人教七年级下册数学期末解答题压轴题卷及答案.doc
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人教七年级下册数学期末解答题压轴题卷及答案 一、解答题 1.如图1,用两个边长相同的小正方形拼成一个大的正方形. (1)如图2,若正方形纸片的面积为1,则此正方形的对角线AC的长为 dm. (2)如图3,若正方形的面积为16,李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为12的长方形纸片,使它的长和宽之比为3∶2,他能裁出吗?请说明理由. 2.已知足球场的形状是一个长方形,而国际标准球场的长度和宽度(单位:米)的取值范围分别是,.若某球场的宽与长的比是1:1.5,面积为7350平方米,请判断该球场是否符合国际标准球场的长宽标准,并说明理由. 3.如图,阴影部分(正方形)的四个顶点在5×5的网格格点上. (1)请求出图中阴影部分(正方形)的面积和边长 (2)若边长的整数部分为,小数部分为,求的值. 4.某市在招商引资期间,把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商,该投资商为减少固定资产投资,将原来的400m2的正方形场地改建成300m2的长方形场地,且其长、宽的比为5:3. (1)求原来正方形场地的周长; (2)如果把原来的正方形场地的铁栅栏围墙全部利用,围成新场地的长方形围墙,那么这些铁栅栏是否够用?试利用所学知识说明理由. 5.有一块正方形钢板,面积为16平方米. (1)求正方形钢板的边长. (2)李师傅准备用它裁剪出一块面积为12平方米的长方形工件,且要求长宽之比为,问李师傅能办到吗?若能,求出长方形的长和宽;若不能,请说明理由.(参考数据:,). 二、解答题 6.如图1,已知直线m∥n,AB 是一个平面镜,光线从直线m上的点O射出,在平面镜AB上经点P反射后,到达直线n上的点Q.我们称OP为入射光线,PQ为反射光线,镜面反射有如下性质:入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角,即∠OPA=∠QPB. (1)如图1,若∠OPQ=82°,求∠OPA的度数; (2)如图2,若∠AOP=43°,∠BQP=49°,求∠OPA的度数; (3)如图3,再放置3块平面镜,其中两块平面镜在直线m和n上,另一块在两直线之间,四块平面镜构成四边形ABCD,光线从点O以适当的角度射出后,其传播路径为 O→P→Q→R→O→P→…试判断∠OPQ和∠ORQ的数量关系,并说明理由. 7.如图,直线AB∥直线CD,线段EF∥CD,连接BF、CF. (1)求证:∠ABF+∠DCF=∠BFC; (2)连接BE、CE、BC,若BE平分∠ABC,BE⊥CE,求证:CE平分∠BCD; (3)在(2)的条件下,G为EF上一点,连接BG,若∠BFC=∠BCF,∠FBG=2∠ECF,∠CBG=70°,求∠FBE的度数. 8.如图1,点在直线上,点在直线上,点在,之间,且满足. (1)证明:; (2)如图2,若,,点在线段上,连接,且,试判断与的数量关系,并说明理由; (3)如图3,若(为大于等于的整数),点在线段上,连接,若,则______. 9.如图,,点A、B分别在直线MN、GH上,点O在直线MN、GH之间,若,. (1)= ; (2)如图2,点C、D是、角平分线上的两点,且,求 的度数; (3)如图3,点F是平面上的一点,连结FA、FB,E是射线FA上的一点,若 ,,且,求n的值. 10.点A,C,E在直线l上,点B不在直线l上,把线段AB沿直线l向右平移得到线段CD. (1)如图1,若点E在线段AC上,求证:B+D=BED; (2)若点E不在线段AC上,试猜想并证明B,D,BED之间的等量关系; (3)在(1)的条件下,如图2所示,过点B作PB//ED,在直线BP,ED之间有点M,使得ABE=EBM,CDE=EDM,同时点F使得ABE=nEBF,CDE=nEDF,其中n≥1,设BMD=m,利用(1)中的结论求BFD的度数(用含m,n的代数式表示). 三、解答题 11.如图,以直角三角形的直角顶点为原点,以、所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系,点,满足. (1)点的坐标为______;点的坐标为______. (2)如图1,已知坐标轴上有两动点、同时出发,点从点出发沿轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动,点从点出发以2个单位长度每秒的速度沿轴正方向移动,点到达点整个运动随之结束.