2022-2023学年河北省保定市冀英学校九年级数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，是的直径，点是上两点，且，连接，过点作，交的延长线于点，垂足为，若，则的半径为(　　)

A． B． C． D．
2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．2x﹣3＝x B．2x+3y＝5 C．2x﹣x2＝1 D．
3．如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为，缆车速度为每分钟米，从山脚下到达山顶缆车需要分钟，则山的高度为（ ）米.

A． B．
C． D．
4．已知为常数，点在第二象限，则关于的方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
5．若数据2，x，4，8的平均数是4，则这组数据的中位数和众数是（　 　）
A．3和2   B．4和2  C．2和2  D．2和4
6．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的周长比为 （ ）

A．1:3 B．1:4 C．1:8 D．1:9
7．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为

A． B． C． D．
8．如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其天中发生的先后顺序排列，正确的是（ ）

A．①②③④ B．④①③② C．④②③① D．④③②①
9．如图，是的外接圆，，点是外一点，，，则线段的最大值为（ ）

A．9 B．4.5 C． D．
10．已知二次函数，当时随的增大而减小，且关于的分式方程的解是自然数，则符合条件的整数的和是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步．
12．己知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为2，则这个菱形的面积是_____．
13．如图，在矩形中，. 若将绕点旋转后，点落在延长线上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积为______.

14．如图，圆是一个油罐的截面图，已知圆的直径为5，油的最大深度（），则油面宽度为__________．

15．若点P(2a+3b，﹣2)关于原点的对称点为Q(3，a﹣2b)，则(3a+b)2020＝______.
16．已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为_____cm．
17．如图，，直线a、b与、、分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=3，BC=5，DE=4，则EF的长为______．

18．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则的取值范__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，函数（为常数，，）的图象经过点和，直线与轴，轴分别交于，两点.

（1）求的度数；
（2）如图2，连接、，当时，求此时的值：
（3）如图3，点，点分别在轴和轴正半轴上的动点.再以、为邻边作矩形.若点恰好在函数（为常数，，）的图象上，且四边形为平行四边形，求此时、的长度.
20．（6分）计算：
（1）解不等式组
（2）化简：
21．（6分）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B（3，b）两点．
（1）求反比例函数的表达式
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标
（3）求△PAB的面积．

22．（8分）为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，某校举办了“汉字听写大赛”活动．经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，最终没有学生得分低于25分，也没有学生得满分．根据测试成绩绘制出频数分布表和频数分布直方图（如图）．

请结合图标完成下列各题：
（1）求表中a的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若本次决赛的前5名是3名女生A、B、C和2名男生M、N，若从3名女生和2名男生中分别抽取1人参加市里的比赛，试用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到女生A和男生M的概率．
23．（8分）如图，是□ ABCD的边延长线上一点，连接，交于点．求证：△∽△CDF．

24．（8分）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，垃圾一般可分为：可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾．其中甲拿了一袋垃圾，乙拿了两袋垃圾．
（1）直接写出甲所拿的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；
（2）求乙所拿的两袋垃圾不同类的概率．
25．（10分）某商城某专卖店销售每件成本为40元的商品，从销售情况中随机抽取一些情况制成统计表如下：（假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律）
每件销售价（元）
50
60
70
75
80
85
……
每天售出件数
300
240
180
150
120
90
……
（1）观察这些数据，找出每天售出件数y与每件售价x（元）之间的函数关系，并写出该函数关系式；
（2）该店原有两名营业员，但当每天售出量超过168件时，则必须增派一名营业员才能保证营业，设营业员每人每天工资为40元，求每件产品定价多少元，才能使纯利润最大（纯利润指的是收入总价款扣除成本及营业员工资后的余额，其他开支不计）．
26．（10分）如图，内接于，直径交于点，延长至点，使，且，连接并延长交过点的切线于点，且满足，连接．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据已知条件可知、都是含角的直角三角形，先利用含角的直角三角形的性质求得，再结合勾股定理即可求得答案．
【详解】解：连接、，如图：

