年级上学期压轴题强化数学综合试卷附解析(一)[001].doc
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八年级上学期压轴题强化数学综合试卷附解析(一) 1.如图,在平面直角坐标系中,已知点,,且,为轴上点右侧的动点,以为腰作等腰,使,,直线交轴于点. (1)求证:; (2)求证:; (3)当点运动时,点在轴上的位置是否发生变化,为什么? 2.完全平方公式:适当的变形,可以解决很多的数学问题. 例如:若,求的值. 解:因为 所以 所以 得. 根据上面的解题思路与方法,解决下列问题: (1)若,求的值; (2)①若,则 ; ②若则 ; (3)如图,点是线段上的一点,以为边向两边作正方形,设,两正方形的面积和,求图中阴影部分面积. 3.如图1,将两块全等的三角板拼在一起,其中△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC且AC = BC;△EFP的边FP也在直线l上,边EF与边AC重合,EF⊥FP且EF = FP. (1)在图1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系; (2)将三角板△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时,EP交AC于点Q,连接AP、BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,并证明你的猜想; (3)将三角板△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连接AP、BQ.你认为(2)中猜想的BQ与AP所满足的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由. 4.已知:,. (1)当a,b满足时,连接AB,如图1. ①求:的值. ②点M为线段AB上的一点(点M不与A,B重合,其中BM>AM),以点M为直角顶点,OM为腰作等腰直角△MON,连接BN,求证:. (2)当,,连接AB,若点,过点D作于点E,点B与点C关于x轴对称,点F是线段DE上的一点(点F不与点E,D重合)且满足,连接AF,试判断线段AC与AF之间的位置关系和数量关系,并证明你的结论. 5.已知,. (1)若,作,点在内. ①如图1,延长交于点,若,,则的度数为 ; ②如图2,垂直平分,点在上,,求的值; (2)如图3,若,点在边上,,点在边上,连接,,,求的度数. 6.如图①,直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A(a,0)、B(0,b)两点. (1)若+b2-10b+25=0,判断△AOB的形状,并说明理由; (2)如图②,在(1)的条件下,设Q为AB延长线上一点,作直线OQ,过A、B两点分别作AM⊥OQ于M,BN⊥OQ于N,若AM=4,MN=7,求BN的长; (3)如图③,若即点A不变,点B在y轴正半轴上运动,分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE,连EF交y轴于P点,问当点B在y轴上运动时,试猜想PB的长是否为定值,若是,请求出其值;若不是,请求其取值范围. 7.已知:在平面直角坐标系中,A为x轴负半轴上的点,B为y轴负半轴上的点. (1)如图1,以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰,若,,求C点的坐标; (2)如图2,若点A的坐标为,点B的坐标为,点D的纵坐标为n,以B为顶点,BA为腰作等腰.当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时,整式的值是否发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理出; (3)如图3,若,于点F,以OB为边作等边,连接AM交OF于点N,若,,请直接写出线段AM的长. 8.如图,在等边△ABC中,线段AM为BC边上的中线.