的中点的坐标是,设运动时间为.问:是否存在这样的,使?若存在,请求出的值:若不存在,请说明理由. (3)如图2,过作,作交于点,点是线段上一动点,连交于点,当点在线段上运动的过程中,的值是否会发生变化?若不变,请求出它的值:若变化,请说明理由. 12.如图1,由线段组成的图形像英文字母,称为“形”. (1)如图1,形中,若,则______; (2)如图2,连接形中两点,若,试探求与的数量关系,并说明理由; (3)如图3,在(2)的条件下,且的延长线与的延长线有交点,当点在线段的延长线上从左向右移动的过程中,直接写出与所有可能的数量关系. 13.已知AB∥CD,点M在直线AB上,点N、Q在直线CD上,点P在直线AB、CD之间,∠AMP=∠PQN=α,PQ平分∠MPN. (1)如图①,求∠MPQ的度数(用含α的式子表示); (2)如图②,过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E,过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F.请你判断EF与PQ的位置关系,并说明理由; (3)如图③,在(2)的条件下,连接EN,若NE平分∠PNQ,请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系,并说明理由. 14.问题情境 (1)如图1,已知,,,求的度数.佩佩同学的思路:过点作,进而,由平行线的性质来求,求得________. 问题迁移 (2)图2.图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形,三角板的两直角边与直尺的两边重合,,,与相交于点,有一动点在边上运动,连接,,记,. ①如图2,当点在,两点之间运动时,请直接写出与,之间的数量关系; ②如图3,当点在,两点之间运动时,与,之间有何数量关系?请判断并说明理由;拓展延伸 (3)当点在,两点之间运动时,若,的角平分线,相交于点,请直接写出与,之间的数量关系. 15.如图1,,在、内有一条折线. (1)求证:; (2)在图2中,画的平分线与的平分线,两条角平分线交于点,请你补全图形,试探索与之间的关系,并证明你的结论; (3)在(2)的条件下,已知和均为钝角,点在直线、之间,且满足,,(其中为常数且),直接写出与的数量关系. 四、解答题 16.在△ABC中,射线AG平分∠BAC交BC于点G,点D在BC边上运动(不与点G重合),过点D作DE∥AC交AB于点E. (1)如图1,点D在线段CG上运动时,DF平分∠EDB ①若∠BAC=100°,∠C=30°,则∠AFD= ;若∠B=40°,则∠AFD= ; ②试探究∠AFD与∠B之间的数量关系?请说明理由; (2)点D在线段BG上运动时,∠BDE的角平分线所在直线与射线AG交于点F试探究∠AFD与∠B之间的数量关系,并说明理由 17.模型与应用. (模型) (1)如图①,已知AB∥CD,求证∠1+∠MEN+∠2=360°. (应用) (2)如图②,已知AB∥CD,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为 . 如图③,已知AB∥CD,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n的度数为 . (3)如图④,已知AB∥CD,∠AM1M2的角平分线M1 O与∠CMnMn-1的角平分线MnO交于点O,若∠M1OMn=m°. 在(2)的基础上,求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n-1的度数.(用含m、n的代数式表示) 18.如图,在中,与的角平分线交于点. (1)若,则 ; (2)若,则 ; (3)若,与的角平分线交于点,的平分线与的平分线交于点,,的平分线与的平分线交于点,则 . 19.如图1,已知线段AB、CD相交于点O,连接AC、BD,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2,∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题: (1)仔细观察,在图2中有 个以线段AC为边的“8字形”; (2)在图2中,若∠B=96°,∠C=100°,求∠P的度数; (3)在图2中,若设∠C=α,∠B=β,∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB,试问∠P与∠C、∠B之间存在着怎样的数量关系(用α、β表示∠P),并说明理由; (4)如图3,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 . 