∵
∴
∴
∴在中，
∵是的直径
∴
∴在中，，即
∴
∴
∴
∴的半径为．
故选：D
【点睛】
本题考查了圆的一些基本性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理，添加适当的辅助线可以更顺利地解决问题．
2、C
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】A、方程2x﹣3＝x为一元一次方程，不符合题意；
B、方程2x+3y＝5是二元一次方程，不符合题意；
C、方程2x﹣x2＝1是一元二次方程，符合题意；
D、方程x+＝7是分式方程，不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的问题，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
3、C
【分析】在中，利用∠BAC的正弦解答即可．
【详解】解：在中，，，(米)，
∵，(米)．
故选．
【点睛】
本题考查了三角函数的应用，属于基础题型，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
4、B
【分析】根据判别式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
5、A
【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数；据此先求得x的值，再将数据按从小到大排列，将中间的两个数求平均值即可得到中位数，众数是出现次数最多的数．
【详解】这组数的平均数为＝4，
解得：x＝2；
所以这组数据是：2，2，4，8；
中位数是（2＋4）÷2＝3，
2在这组数据中出现2次，4出现一次，8出现一次，
所以众数是2；
故选：A．
【点睛】
本题考查平均数和中位数和众数的概念．
6、A
【分析】以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，OB=1OB′，可得△A′B′C′与△ABC的位似比，然后由相似三角形的性质可得△A′B′C′与△ABC的周长比．
【详解】∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，OB=1OB′，，
∴△A′B′C′与△ABC的位似比为：1：1，
∴△A′B′C′与△ABC的周长比为：1：1．
故选：A．
【点睛】
此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意三角形的周长比等于相似比．
7、B
【详解】解:∵M，N分别是边AB，AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥BC，且MN=BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
∴△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为1：1．
故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出MN是△ABC的中位线，判断△AMN∽△ABC，要掌握相似三角形的面积比等于相似比平方．
8、B
【分析】北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西−西北−北−东北−东，影长由长变短，再变长．
【详解】根据题意，太阳是从东方升起，故影子指向的方向为西方．然后依次为西北−北−东北−东，
即④①③②
故选：B．
【点睛】
本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西−西北−北−东北−东，影长由长变短，再变长．
9、C
【分析】连接OB、OC，如图，则△OBC是顶角为120°的等腰三角形，将△OPC绕点O顺时针旋转120°到△OMB的位置，连接MP，则∠POM=120°，MB=PC=3，OM=OP，根据等腰三角形的性质和锐角三角函数可得 ，于是求OP的最大值转化为求PM的最大值，因为，所以当P、B、M三点共线时，PM最大，据此求解即可.
【详解】解：连接OB、OC，如图，则OB=OC，∠BOC=2∠A=120°，将△OPC绕点O顺时针旋转120°到△OMB的位置，连接MP，则∠POM=120°，MB=PC=3，OM=OP，
过点O作ON⊥PM于点N，则∠MON=60°，MN=PM，
在直角△MON中，，∴，
∴当PM最大时，OP最大，
又因为，所以当P、B、M三点共线时，PM最大，此时PM=3+6=9，
所以OP的最大值是：.
故选：C.

【点睛】
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、旋转的性质、解直角三角形和两点之间线段最短等知识，具有一定的难度，将△OPC绕点O顺时针旋转120°到△OMB的位置，将求OP的最大值转化为求PM的最大值是解题的关键.
10、A
【分析】由二次函数的增减性可求得对称轴，可求得a取值范围，再求分式方程的解，进行求解即可．
【详解】解：
∵y=-x2+（a-2）x+3，
∴抛物线对称轴为x= ，开口向下，
∵当x＞2时y随着x的增大而减小，
∴≤2，解得a≤6，
解关于x的分式方程可得x=，且x≠3，则a≠5，
∵分式方程的解是自然数，
∴a+1是2的倍数的自然数，且a≠5，
∴符合条件的整数a为：-1、1、3，
∴符合条件的整数a的和为：-1+1+3=3，
故选：A．
【点睛】
此题考查二次函数的性质，由二次函数的性质求得a的取值范围是解题的关键．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．
【详解】解：根据勾股定理得：斜边为=17，
设内切圆半径为r，由面积法
r= 3（步），即直径为1步，
故答案为：1．
考点：三角形的内切圆与内心．
12、
【解析】分析：根据菱形的性质结合勾股定理可求出较短的对角线的长，再根据菱形的面积公式即可求出该菱形的面积．
详解：依照题意画出图形，如图所示．

