吉林省辽源市2022-2023学年九年级数学第一学期期末预测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知二次函数y＝x2﹣2x+m（m为常数）的图象与x轴的一个点为（3，0），则关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根是（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝3，x2＝﹣5
2．如图，AB是半圆O的直径，且AB＝4cm，动点P从点O出发，沿OA→→BO的路径以每秒1cm的速度运动一周．设运动时间为t，s＝OP2，则下列图象能大致刻画s与t的关系的是（　　）

A． B．
C． D．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，直线l和双曲线y=(k>0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积为S1、△BOD的面积为S2、△POE的面积为S3，则( )

A．S1＜S2＜S3 B．S1＞S2＞S3 C．S1＝S2＞S3 D．S1＝S2＜S3
5．如图，平行四边形的顶点，在轴上，顶点在上，顶点在上，则平行四边形的面积是（ ）

A． B． C． D．
6．二次函数y=(x+2)2-3的顶点坐标是（　　）
A．(﹣2，3) B．(2，3) C．(﹣2，﹣3) D．(2，﹣3)
7．样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为（ ）
A．65 B．65 C．2 D．
8．已知反比例函数的图象经过点（2，－2），则k的值为
A．4 B． C．－4 D．－2
9．如图，在直线上有相距的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为的圆，过点作直线.将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在______秒时相切.

A．3 B．3.5 C．3或4 D．3或3.5
10．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．一元二次方程x2=3x的解是：________．
12．如图，从外一点引的两条切线、，切点分别是、，若，是弧上的一个动点（点与、两点不重合），过点作的切线，分别交、于点、，则的周长是________．

13．写出一个图象的顶点在原点，开口向下的二次函数的表达式_____．
14．一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是白球的概率为_______．
15．一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是______．

16．如图，在平面直角坐标系中，已知函数和，点为轴正半轴上一点，为轴上一点，过作轴的垂线分别交，的图象于，两点，连接，，则的面积为_________ ．

17．二次函数(其中m>0),下列命题：①该图象过点(6，0)；②该二次函数顶点在第三象限；③当x>3时，y随x的增大而增大；④若当x<n时，都有y随x的增大而减小，则.正确的序号是____________.
18．如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：
第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC（余下部分不再使用）；
第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；
第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针旋转180º，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180º，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片（裁剪和拼图过程均无缝且不重叠）则拼成的这个四边形纸片的周长的最大值为___cm．

三、解答题(共66分)
19．（10分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“香”、“校”、“园”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为多少？
（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“书香”的概率．
20．（6分）在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小明就本班同学“我最喜爱的体育项目”进行了一次调查统计，下面是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题：
（1）该班共有　　　　 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角度数为　　　　 ；
（4）学校将举办体育节，该班将推选5位同学参加乒乓球活动，有3位男同学(A，B，C)和2位女同学(D，E)，现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．

21．（6分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查将他们的得分按优秀、良好、合格、不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．请根据图表信息，解答下列问题:
本次调查随机抽取了____ 名学生:表中 ；
补全条形统计图:

若全校有名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀"和“良好”等级的学生共有多少人
22．（8分）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，毎个月可买出180件：如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，毎件商品的售价为多少元时，每个月的销售利润将达到1920元？
23．（8分）如图，已知点A，B的坐标分别为（4，0），（3，2）．

（1）画出△AOB关于原点O对称的图形△COD；
（2）将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°得到△EOF，画出△EOF；
（3）点D的坐标是　 　，点F的坐标是　 　，此图中线段BF和DF的关系是　 　．
24．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（2，1），B（-1，）两点．

（1）求m、k、b的值；
（2）连接OA、OB，计算三角形OAB的面积；
（3）结合图象直接写出不等式的解集．
25．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E,连接OE