20.已知在中,,点在上,边在上,在中,边在直线上,; (1)如图1,求的度数; (2)如图2,将沿射线的方向平移,当点在上时,求度数; (3)将在直线上平移,当以为顶点的三角形是直角三角形时,直接写出度数. 【参考答案】 一、解答题 1.(1);(2)不能,理由见解析 【分析】 (1)由正方形面积,可求得正方形边长,然后利用勾股定理即可求出对角线长; (2)利用方程思想求出长方形的长边,然后与正方形边长比较大小即可. 【详解】 解: 解析:(1);(2)不能,理由见解析 【分析】 (1)由正方形面积,可求得正方形边长,然后利用勾股定理即可求出对角线长; (2)利用方程思想求出长方形的长边,然后与正方形边长比较大小即可. 【详解】 解:(1)∵正方形纸片的面积为, ∴正方形的边长, ∴. 故答案为:. (2)不能; 根据题意设长方形的长和宽分别为和. ∴长方形面积为:, 解得:, ∴长方形的长边为. ∵, ∴他不能裁出. 【点睛】 本题考查了算术平方根在长方形和正方形面积中的应用,灵活的进行算术平方根计算及无理数大小比较是解题的关键. 2.符合,理由见解析 【分析】 根据宽与长的比是1:1.5,面积为7350平方米,列方程求出长和宽,比较得出答案. 【详解】 解:符合,理由如下: 设宽为b米,则长为1.5b米,由题意得, 1.5b×b 解析:符合,理由见解析 【分析】 根据宽与长的比是1:1.5,面积为7350平方米,列方程求出长和宽,比较得出答案. 【详解】 解:符合,理由如下: 设宽为b米,则长为1.5b米,由题意得, 1.5b×b=7350, ∴b=70,或b=-70(舍去), 即宽为70米,长为1.5×70=105米, ∵100≤105≤110,64≤70≤75, ∴符合国际标准球场的长宽标准. 【点睛】 本题考查算术平方根的意义,列出方程求出长和宽是得出正确答案的前提. 3.(1)S=13,边长为 ;(2)6 【详解】 分析:(1)、利用正方形的面积减去四个直角三角形的面积得出阴影部分的面积,从而得出正方形的边长;(2)、根据无理数的估算得出a和b的值,然后得出答案. 解析:(1)S=13,边长为 ;(2)6 【详解】 分析:(1)、利用正方形的面积减去四个直角三角形的面积得出阴影部分的面积,从而得出正方形的边长;(2)、根据无理数的估算得出a和b的值,然后得出答案. 详解:解:(1)S=25-12=13, 边长为 , (2)a=3,b= -3 原式=9+-3-=6. 点睛:本题主要考查的就是无理数的估算,属于中等难度的题型.解决这个问题的关键就是根据正方形的面积得出边长. 4.(1)原来正方形场地的周长为80m;(2)这些铁栅栏够用. 【分析】 (1)正方形边长=面积的算术平方根,周长=边长×4,由此解答即可; (2)长、宽的比为5:3,设这个长方形场地宽为3am,则长为 解析:(1)原来正方形场地的周长为80m;(2)这些铁栅栏够用. 【分析】 (1)正方形边长=面积的算术平方根,周长=边长×4,由此解答即可; (2)长、宽的比为5:3,设这个长方形场地宽为3am,则长为5am,计算出长方形的长与宽可知长方形周长,同理可得正方形的周长,比较大小可知是否够用. 【详解】 解:(1)=20(m),4×20=80(m), 答:原来正方形场地的周长为80m; (2)设这个长方形场地宽为3am,则长为5am. 由题意有:3a×5a=300, 解得:a=±, ∵3a表示长度, ∴a>0, ∴a=, ∴这个长方形场地的周长为 2(3a+5a)=16a=16(m), ∵80=16×5=16×>16, ∴这些铁栅栏够用. 【点睛】 本题考查了算术平方根的实际应用,解答本题的关键是明确题意,求出长方形和正方形的周长. 5.(1)4米 (2)见解析 【分析】 (1)根据正方形边长与面积间的关系求解即可; (2)设长方形的长宽分别为米、米,由其面积可得x值,比较长方形的长和宽与正方形边长的大小可得结论. 【详解】 解 解析:(1)4米 (2)见解析 【分析】 (1)根据正方形边长与面积间的关系求解即可; (2)设长方形的长宽分别为米、米,由其面积可得x值,比较长方形的长和宽与正方形边长的大小可得结论. 【详解】 解:(1)正方形的面积是16平方米, 正方形钢板的边长是米; (2)设长方形的长宽分别为米、米, 则, , , ,, 长方形长是米,而正方形的边长为4米,所以李师傅不能办到. 【点睛】 本题考查了算术平方根的实际应用,灵活的利用算术平方根表示正方形和长方形的边长是解题的关键. 