在Rt△AOB中，AB=2，OB=，
∴OA==1，
∴AC=2OA=2，
∴S菱形ABCD=AC•BD=×2×2=2．
故答案为2．
点睛：本题考查了菱形的性质以及勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出较短的对角线的长是解题的关键．
13、
【分析】先利用直角三角形的性质和勾股定理求出BD和BC的长，再求出和扇形BDE的面积，两者作差即可得.
【详解】由矩形的性质得：

的面积为
扇形BDE所对的圆心角为，所在圆的半径为BD
则扇形BDE的面积为
所以图中阴影部分的面积为
故答案为：.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、扇形的面积公式，这是一道基础类综合题，求出扇形BDE的面积是解题关键.
14、1
【分析】连接OA，先求出OA和OD，再根据勾股定理和垂径定理即可求出AD和AB．
【详解】解：连接OA

∵圆的直径为5，油的最大深度
∴OA=OC=
∴OD=CD－OC=
∵
根据勾股定理可得：AD=
∴AB=2AD=1m
故答案为：1．
【点睛】
此题考查的是垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理的结合是解决此题的关键．
15、1
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出3a+b＝﹣1，进而得出答案.
【详解】解：∵点P(2a+3b，﹣2)关于原点的对称点为Q(3，a﹣2b)，
∴，
故3a+b＝﹣1，
则(3a+b)2020＝1.
故答案为：1.
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
16、5
【解析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可．
【详解】设圆锥的母线长为Rcm，
圆锥的底面周长＝2π×2＝4π，
则×4π×R＝10π，
解得，R＝5（cm）
故答案为5
【点睛】
本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
17、
【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得．
【详解】，
，
，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键．
18、且；
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出不等式组，求出不等式组的解集即可．
【详解】∵关于x的方程（k-1）x1-x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k-1≠0且△=（-1）1-4（k-1）•1=-4k+9＞0，
即，
解得：k＜且k≠1，
故答案为k＜且k≠1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式组是解此题的关键．

三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据点P、Q的坐标求出直线PQ的解析式，得到点C、D的坐标，根据线段长度得到的度数；
（2）根据已知条件求出∠QOP=45，再由即可求出m的值；
（3）根据平行四边形及矩形的性质得到，，设设，得到点M的坐标，又由两者共同求出n，得到结果.
【详解】（1）由，，得，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴；
（2）∵，
∴，
∴
易得，
∴，
∴（舍负）；
（3）∵四边形为平行四边形，
∴，
又，∴，
∴.
设.
则为代入，∴，∴，
又，∴，
由，得（舍负），
∴当时，符合题意.

【点睛】
此题是反比例函数与一次函数的综合题，考查反比例函数的性质，一次函数的性质，勾股定理，矩形的性质，平行四边形的性质.
20、（1）；（2）．
【分析】（1）先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集；
（2）根据分式的减法法则即可得．
【详解】（1），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为；
（2），
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组、分式的减法运算，熟练掌握不等式组的解法和分式的运算法则是解题关键．
21、（1）反比例函数的表达式y=，（2）点P坐标（，0）， (3)S△PAB= 1.1．
【解析】（1）把点A（1，a）代入一次函数中可得到A点坐标，再把A点坐标代入反比例解析式中即可得到反比例函数的表达式；（2）作点D关于x轴的对称点D，连接AD交x轴于点P，此时PA+PB的值最小.由B可知D点坐标，再由待定系数法求出直线AD的解析式，即可得到点P的坐标；（3）由S△PAB=S△ABD﹣S△PBD即可求出△PAB的面积.
解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，
得a=﹣1+4， 
解得a=3， 
∴A（1，3）， 
点A（1，3）代入反比例函数y=， 
得k=3，  
∴反比例函数的表达式y=， 
（2）把B（3，b）代入y=得，b=1
∴点B坐标（3，1）；
作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小， 
∴D（3，﹣1），
设直线AD的解析式为y=mx+n， 
把A，D两点代入得，， 解得m=﹣2，n=1， 
∴直线AD的解析式为y=﹣2x+1，
令y=0，得x=， 
∴点P坐标（，0），