（1）求证：△DBE是等腰三角形
（2）求证：△COE∽△CAB
26．（10分）用合适的方法解方程：
（1）；
（2）．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个点为（﹣1，0），然后利用抛物线与x轴的交点问题求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
而抛物线与x轴的一个点为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个点为（﹣1，0），
∴关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根是x1＝﹣1，x2＝1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
2、C
【解析】在半径AO上运动时，s=OP1=t1；在弧BA上运动时，s=OP1=4；在BO上运动时，s=OP1=（4π+4-t）1，s也是t是二次函数；即可得出答案．
【详解】解：利用图象可得出：当点P在半径AO上运动时，s=OP1=t1；
在弧AB上运动时，s=OP1=4；
在OB上运动时，s=OP1=（1π+4-t）1．
结合图像可知C选项正确
故选：C．
【点睛】
此题考查了动点问题的函数图象，能够结合图形正确得出s与时间t之间的函数关系是解决问题的关键．
3、B
【分析】中心对称图形绕某一点旋转180°后的图形与原来的图形重合，轴对称图形被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合，据此逐一判断出既是轴对称图形又是中心对称图形的是哪个即可.
【详解】A是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；
B既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项正确；
C不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；
D不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；
故选B
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，掌握其定义即可快速判断出来.
4、D
【分析】根据双曲线的解析式可得所以在双曲线上的点和原点形成的三角形面积相等，因此可得S1＝S2，设OP与双曲线的交点为P1，过P1作x轴的垂线，垂足为M，则可得△OP1M的面积等于S1和S2 ，因此可比较的他们的面积大小.
【详解】根据双曲线的解析式可得
所以可得S1＝S2=
设OP与双曲线的交点为P1，过P1作x轴的垂线，垂足为M

因此
而图象可得
所以S1＝S2＜S3
故选D
【点睛】
本题主要考查双曲线的意义，关键在于，它代表的就是双曲线下方的矩形的面积.
5、D
【分析】先过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，再根据反比例函数系数k的几何意义，求得△ABE的面积=△COD的面积相等=|k2|，△AOE的面积=△CBD的面积相等=|k1|，最后计算平行四边形的面积．
【详解】解：过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，
根据∠AEB=∠CDO=90°，∠ABE=∠COD，AB=CO可得：△ABE≌△COD（AAS），
∴S△ABE与S△COD相等，
又∵点C在的图象上，
∴S△ABE=S△COD =|k2|，
同理可得：S△AOE =S△CBD =|k1|，
∴平行四边形OABC的面积=2（|k2|+|k1|）=|k2|+|k1|=k2-k1，
故选D．

【点睛】
本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
6、C
【分析】根据二次函数的性质直接求解．
【详解】解：二次函数y=（x+2）2-3的顶点坐标是（-2，-3）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；抛物线的顶点式为y=a（x-）2+，对称轴为直线x=-，顶点坐标为（-，）；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．
7、C
【分析】由样本平均值的计算公式列出关于a的方程，解出a，再利用样本方差的计算公式求解即可．
【详解】由题意知
（a+0+1+2+3）÷5=1，解得a=-1，
∴样本方差为
故选：C．
【点睛】
本题考查样本的平均数、方差求法，属基础题，熟记样本的平均数、方差公式是解答本题的关键
8、C
【解析】∵反比例函数的图象经过点（2，－2），
∴．故选C．
9、C
【分析】根据与直线AB的相对位置分类讨论：当在直线AB左侧并与直线AB相切时，根据题意，先计算运动的路程，从而求出运动时间；当在直线AB右侧并与直线AB相切时，原理同上.
【详解】解：当在直线AB左侧并与直线AB相切时，如图所示
∵的半径为1cm，AO=7cm
∴运动的路程=AO－=6cm
∵以的速度向右移动
∴此时的运动时间为：÷2=3s；
当在直线AB右侧并与直线AB相切时，如图所示
∵的半径为1cm，AO=7cm
∴运动的路程=AO＋=8cm
∵以的速度向右移动
∴此时的运动时间为：÷2=4s；
综上所述：与直线在3或4秒时相切
故选：C.
【点睛】
此题考查的是直线与圆的位置关系：相切和动圆问题，掌握相切的定义和行程问题公式：时间=路程÷速度是解决此题的关键.
10、A
【分析】设该产品的质量档次是x档，则每天的产量为[95﹣5（x﹣1）]件，每件的利润是[6+2（x﹣1）]元，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于等于10的值即可得出结论．
【详解】设该产品的质量档次是x档，则每天的产量为[95﹣5（x﹣1）]件，每件的利润是[6+2（x﹣1）]元，
根据题意得：[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]＝1120，
整理得：x2﹣18x+72＝0，
解得：x1＝6，x2＝12（舍去）．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、x1=0，x2=1
【分析】先移项，然后利用因式分解法求解．
【详解】x2=1x
x2-1x=0，
x(x-1)=0，
x=0或x-1=0，
∴x1=0，x2=1．
故答案为x1=0，x2=1
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解
12、
【解析】由切线长定理得CD=AD，CE=BE，PA=PB,表示出△PED的周长即可解题.
【详解】解：由切线长定理得CD=AD，CE=BE，PA=PB；
所以△PED的周长=PD+DC+CE+PE=PD+AD+BE+PE=PA+PB=2PA=16cm．
【点睛】
本题考查了圆的切线,属于简单题,熟悉圆的切线长定理是解题关键.
13、y=﹣2x2(答案不唯一)
【分析】由题意知，图象过原点，开口向下则二次项系数为负数，由此可写出满足条件的二次函数的表达式．
【详解】解：由题意可得：y=﹣2x2(答案不唯一)．
故答案为：y=﹣2x2(答案不唯一)．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
14、
【解析】试题分析：列表得：