二、解答题 6.(1)49°,(2)44°,(3)∠OPQ=∠ORQ 【分析】 (1)根据∠OPA=∠QPB.可求出∠OPA的度数; (2)由∠AOP=43°,∠BQP=49°可求出∠OPQ的度数,转化为(1)来解 解析:(1)49°,(2)44°,(3)∠OPQ=∠ORQ 【分析】 (1)根据∠OPA=∠QPB.可求出∠OPA的度数; (2)由∠AOP=43°,∠BQP=49°可求出∠OPQ的度数,转化为(1)来解决问题; (3)由(2)推理可知:∠OPQ=∠AOP+∠BQP,∠ORQ=∠DOR+∠RQC,从而∠OPQ=∠ORQ. 【详解】 解:(1)∵∠OPA=∠QPB,∠OPQ=82°, ∴∠OPA=(180°-∠OPQ)×=(180°-82°)×=49°, (2)作PC∥m, ∵m∥n, ∴m∥PC∥n, ∴∠AOP=∠OPC=43°, ∠BQP=∠QPC=49°, ∴∠OPQ=∠OPC+∠QPC=43°+49°=92°, ∴∠OPA=(180°-∠OPQ)×=(180°-92°)×44°, (3)∠OPQ=∠ORQ. 理由如下:由(2)可知:∠OPQ=∠AOP+∠BQP,∠ORQ=∠DOR+∠RQC, ∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角, ∴∠AOP=∠DOR,∠BQP=∠RQC, ∴∠OPQ=∠ORQ. 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质和入射角等于反射角的规定,解决本题的关键是注意问题的设置环环相扣、前为后用的设置目的. 7.(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)∠FBE=35°. 【分析】 (1)根据平行线的性质得出∠ABF=∠BFE,∠DCF=∠EFC,进而解答即可; (2)由(1)的结论和垂直的定义解答即可; 解析:(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)∠FBE=35°. 【分析】 (1)根据平行线的性质得出∠ABF=∠BFE,∠DCF=∠EFC,进而解答即可; (2)由(1)的结论和垂直的定义解答即可; (3)由(1)的结论和三角形的角的关系解答即可. 【详解】 证明:(1)∵AB∥CD,EF∥CD, ∴AB∥EF, ∴∠ABF=∠BFE, ∵EF∥CD, ∴∠DCF=∠EFC, ∴∠BFC=∠BFE+∠EFC=∠ABF+∠DCF; (2)∵BE⊥EC, ∴∠BEC=90°, ∴∠EBC+∠BCE=90°, 由(1)可得:∠BFC=∠ABE+∠ECD=90°, ∴∠ABE+∠ECD=∠EBC+∠BCE, ∵BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠EBC, ∴∠ECD=∠BCE, ∴CE平分∠BCD; (3)设∠BCE=β,∠ECF=γ, ∵CE平分∠BCD, ∴∠DCE=∠BCE=β, ∴∠DCF=∠DCE﹣∠ECF=β﹣γ, ∴∠EFC=β﹣γ, ∵∠BFC=∠BCF, ∴∠BFC=∠BCE+∠ECF=γ+β, ∴∠ABF=∠BFE=2γ, ∵∠FBG=2∠ECF, ∴∠FBG=2γ, ∴∠ABE+∠DCE=∠BEC=90°, ∴∠ABE=90°﹣β, ∴∠GBE=∠ABE﹣∠ABF﹣∠FBG=90°﹣β﹣2γ﹣2γ, ∵BE平分∠ABC, ∴∠CBE=∠ABE=90°﹣β, ∴∠CBG=∠CBE+∠GBE, ∴70°=90°﹣β+90°﹣β﹣2γ﹣2γ, 整理得:2γ+β=55°, ∴∠FBE=∠FBG+∠GBE=2γ+90°﹣β﹣2γ﹣2γ=90°﹣(2γ+β)=35°. 【点睛】 本题主要考查平行线的性质,解决本题的关键是根据平行线的性质解答. 8.(1)见解析;(2)见解析;(3)n-1 【分析】 (1)连接AB,根据已知证明∠MAB+∠SBA=180°,即可得证; (2)作CF∥ST,设∠CBT=α,表示出∠CAN,∠ACF,∠BCF,根据 解析:(1)见解析;(2)见解析;(3)n-1 【分析】 (1)连接AB,根据已知证明∠MAB+∠SBA=180°,即可得证; (2)作CF∥ST,设∠CBT=α,表示出∠CAN,∠ACF,∠BCF,根据AD∥BC,得到∠DAC=120°,求出∠CAE即可得到结论; (3)作CF∥ST,设∠CBT=β,得到∠CBT=∠BCF=β,分别表示出∠CAN和∠CAE,即可得到比值. 【详解】 解:(1)如图,连接, , , , , (2), 理由:作,则 如图, 设,则. ,, ,, . 