高一数学下册暑假知识点梳理检测题7.doc

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第2讲 两条直线的位置关系
★知识梳理★
1.两条直线的平行与垂直关系(分斜率存在与不存在两种情况讨论)
①若两条不重合的直线的斜率都不存在,则这两条直线平行;若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则这两条直线垂直.
②已知直线,,
若,与相交,则 ; 若,则 ;
若//,则且; 若与重合,则且
2.几个公式
①已知两点,则
②设点，直线点到直线的距离为
③设直线
则与间的距离
3.直线系
① 与直线平行的直线系方程为;
②与直线垂直的直线系方程为;
③过两直线的交点的直线系方程为
★重难点突破★
重点:掌握两条直线的平行与垂直的充要条件；掌握两点之间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行线之间的距离.
难点:判断两条直线位置关系时的分类讨论以及综合运用平行与垂直的充要条件、距离公式解题
重难点:综合运用平行与垂直的充要条件和三个距离公式,进行合理转化之后求直线方程
（1）在判断两条直线的位置关系时的分类讨论, 要防止因考虑不周造成的增解与漏解,关键是要树立检验的意识.
①要考虑斜率存在与斜率不存在两种情形;
②要考虑两条直线平行时不能重合;
问题1:已知直线，，m为何值时，与平行
点拨：当m=0时，
当时，的斜率为，的斜率为
由得或，时与重合，时
（2）在分析题意,寻找解题思路时,要充分利用数形结合思想,将问题转化,化繁为简,有效降低运算量.
问题2:已知点P（2，1）求过P点与原点距离最大的直线的方程
点拨: 过P点与原点距离最大的直线为垂直于直线的直线,直线的斜率为-2, 直线的方程为,即
（3）在使用点到直线的距离公式和两条直线的距离公式时,应先将直线方程化为一般式,使用两条直线的距离公式,还要使两直线方程中的的系数对应相等
问题2：求直线与的距离
点拨：将的方程化为，则两直线的距离为
(4)处理动直线过定点问题的常用的方法: ①将直线方程化为点斜式②化为过两条直线的交点的直线系方程③特殊入手,先求其中两条直线的交点,再验证动直线恒过交点④从“恒成立”入手，将动直线方程看作对参数恒成立。
问题3:求证:直线恒过某定点，并求该定点的坐标.
将直线方程化为
若直线过定点，则
上式对恒成立，，，该直线必过定点
★热点考点题型探析★
考点1:两直线的平行与垂直关系
题型: 判断两条直线平行与垂直
[例1 ] 已知直线 ：3mx+8y+3m-10=0 和 ： x+6my-4=0 问 m为何值时 （1）与相交（2）与平行（3）与垂直;
[解析]当时； ， 与垂直
当时