动点D在直线AM上时,以CD为一边在CD的下方作等边△CDE,连结BE. (1)求∠CAM的度数; (2)若点D在线段AM上时,求证:△ADC≌△BEC; (3)当动D在直线AM上时,设直线BE与直线AM的交点为O,试判断∠AOB是否为定值?并说明理由. 【参考答案】 2.(1)见解析;(2)见解析;(3)不变,理由见解析 【分析】(1)先根据非负数的性质求出、的值,作于点,由定理得出,根据全等三角形的性质即可得出结论; (2)先根据,得出,再由定理即可得出; 解析:(1)见解析;(2)见解析;(3)不变,理由见解析 【分析】(1)先根据非负数的性质求出、的值,作于点,由定理得出,根据全等三角形的性质即可得出结论; (2)先根据,得出,再由定理即可得出; (3)设,由全等三角形的性质可得出,故为定值,再由,可知的长度不变,故可得出结论. 【详解】解:(1)证明:, ,解得, ,, 作于点, ,, ,, 在与中, , , ; (2)证明:, ,即, 在与中, , ; (3)点在轴上的位置不发生改变. 理由:设, 由(2)知,, , ,为定值,, 长度不变, 点在轴上的位置不发生改变. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质,熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键. 3.(1)12;(2)①6;②17;(3) 【分析】(1)根据完全平方公式的变形应用,解决问题; (2)①两边平方,再将代入计算; ②两边平方,再将代入计算; (3)由题意可得:,,两边平方从而 解析:(1)12;(2)①6;②17;(3) 【分析】(1)根据完全平方公式的变形应用,解决问题; (2)①两边平方,再将代入计算; ②两边平方,再将代入计算; (3)由题意可得:,,两边平方从而得到,即可算出结果. 【详解】解:(1); ; ; 又; , , ∴. (2)①, ; 又, . ②由, ; 又, . (3)由题意可得,,; ,; , ; 图中阴影部分面积为直角三角形面积, , . 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的适当变形灵活应用,(1)可直接应用公式变形解决问题.(2)①②小题都需要根据题意得出两个因式和或者差的结果,合并同类项得①,②是解决本题的关键,再根据完全平方公式变形应用得出答案.(3)根据几何图形可知选段,再根据两个正方形面积和为18,利用完全平方公式变形应用得到,再根据直角三角形面积公式得出答案. 4.(1)AB=AP,AB⊥AP;(2)BQ=AP,BQ⊥AP;(3)成立,见解析. 【分析】(1)根据等腰直角三角形性质得出AB=AP,∠BAC=∠PAC=45°,求出∠BAP=90°即可; (2 解析:(1)AB=AP,AB⊥AP;(2)BQ=AP,BQ⊥AP;(3)成立,见解析. 【分析】(1)根据等腰直角三角形性质得出AB=AP,∠BAC=∠PAC=45°,求出∠BAP=90°即可; (2)求出CQ=CP,根据SAS证△BCQ≌△ACP,推出AP=BQ,∠CBQ=∠PAC,根据三角形内角和定理求出∠CBQ+∠BQC=90°,推出∠PAC+∠AQG=90°,求出∠AGQ=90°即可; (3)BO与AP所满足的数量关系为相等,位置关系为垂直.证明方法与(2)一样. 【详解】(1)AB=AP且AB⊥AP, 证明:∵AC⊥BC且AC=BC, ∴△ABC为等腰直角三角形, ∴∠BAC=∠ABC=, 又∵△ABC与△EFP全等, 同理可证∠PEF=45°, ∴∠BAP=45°+45°=90°, ∴AB=AP且AB⊥AP; (2)BQ与AP所满足的数量关系是AP=BQ,位置关系是AP⊥BQ, 证明:延长BQ交AP于G, 由(1)知,∠EPF=45°,∠ACP=90°, ∴∠PQC=45°=∠QPC, ∴CQ=CP, ∵∠ACB=∠ACP=90°,AC=BC, ∴在△BCQ和△ACP中 ∴△BCQ≌△ACP(SAS), ∴AP=BQ,∠CBQ=∠PAC, ∵∠ACB=90°, ∴∠CBQ+∠BQC=90°, ∵∠CQB=∠AQG, ∴∠AQG+∠PAC=90°, ∴∠AGQ=180°-90°=90°, ∴AP⊥BQ; (3)成立. 