即. (3)作,则 如图,设,则. , , , , , 故答案为. 【点睛】 本题主要考查平行线的性质和判定,解题关键是角度的灵活转换,构建数量关系式. 9.(1)100;(2)75°;(3)n=3. 【分析】 (1)如图:过O作OP//MN,由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°,∠POB+∠OBH=180°,即∠NAO+∠AOB+∠OB 解析:(1)100;(2)75°;(3)n=3. 【分析】 (1)如图:过O作OP//MN,由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°,∠POB+∠OBH=180°,即∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°,即可求出∠AOB; (2)如图:分别延长AC、CD交GH于点E、F,先根据角平分线求得,再根据平行线的性质得到;进一步求得,,然后根据三角形外角的性质解答即可; (3)设BF交MN于K,由∠NAO=116°,得∠MAO=64°,故∠MAE=,同理∠OBH=144°,∠HBF=n∠OBF,得∠FBH=,从而,又∠FKN=∠F+∠FAK,得,即可求n. 【详解】 解:(1)如图:过O作OP//MN, ∵MN//GHl ∴MN//OP//GH ∴∠NAO+∠POA=180°,∠POB+∠OBH=180° ∴∠NAO+∠AOB+∠OBH=360° ∵∠NAO=116°,∠OBH=144° ∴∠AOB=360°-116°-144°=100°; (2)分别延长AC、CD交GH于点E、F, ∵AC平分且, ∴, 又∵MN//GH, ∴; ∵, ∵BD平分, ∴, 又∵ ∴; ∴; (3)设FB交MN于K, ∵,则; ∴ ∵, ∴,, 在△FAK中,, ∴, ∴. 经检验:是原方程的根,且符合题意. 【点睛】 本题主要考查平行线的性质及应用,正确作出辅助线、构造平行线、再利用平行线性质进行求解是解答本题的关键. 10.(1)见解析;(2)当点E在CA的延长线上时,∠BED=∠D-∠B;当点E在AC的延长线上时,∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D;(3) 【分析】 (1)如图1中,过点E作ET∥AB.利用平行 解析:(1)见解析;(2)当点E在CA的延长线上时,∠BED=∠D-∠B;当点E在AC的延长线上时,∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D;(3) 【分析】 (1)如图1中,过点E作ET∥AB.利用平行线的性质解决问题. (2)分两种情形:如图2-1中,当点E在CA的延长线上时,如图2-2中,当点E在AC的延长线上时,构造平行线,利用平行线的性质求解即可. (3)利用(1)中结论,可得∠BMD=∠ABM+∠CDM,∠BFD=∠ABF+∠CDF,由此解决问题即可. 【详解】 解:(1)证明:如图1中,过点E作ET∥AB.由平移可得AB∥CD, ∵AB∥ET,AB∥CD, ∴ET∥CD∥AB, ∴∠B=∠BET,∠TED=∠D, ∴∠BED=∠BET+∠DET=∠B+∠D. (2)如图2-1中,当点E在CA的延长线上时,过点E作ET∥AB. ∵AB∥ET,AB∥CD, ∴ET∥CD∥AB, ∴∠B=∠BET,∠TED=∠D, ∴∠BED=∠DET-∠BET=∠D-∠B. 如图2-2中,当点E在AC的延长线上时,过点E作ET∥AB. ∵AB∥ET,AB∥CD, ∴ET∥CD∥AB, ∴∠B=∠BET,∠TED=∠D, ∴∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D. (3)如图,设∠ABE=∠EBM=x,∠CDE=∠EDM=y, ∵AB∥CD, ∴∠BMD=∠ABM+∠CDM, ∴m=2x+2y, ∴x+y=m, ∵∠BFD=∠ABF+∠CDF,∠ABE=n∠EBF,∠CDE=n∠EDF, ∴∠BFD===. 【点睛】 本题属于几何变换综合题,考查了平行线的性质,角平分线的定义等知识,解题的关键是学会条件常用辅助线,构造平行线解决问题,属于中考常考题型. 三、解答题 11.