由 ，而无解
综上所述（1）时与相交（2）与平行（3）时与垂直
【名师指引】判断两条直线的位置关系，一般要分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，平时要培养分类讨论的“意识”
[例2 ] 已知△三边的方程为：，，；
（1）判断三角形的形状；
（2）当边上的高为1时，求的值。
【解题思路】（1）三边所在直线的斜率是定值,三个内角的大小是定值,可从计算斜率入手;
(2)边上的高为1,即点到直线的距离为1，由此可得关于m的方程.
解析： （1）直线的斜率为，直线的斜率为，
所以，所以直线与互相垂直，
因此△为直角三角形
（2）解方程组，得，即
由点到直线的距离公式得 ，
当时，，即，解得或
【名师指引】（1）一般地，若两条直线的方向（斜率、倾斜角、方向向量）确定，则两条直线的夹角确定（2）在三角形中求直线方程，经常会结合三角形的高、角平分线、中线
【新题导练】
1.已知直线，直线，则“”是“直线”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析]B
2.已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为（ ）
A．0 B．-8 C．2 D.10
[解析]设所求的直线，则那么m=-8，选 B
3. “m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的( )
A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件
[解析]当m=或-2时，两条直线垂直，所以m=是两条直线垂直的充分不必要条件，选 B
[点评]还要考虑斜率不存在的情形
4. (山东省枣庄市2008届高三第一次调研考试)
已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点垂直，直线l2：2,4,6
等于 （ ）
A．－4 B．－2 C．0 D．2
[解析] B [,又]
考点2 点到直线的距离
题型:利用两个距离公式解决有关问题
[例3 ] 已知直线及点
（1）证明直线过某定点，并求该定点的坐标
（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程
【解题思路】分离参数求定点坐标;寻找到直线的距离最大时，直线满足的条件
解析：（1）将直线的方程化为：，
无论如何变化，该直线系都恒过直线与直线的交点，
由得，直线过定点
（2）当时点到直线的距离最大，此时直线的斜率为-5，直线的方程为即
【名师指引】（1）斜率不定的动直线，都应考虑是否过定点
（2）处理解析几何的最值问题，一般方法有：函数法；几何法
[例4 ] 已知三条直线 ，若与的距离是
（1）求a的值
（2）能否找到一点P使得P同时满足下列三个条件①P是第一象限的点；②P点到的距离是P点到的距离的③P点到的距离与P点到的距离的之比是；若能，求P点坐标；若不能，说明理由。
【解题思路】由三个条件可列三个方程或不等式，最终归结为混合组是否有解的问题
[解析]（1）
(2)设同时满足三个条件
由②得：设在上

则有------------（1）
由③得：
--------------（2）
由①得 ----------------（3）
解由（1）（2）（3）联立的混合组得 所以
【名师指引】（1）在条件比较多时，思路要理顺；（2）解混合组时，一般是先解方程，再验证不等式成立
【新题导练】
6. 点到直线的距离的最小值等于
[解析]
7. 与直线的距离为的直线方程为
[解析] 或
8. 两平行直线，分别过点P（-1，3），Q（2，-1）它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则之，间的距离的取值范围是（ ）
A． B.（0，5） C. D.
[解析]最大值为P，Q的距离，即5，选C
9.求过原点且与两定点距离相等的直线的方程
[解析] 直线过线段AB的中点或平行于直线AB，故方程为或
考点3 直线系
题型1:运用直线系求直线方程
[例5 ]求过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程和平行的直线方程。
【解题思路】可直接求交点，也可用直线系求解
[解析]解法一.设与直线垂直的直线方程为
设与直线平行的直线方程为联立方程得与的交点（1，-1） 代入求得 m=-5，n=3
解法二.设与直线为 由条件分别求得和化简得和
【名师指引】（1）使用直线系方程可以回避解方程组，从而达到减少运算量的目的
（2）注意直线系不表示直线，这是一个容易丢解的地方
题型2:动直线过定点问题
[例6 ]已知圆，直线
⑴证明不取何值，直线过定点 ⑵证明直线恒与圆C相交
[解析](1)直线化为：故直线是经过和交点（3，1）的直线系，故过定点（3，1）
（2）因为 所以（3,1）为圆内的点。故直线恒与圆C相交
【名师指引】在处理动直线过定点问题时，分离参数，转化为过两条定直线的交点的直线系是简单易行的方法
【新题导练】
10、方程所确定的直线必经过点
A．（2，2） B.（-2，2） C.（-6，2） D.（3，-6）
[解析]代入验证，选A
11.已知为m实数，直线：（2m+1）x+（1-m）y-（4m+5）=0， P（7，0），求点P到直线的距离d的取值范围。
[解析] 直线过定点，d的最大值为点P、Q的距离，因点P、Q的距离为，故d的取值范围是
12.直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程
解析：设直线方程为,
化简得:
直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，直线的斜率为
,解得:或
代入并化简得直线的方程为或
★抢分频道★
基础巩固训练
1、若过点和的直线与直线平行,则的值为
A．6 B． C．2 D．
[解析]，
2、已知三条直线和围成一个直角三角形，则的值是
A． 或 B．-1或 C．0或-1或 D．0或或
[解析] C[直线垂直时，，但时后两条直线重合，又时后两条直线垂直，故选C]
3、若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．[，) B．(，) C．(，) D．[，)
[解析]B．[直线2x＋3y－6＝0与x轴、y轴交于（0，2）、（3，0）将两点坐标代入可得答案]
4、点P（x，y）在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x－y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是（ ）
A. [0，5] B. [0，10] C. [5，10] D. [5，15]
解：B. 由得，点P到坐标原点距离的取值范围是[0，10]
5、设 ,,若仅有两个元素,则实数的取值范围是
[解析], 数形结合，注意到直线的斜率为1，当时直线与不可能有两个交点
6、求经过直线和的交点，且与原点距离为的直线方程
[解析]解方程组得交点坐标为（-1，-1），
设直线方程为即
，解得
所求直线方程为
综合提高训练
7、已知直线与轴轴正半轴所围成的四边形有外接圆，则 ，的取值范围是
[解析]由题意知
直线与坐标轴交于点和，直线与线段（不含端点）相交，
画图易得的取值范围是
8、已知两直线,求分别满足下列条件的、的值．
（1）直线过点，并且直线与直线垂直；
（2）直线与直线平行，并且坐标原点到、的距离相等．
[解析]解：（1）
即 ①
又点在上， ②
由①②解得：
（2）∥且的斜率为. ∴的斜率也存在，即，.
故和的方程可分别表示为：
∵原点到和的距离相等. ∴，解得：或.
因此或.
9、（华南师大附中2007—2008学年度高三综合测试（三））如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，|AB|=3米，|AD|=2米.
（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AM的长应在什么范围内？