黑1

黑2

白1

白2

黑1

黑1黑1

黑1黑2

黑1白1

黑1白2

黑2

黑2黑1

黑2黑2

黑2白1

黑2白2

白1

白1黑1

白1黑2

白1白1

白1白2

白2

白2黑1

白2黑2

白2白1

白2白2

共有16种等可能结果总数，其中两次摸出是白球有4种.
∴P（两次摸出是白球）=.
考点：概率.
15、
【分析】先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【详解】由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，
∴黑色方砖在整个地板中所占的比值，
∴小球最终停留在黑色区域的概率是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比．
16、1
【分析】根据题意设点，则，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】由题意得，设点，则
∴
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质、三角形面积公式是解题的关键．
17、①④
【分析】先将函数解析式化成交点时后，可得对称轴表达式，及与x轴交点坐标，由此可以判断增减性.
【详解】解：，
对称轴为，
①，故该函数图象经过，故正确；
②，，
该函数图象顶点不可能在第三象限，故错误；
③，则当时，y随着x的增大而增大，故此项错误；
④当时，即，y随着x的增大而减小，故此项正确.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.
18、
【分析】首先确定剪拼之后的四边形是个平行四边形，其周长大小取决于MN的大小．然后在矩形中探究MN的不同位置关系，得到其长度的最大值与最大值，从而问题解决．
【详解】解：画出第三步剪拼之后的四边形M1N1N2M2的示意图，如答图1所示．

图中，N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC，
M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位线定理），
又∵M1M2∥N1N2，
∴四边形M1N1N2M2是一个平行四边形，
其周长为2N1N2+2M1N1=2BC+2MN．
∵BC=6为定值，
∴四边形的周长取决于MN的大小．
如答图2所示，是剪拼之前的完整示意图，

过G、H点作BC边的平行线，分别交AB、CD于P点、Q点，则四边形PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半，
∵M是线段PQ上的任意一点，N是线段BC上的任意一点，
根据垂线段最短，得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离，即MN最小值为4；
而MN的最大值等于矩形对角线的长度，即
，
四边形M1N1N2M2的周长=2BC+2MN=12+2MN，
∴最大值为12+2×=12+．
故答案为：12+．
【点睛】
此题通过图形的剪拼，考查了动手操作能力和空间想象能力，确定剪拼之后的图形，并且探究MN的不同位置关系得出四边形周长的最值是解题关键．

三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）
【分析】（1）写有“书”的小球只有1个，所以球上的汉字刚好是“书”的概率为；
（2）画出树状图，然后找出取出两个球的汉字能组成“书香”的个数，用组成“书香”的个数比总数即为所求的概率.
【详解】（1）写有“书”的小球只有1个，所以从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为；
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中取出的两个球上的汉字能组成“书香”的结果数为2，所以P（取出的两个球上的汉字能组成“书香”）
【点睛】
本题主要考查用树状图或列表法求随机事件的概率，画出树状图是解题的关键，再用所求情况数与总数之比求概率即可.
20、（1）50；（2）答案见解析；（3）115.2°；（4）．
【分析】（1）根据统计图数据，直接求解，即可；
（2）先求出足球项目和其他项目的人数，再补全条形统计图，即可；
（3）由“乒乓球”部分所对应的圆心角度数=360°×“乒乓球”部分所占的百分比，即可求解；
（4）先画出树状图，再根据概率公式，即可得到答案．
【详解】（1）由题意得：该班的总人数=15÷30%=50(名)，
故答案为：50；
（2）足球项目的人数=50×18%=9(名)，其它项目的人数=50﹣15﹣9﹣16=10(名)，
补全条形统计图如图所示：