证明:如图,∵∠EPF=45°, ∴∠CPQ=45°. ∵AC⊥BC, ∴∠CQP=∠CPQ, CQ=CP. 在Rt△BCQ和Rt△ACP中, ∴Rt△BCQ≌Rt△ACP(SAS) ∴BQ=AP; 延长BQ交AP于点N, ∴∠PBN=∠CBQ. ∵Rt△BCQ≌Rt△ACP, ∴∠BQC=∠APC. 在Rt△BCQ中,∠BQC+∠CBQ=90°, ∴∠APC+∠PBN=90°. ∴∠PNB=90°. ∴BQ⊥AP. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质:有两组边对应相等,且它们所夹的角相等,那么这两个三角形全等;全等三角形的对应边相等.也考查了等腰直角三角形的判定与性质. 5.(1)10;证明见解析; (2),,理由见解析; 【分析】(1)①利用可求出,,即可求出;②作交AB与点C,交AB与点F,证明,再证明,利用,即可证明; (2)证明,得到,,再利用等量代换证明 解析:(1)10;证明见解析; (2),,理由见解析; 【分析】(1)①利用可求出,,即可求出;②作交AB与点C,交AB与点F,证明,再证明,利用,即可证明; (2)证明,得到,,再利用等量代换证明; (1) 解:①由图可知, ∵ ∴,即, ∴,, ∴; ②作交AB与点C,交AB与点F,如图, ∵,, ∴, 在和中, ∴, ∴,,, ∵, ∴, ∴, ∴,即, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, 即, (2) 解:,,理由如下: 假设DE交BC于点G, 有已知可知:,,,, ∴, ∵ ∴ ∵,且, ∴, 在和中, ∴, ∴,, ∵, ∴, ∴, 【点睛】本题考查三角形全等的判定,等量代换,绝对值非负性的应用,直角坐标系中的图形,(1)的关键是证明,(2)的关键证明. 6.(1)①15°;②;(2) 【分析】(1)①根据等腰直角三角形的性质,连接,得,,所对的直角边是斜边的一半,可得,所以可得,,,和是等腰三角形,由外角性质计算可得; ②构造“一线三垂直”模型,证 解析:(1)①15°;②;(2) 【分析】(1)①根据等腰直角三角形的性质,连接,得,,所对的直角边是斜边的一半,可得,所以可得,,,和是等腰三角形,由外角性质计算可得; ②构造“一线三垂直”模型,证明三角形,利用面积比等于等高的三角形的底边的比,结合已知条件即可解得. (2)构造等边,通过证明,等边代换,得出等腰三角形,代入角度计算即得. 【详解】(1)①连接AE,在,因为,, ,, ,, , , , ,, , , , 故答案为:. ②过C作交DF延长线于G,连接AE AD垂直平分BE, , , , , 故答案为:; (2)以AB向下构造等边,连接DK, 延长AD,BK交于点T, ,, , , ,, 等边中,,, ,, 在和中, , 等边三角形三线合一可知,BD是边AK的垂直平分线, , , , , 故答案为:. 【点睛】考查了等腰直角三角形的性质,外角的性质,等腰三角形的判定和性质,构造等边三角形的方法证明全等,全等三角形的性质应用很关键,熟记几何图形的性质和判定是解决图形问题的重要方法依据. 7.(1)△AOB为等腰直角三角形;理由见解析 (2)BN=3 (3)PB的长为定值; 【分析】(1)根据题意求出a、b的值,即可得出A与B坐标,根据OA=OB,即可确定△AOB的形状; (2) 解析:(1)△AOB为等腰直角三角形;理由见解析 (2)BN=3 (3)PB的长为定值; 【分析】(1)根据题意求出a、b的值,即可得出A与B坐标,根据OA=OB,即可确定△AOB的形状; (2)由OA=OB,利用AAS得到△AMO≌△ONB,用对应线段相等求长度; (3)如图,作EK⊥y轴于K点,利用AAS得到△AOB≌△BKE,利用全等三角形对应边相等得到OA=BK,EK=OB,再利用AAS得到△PBF≌△PKE,寻找相等线段,并进行转化,求PB的长. (1) 解:结论:△OAB是等腰直角三角形;理由如下: ∵+b2-10b+25=0,即, ∴,解得:, ∴A(−5,0),B(0,5), ∴OA=OB=5, ∴△AOB是等腰直角三角形. (2) 解:∵AM⊥OQ,BN⊥OQ, ∴, , ∴, ∴, ∵在△AMO与△ONB中, ∴△AMO≌△ONB(AAS), ∴AM=ON=4,BN=OM, ∵MN=7, ∴OM=3, ∴BN=OM=3. (3) 解:结论:PB的长为定值.