(1),;(2)1;(3)不变,值为2 【分析】 (1)根据绝对值和算术平方根的非负性,求得a,b的值,再利用中点坐标公式即可得出答案; (2)先得出CP=t,OP=2-t,OQ=2t,AQ=4- 解析:(1),;(2)1;(3)不变,值为2 【分析】 (1)根据绝对值和算术平方根的非负性,求得a,b的值,再利用中点坐标公式即可得出答案; (2)先得出CP=t,OP=2-t,OQ=2t,AQ=4-2t,再根据S△ODP=S△ODQ,列出关于t的方程,求得t的值即可; (3)过H点作AC的平行线,交x轴于P,先判定OG∥AC,再根据角的和差关系以及平行线的性质,得出∠PHO=∠GOF=∠1+∠2,∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4,最后代入进行计算即可. 【详解】 解:(1)∵+|b-2|=0, ∴a-2b=0,b-2=0, 解得a=4,b=2, ∴A(0,4),C(2,0). (2)存在, 理由:如图1中,D(1,2), 由条件可知:P点从C点运动到O点时间为2秒,Q点从O点运动到A点时间为2秒, ∴0<t≤2时,点Q在线段AO上, 即 CP=t,OP=2-t,OQ=2t,AQ=4-2t, ∴S△DOP=•OP•yD=(2-t)×2=2-t,S△DOQ=•OQ•xD=×2t×1=t, ∵S△ODP=S△ODQ, ∴2-t=t, ∴t=1. (3)结论:的值不变,其值为2.理由如下:如图2中, ∵∠2+∠3=90°, 又∵∠1=∠2,∠3=∠FCO, ∴∠GOC+∠ACO=180°, ∴OG∥AC, ∴∠1=∠CAO, ∴∠OEC=∠CAO+∠4=∠1+∠4, 如图,过H点作AC的平行线,交x轴于P,则∠4=∠PHC,PH∥OG, ∴∠PHO=∠GOF=∠1+∠2, ∴∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4, ∴=2. 【点睛】 本题主要考查三角形综合题、非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,学会用转化的思想思考问题. 12.(1)50°;(2)∠A+∠C=30°+α,理由见解析;(3)∠A-∠DCM=30°+α或30°-α 【分析】 (1)过M作MN∥AB,由平行线的性质即可求得∠M的值. (2)延长BA,DC交于E, 解析:(1)50°;(2)∠A+∠C=30°+α,理由见解析;(3)∠A-∠DCM=30°+α或30°-α 【分析】 (1)过M作MN∥AB,由平行线的性质即可求得∠M的值. (2)延长BA,DC交于E,应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题. (3)分两种情形分别求解即可; 【详解】 解:(1)过M作MN∥AB, ∵AB∥CD, ∴AB∥MN∥CD, ∴∠1=∠A,∠2=∠C, ∴∠AMC=∠1+∠2=∠A+∠C=50°; 故答案为:50°; (2)∠A+∠C=30°+α, 延长BA,DC交于E, ∵∠B+∠D=150°, ∴∠E=30°, ∵∠BAM+∠DCM=360°-(∠EAM+∠ECM)=360°-(360°-∠E-∠M)=30°+α; 即∠A+∠C=30°+α; (3)①如下图所示: 延长BA、DC使之相交于点E,延长MC与BA的延长线相交于点F, ∵∠B+∠D=150°,∠AMC=α,∴∠E=30° 由三角形的内外角之间的关系得: ∠1=30°+∠2 ∠2=∠3+α ∴∠1=30°+∠3+α ∴∠1-∠3=30°+α 即:∠A-∠C=30°+α. ②如图所示,210-∠A=(180°-∠DCM)+α,即∠A-∠DCM=30°-α. 综上所述,∠A-∠DCM=30°+α或30°-α. 【点睛】 本题考查了平行线的性质.解答该题时,通过作辅助线准确作出辅助线l∥AB,利用平行线的性质(两直线平行内错角相等)将所求的角∠M与已知角∠A、∠C的数量关系联系起来,从而求得∠M的度数. 13.(1)2α;(2)EF⊥PQ,见解析;(3)∠NEF=∠AMP,见解析 【分析】 1)如图①,过点P作PR∥AB,可得AB∥CD∥PR,进而可得结论; (2)根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF= 解析:(1)2α;(2)EF⊥PQ,见解析;(3)∠NEF=∠AMP,见解析 【分析】 1)如图①,过点P作PR∥AB,可得AB∥CD∥PR,进而可得结论; (2)根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF=180°,进而可得EF与PQ的位置关系; (3)结合(2)和已知条件可得∠QNE=∠QEN,根据三角形内角和定理可得∠QNE=(180°﹣∠NQE)=(180°﹣3α),可得∠NEF=180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE,进而可得结论. 