（3）“乒乓球”部分所对应的圆心角度数=360°115.2°．
故答案为：115.2°；
（4）画树状图如图：

由图可知，共有20种等可能的结果，两名同学恰为一男一女的有12种情况，
∴P(恰好选出一男一女)．
【点睛】
本题主要考查扇形统计图和条形统计图以及概率，掌握扇形统计图和条形统计图的特征以及画树状图，是解题的关键．
21、（1）50，20，0.12；（2）详见解析；（3）1．
【分析】（1）根据总数×频率=频数，即可得到答案；
（2）根据统计表的数据，即可画出条形统计图；
（3）根据全校总人数×达到“优秀"和“良好”等级的学生的百分比，即可得到答案．
【详解】本次调查随机抽取了名学生，．
故答案为：；
补全条形统计图如图所示：

（人），
答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀"和“良好”等级的学生共有1多少人．
【点睛】
本题主要考查频数统计表和条形统计图，掌握统计表和条形统计图的特征，是解题的关键．
22、毎件商品的售价为32元
【分析】设毎件商品的上涨x元，根据一件的利润×总的件数=总利润，列出方程，再求解，注意把不合题意的解舍去．
【详解】解：设毎件商品的上涨x元，根据题意得：
（30﹣20+x）（180﹣10x）=1920，
解得：x1=2，x2=6（不合题意舍去），
则毎件商品的售价为：30+2=32（元），
答：毎件商品的售价为32元时，每个月的销售利润将达到1920元．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解；注意本题先设每件商品的上涨的钱数更容易做．
23、（1）见解析；（2）见解析；（3）D（﹣3，﹣2），F（﹣2，3），垂直且相等
【分析】（1）分别延长BO，AO到占D,C，使DO=BO，CO=AO，再顺次连接成△COD即可；
（2）将A，B绕点O按逆时针方向旋转90°得到对应点E，F，再顺次连接即可得出△EOF；
（3）利用图象即可得出点的坐标，以及线段BF和DF的关系．
【详解】（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）结合图象即可得出：D（﹣3，﹣2），F（﹣2，3），
线段BF和DF的关系是：垂直且相等．

【点睛】
此题考查了图形的旋转变换以及图形旋转的性质，难度不大，注意掌握解答此类题目的关键步骤．
24、（1）m=1，k=1，b=-1；（1）；（3）－1＜x＜0或x＞1．
【解析】试题分析：（1）先由反比例函数上的点A（1，1）求出m，再由点B（﹣1，n）求出n，则由直线经过点A、B，得二元一次方程组，求得m、k、b；
（1）△AOB的面积=△BOC的面积+△AOC的面积；
（3）由图象直接写出不等式的解集．
试题解析：（1）由题意得：，m=1，当x=-1时，，∴B（-1，-1），∴，解得，综上可得，m=1，k=1，b=-1；
（1）如图，设一次函数与y轴交于C点，当x=0时，y=－1，∴C（0，-1），∴；

（3）由图可知，－1＜x＜0或x＞1．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
25、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接OD，由DE是⊙O的切线，得出∠ODE＝90°，∠ADO＋∠BDE＝90°，由∠ACB＝90°，得出∠CAB＋∠CBA＝90°，证出∠CAB＝∠ADO，得出∠BDE＝∠CBA，即可得出结论；
（2）证出CB是⊙O的切线，得出DE＝EC，推出EC＝EB，再由OA＝OC，得出OE∥AB，即可得出结论．
【详解】（1）连接OD、OE，如图所示：
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ADO＋∠BDE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB＋∠CBA＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠CAB＝∠ADO，
∴∠BDE＝∠CBA，
∴EB＝ED，
∴△DBE是等腰三角形；
（2）∵∠ACB＝90°，AC是⊙O的直径，
∴CB是⊙O的切线，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE＝EC，
∵EB＝ED，
∴EC＝EB，
∵OA＝OC，
∴OE∥AB，
∴△COE∽△CAB．

【点睛】
本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
26、（1）；（2），．
【分析】（1）把方程整理后左边进行因式分解，求方程的解即可；
（2）方程整理配方后，开方即可求出解；
【详解】(1) ，
移项整理得：，
提公因式得：，
∴或，
解得：；
(2) ，
方程移项得：，
二次项系数化成1得：，
配方得：，
即，
开方得：，
解得：．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程－配方法、因式分解法，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键．