理由如下, 作EK⊥y轴于K点,如图所示: ∵△ABE为等腰直角三角形, ∴AB=BE,∠ABE=90°, ∴∠EBK+∠ABO=90°, ∵∠EBK+∠BEK=90°, ∴∠ABO=∠BEK, ∵在△AOB和△BKE中, ∴△AOB≌△BKE(AAS), ∴OA=BK,EK=OB, ∵△OBF为等腰直角三角形, ∴OB=BF, ∴EK=BF, ∵在△EKP和△FBP中, ∴△PBF≌△PKE(AAS), ∴PK=PB, ∴PB=BK=OA=. 【点睛】本题属于三角形综合题,考查非负数的性质,全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键. 8.(1) (2)整式的值不发生变化.其值为 (3) 【分析】(1)过点作于点,可以证明,由,,再由条件就可以求出的坐标; (2)过点作于点,可以证明,则有为定值,从而可以得出结论的值不变为; 解析:(1) (2)整式的值不发生变化.其值为 (3) 【分析】(1)过点作于点,可以证明,由,,再由条件就可以求出的坐标; (2)过点作于点,可以证明,则有为定值,从而可以得出结论的值不变为; (3)在上截取,连接,证明,由全等三角形的性质得出.由等腰三角形的性质可得出结论. (1) 解:如图1,过点作于点, , 等腰直角三角形, ,, . , ,. ,, ,, , ; (2) 解:整式的值不会变化. 理由如下: 如图2,过点作于点, , 等腰直角三角形, ,, , , , , , , , 当点沿轴负半轴向下运动时, , 整式的值不变,为; (3) . 证明:如图3,在上截取,连接, 是等边三角形, ,, 为等腰直角三角形, ,, , , , ,, , , . , ,, , , , , , , 即. 【点睛】本题是三角形综合题,考查了等腰直角三角形的性质,等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,正确的做出辅助线并证明三角形全等是解决问题的关键. 9.(1)30°;(2)见解析;(3)是定值,理由见解析 【分析】(1)根据等边三角形的性质可以直接得出结论; (2)根据等边三角形的性质就可以得出,,,由等式的性质就可以,根据就可以得出; (3 解析:(1)30°;(2)见解析;(3)是定值,理由见解析 【分析】(1)根据等边三角形的性质可以直接得出结论; (2)根据等边三角形的性质就可以得出,,,由等式的性质就可以,根据就可以得出; (3)分情况讨论:当点在线段上时,如图1,由(2)可知,就可以求出结论;当点在线段的延长线上时,如图2,可以得出而有而得出结论;当点在线段的延长线上时,如图3,通过得出同样可以得出结论. 【详解】解:(1)是等边三角形, . 线段为边上的中线, , . 故答案为:30°; (2)与都是等边三角形, ,,, , . 在和中, , ; (3)是定值,, 理由如下: ①当点在线段上时,如图1, 由(2)可知,则, 又, , 是等边三角形,线段为边上的中线, 平分,即, . ②当点在线段的延长线上时,如图2, 与都是等边三角形, ,,, , , 在和中, , , , 同理可得:, . ③当点在线段的延长线上时,如图3, 与都是等边三角形, ,,, , , 在和中, , , , 同理可得:, , ,, . 综上,当动点在直线上时,是定值,. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用,直角三角形的性质的运用,等式的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,解答时证明三角形全等是关键.- 配套讲稿:
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- 001 年级 上学 压轴 强化 数学 综合 试卷 解析
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