【详解】 解:(1)如图①,过点P作PR∥AB, ∵AB∥CD, ∴AB∥CD∥PR, ∴∠AMP=∠MPR=α,∠PQN=∠RPQ=α, ∴∠MPQ=∠MPR+∠RPQ=2α; (2)如图②,EF⊥PQ,理由如下: ∵PQ平分∠MPN. ∴∠MPQ=∠NPQ=2α, ∵QE∥PN, ∴∠EQP=∠NPQ=2α, ∴∠EPQ=∠EQP=2α, ∵EF平分∠PEQ, ∴∠PEQ=2∠PEF=2∠QEF, ∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ=180°, ∴2∠EPQ+2∠PEF=180°, ∴∠EPQ+∠PEF=90°, ∴∠PFE=180°﹣90°=90°, ∴EF⊥PQ; (3)如图③,∠NEF=∠AMP,理由如下: 由(2)可知:∠EQP=2α,∠EFQ=90°, ∴∠QEF=90°﹣2α, ∵∠PQN=α, ∴∠NQE=∠PQN+∠EQP=3α, ∵NE平分∠PNQ, ∴∠PNE=∠QNE, ∵QE∥PN, ∴∠QEN=∠PNE, ∴∠QNE=∠QEN, ∵∠NQE=3α, ∴∠QNE=(180°﹣∠NQE)=(180°﹣3α), ∴∠NEF=180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE =180°﹣(90°﹣2α)﹣3α﹣(180°﹣3α) =180°﹣90°+2α﹣3α﹣90°+α =α =∠AMP. ∴∠NEF=∠AMP. 【点睛】 本题考查了平行线的性质,角平分线的性质,熟悉相关性质是解题的关键. 14.(1);(2)①,②,理由见解析;(3) 【分析】 (1)过点作,则,由平行线的性质可得的度数; (2)①过点作的平行线,依据平行线的性质可得与,之间的数量关系; ②过作,依据平行线的性质可得,,即 解析:(1);(2)①,②,理由见解析;(3) 【分析】 (1)过点作,则,由平行线的性质可得的度数; (2)①过点作的平行线,依据平行线的性质可得与,之间的数量关系; ②过作,依据平行线的性质可得,,即可得到; (3)过和分别作的平行线,依据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到与,之间的数量关系为. 【详解】 解:(1)如图1,过点作,则, 由平行线的性质可得,, 又∵,, ∴, 故答案为:; (2)①如图2,与,之间的数量关系为; 过点P作PM∥FD,则PM∥FD∥CG, ∵PM∥FD, ∴∠1=∠α, ∵PM∥CG, ∴∠2=∠β, ∴∠1+∠2=∠α+∠β, 即:, ②如图,与,之间的数量关系为;理由: 过作, ∵, ∴, ∴,, ∴; (3)如图, 由①可知,∠N=∠3+∠4, ∵EN平分∠DEP,AN平分∠PAC, ∴∠3=∠α,∠4=∠β, ∴, ∴与,之间的数量关系为. 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质,解决问题的关键是过拐点作平行线,利用平行线的性质得出结论. 15.(1)见解析;(2);见解析;(3) 【分析】 (1)过点作,根据平行线性质可得; (2)由(1)结论可得:,,再根据角平分线性质可得; (3)由(2)结论可得:. 【详解】 (1)证明:如图1,过 解析:(1)见解析;(2);见解析;(3) 【分析】 (1)过点作,根据平行线性质可得; (2)由(1)结论可得:,,再根据角平分线性质可得; (3)由(2)结论可得:. 【详解】 (1)证明:如图1,过点作, ∵, ∴, ∴,, 又∵, ∴; (2)如图2, 由(1)可得:,, ∵的平分线与的平分线相交于点, ∴ , ∴; (3)由(2)可得:,, ∵,, ∴ , ∴; 【点睛】 考核知识点:平行线性质和判定的综合运用.熟练运用平行线性质和判定是关键. 四、解答题 16.(1)①115°;110°;②;理由见解析;(2);理由见解析 【分析】 (1)①若∠BAC=100°,∠C=30°,由三角形内角和定理求出∠B=50°,由平行线的性质得出∠EDB=∠C=30°,由 解析:(1)①115°;110°;②;理由见解析;(2);理由见解析 【分析】 (1)①若∠BAC=100°,∠C=30°,由三角形内角和定理求出∠B=50°,由平行线的性质得出∠EDB=∠C=30°,由角平分线定义得出,,由三角形的外角性质得出∠DGF=100°,再由三角形的外角性质即可得出结果;若∠B=40°,则∠BAC+∠C=180°-40°=140°,由角平分线定义得出,,由三角形的外角性质即可得出结果; ②由①得:∠EDB=∠C,,,由三角形的外角性质得出∠DGF=∠B+∠BAG,再由三角形的外角性质即可得出结论; (2)由(1)得:∠EDB=∠C,,,由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结论. 