(3)S△PAB=S△ABD﹣S△PBD=×2×2﹣×2×=2﹣=1.1．
点晴：本题是一道一次函数与反比例函数的综合题，并与几何图形结合在一起来求有关于最值方面的问题.此类问题的重点是在于通过待定系数法求出函数图象的解析式，再通过函数解析式反过来求坐标，为接下来求面积做好铺垫.
22、（1）16；（2）见解析；（3）图见解析，
【解析】（1）利用总数50减去其它项的频数即可求得结果；
（2）根据第三组，第四组的人数，画出直方图即可；
（3）利用树状图方表示出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．
【详解】（1）由频数分布表可得：a=50−4−6−14−10=16；
（2）频数分布直方图如图所示：

（3）根据题意画树状图如下：

从上图可知共有6种等可能情况，其中抽到女生A和男生M的情况有1种，所以恰好抽到女生A和男生M的概率．
【点睛】
本题考查树状图法求概率、读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
23、详见解析
【分析】利用平行四边形的性质即可证明.
【详解】证明： ∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠∠，∥，
∴∠∠．
∴△∽△
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定，掌握平行四边形的性质是解题的关键.
24、（1） ；（2） .
【分析】（1）共四种垃圾，厨余垃圾一种，所以甲拿了一袋垃圾恰好厨余垃圾的概率为：；（2）直接画出树状图，利用树状图解题即可
【详解】解：（1）记可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾分别为A，B，C，D，
∵垃圾要按A，B，C、D类分别装袋，甲拿了一袋垃圾，
∴甲拿的垃圾恰好是B类：厨余垃圾的概率为：；
（2）画树状图如下：

由树状图知，乙拿的垃圾共有16种等可能结果，其中乙拿的两袋垃圾不同类的有12种结果，
所以乙拿的两袋垃圾不同类的概率为
【点睛】
本题考查概率的计算以及树状图算概率，掌握树状图法是解题关键
25、（1）y=-6x+600；（2）每件产品定价72元，才能使纯利润最大，纯利润最大为5296元．
【分析】（1）经过图表数据分析，每天售出件数y与每件售价x（元）之间的函数关系为一次函数，设y＝kx＋b，解出k、b即可求出；
（2）由利润＝（售价−成本）×售出件数−工资，列出函数关系式，求出最大值．
【详解】（1）经过图表数据分析，每天售出件数y与每件售价x（元）之间的函数关系为一次函数，
设y＝kx＋b，经过（50，300）、（60，240），
，
解得k＝−6，b＝600，
故y＝−6x＋600；
（2）①设每件产品应定价x元，由题意列出函数关系式
W＝（x−40）×（−6x＋600）−3×40
＝−6x2＋840x−24000−120
＝−6（x2−140x＋4020）
＝−6（x−70）2＋1．
②当y＝168时x＝72，这时只需要两名员工，
W＝（72−40）×168−80＝5296＞1．
故当每件产品应定价72元，才能使每天门市部纯利润最大．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，由利润＝（售价−成本）×售出件数−工资，列出函数关系式，求出最大值，运用二次函数解决实际问题，比较简单．
26、（1）详见解析；（2）详见解析．
【分析】（1）根据切线的性质得到∠GAF=90°，根据平行线的性质得到AE⊥BC，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）由DF=2OD，得到OF=3OD=3OC，由得到OC=OD=3OE，推出△COE∽△FOC，根据相似三角形的性质得到∠OCF=∠OEC=90°，于是得到CF是⊙O的切线．
【详解】解：(1) 是的切线，是的直径，
，
，
，
，
，
，
；
(2) ，
，
，
，
，
，
是的切线．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据切线的判定和性质去分析所缺条件是解题的关键．