【详解】 (1)①若∠BAC=100°,∠C=30°, 则∠B=180°-100°-30°=50°, ∵DE∥AC, ∴∠EDB=∠C=30°, ∵AG平分∠BAC,DF平分∠EDB, ∴,, ∴∠DGF=∠B+∠BAG=50°+50°=100°, ∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=100°+15°=115°; 若∠B=40°,则∠BAC+∠C=180°-40°=140°, ∵AG平分∠BAC,DF平分∠EDB, ∴,, ∵∠DGF=∠B+∠BAG, ∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG = 故答案为:115°;110°; ②; 理由如下:由①得:∠EDB=∠C,,, ∵∠DGF=∠B+∠BAG, ∴∠AFD=∠DGF+∠FDG =∠B+∠BAG+∠FDG = ; (2)如图2所示:; 理由如下: 由(1)得:∠EDB=∠C,,, ∵∠AHF=∠B+∠BDH, ∴∠AFD=180°-∠BAG-∠AHF . 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质等知识;熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键. 17.(1)证明见解析;(2)900° ,180°(n-1);(3)(180n-180-2m)° 【详解】 【模型】 (1)证明:过点E作EF∥CD, ∵AB∥CD, ∴EF∥AB, ∴∠1+∠MEF 解析:(1)证明见解析;(2)900° ,180°(n-1);(3)(180n-180-2m)° 【详解】 【模型】 (1)证明:过点E作EF∥CD, ∵AB∥CD, ∴EF∥AB, ∴∠1+∠MEF=180°, 同理∠2+∠NEF=180° ∴∠1+∠2+∠MEN=360° 【应用】 (2)分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB,利用(1)的方法可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180×5=900°; 由上面的解题方法可得:∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n=180°(n-1), 故答案是:900° , 180°(n-1); (3)过点O作SR∥AB, ∵AB∥CD, ∴SR∥CD, ∴∠AM1O=∠M1OR 同理∠C MnO=∠MnOR ∴∠A M1O+∠CMnO=∠M1OR+∠MnOR, ∴∠A M1O+∠CMnO=∠M1OMn=m°, ∵M1O平分∠AM1M2, ∴∠AM1M2=2∠A M1O, 同理∠CMnMn-1=2∠CMnO, ∴∠AM1M2+∠CMnMn-1=2∠AM1O+2∠CMnO=2∠M1OMn=2m°, 又∵∠A M1M2+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n-1+∠CMnMn-1=180°(n-1), ∴∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n-1=(180n-180-2m)° 点睛:本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,解决此类题目,过拐点作平行线是解题的关键,准确识图理清图中各角度之间的关系也很重要. 18.(1)110(2)(90 +n)(3)×90°+n° 【分析】 (1)根据角平分线的性质,结合三角形的内角和定理可得到角之间的关系,然后求解即可; (2)根据BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的角平 解析:(1)110(2)(90 +n)(3)×90°+n° 【分析】 (1)根据角平分线的性质,结合三角形的内角和定理可得到角之间的关系,然后求解即可; (2)根据BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线- 配套讲稿:
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