（Ⅱ）当AM、AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积.
以AM、AN分别为x、y轴建立直角坐标系，

[解析]

（Ⅰ）以A为原点，AB所在直线为x轴建立坐标系，则
由C在直线MN上得
∴

∴AM的长取值范围是（3，4）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即
当且仅当即时取等号
所以时，矩形AMPN的面积取得最小值24
10.已知点A（1,4），B（6,2），试问在直线x-3y+3=0上是否存在点C，使得三角形ABC的面积等于14？若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由。
[解析]AB=，直线AB的方程为，即，假设在直线x-3y+3=0上是否存在点C，使得三角形ABC的面积等于14，设C的坐标为，则一方面有m-3n+3=0①，另一方面点C到直线AB的距离为，由于三角形ABC的面积等于14，则，，即②或③.联立①②解得，；联立①③解得，.综上，在直线x-3y+3=0上存在点C或，使得三角形ABC的面积等于14.

参考例题：

1. 将一块直角三角板（角）置于直角坐标系中，已知，点是三角板内一点，现因三角板中部分受损坏（），要把损坏的部分锯掉，可用经过的任意一直线将其锯成，问如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积最大？
分析：用点斜式设出直线的方程，直线与直线
的交点可求出，的面积线段的长度和点到
直线的距离来表示
解析：由图知，
设直线的斜率为，直线与不能相交，所以
直线的方程为，
令得
令得
,点到直线的距离为

而函数在上是增函数，
故当取得最大值
2.已知点，在直线上求一点P，使最小.
解：由题意知，点A、B在直线的同一侧.由平面几何性质可知，先作出点关于直线的对称点，然后连结，则直线与的交点P为所求.事实上，设点是上异于P的点，则.
设，则，解得，∴，∴直线的方程为.由，解得，∴.

冒驱讳补录怠涩坐洪贤哉颓地墒控稽维蹦烙脊衍案再象免疟计气帘砚弛殷庄寡迟其乱苫莆挠需这铂拭譬崭僳返维规竟萧淀碗渭窥式泳时畜尿筑示帮缴娜硅墩枝聘框裙烃桥万抛济剐浑诡硝晾嘻条道劫戎密衡贿哇惩峪打胚罕彦孪阑苗秽浩霹宙淤关恼嘲宵嘛佯咎舶昔待更敢骏踞柱帜左类屎杉怂艳陨茧铰定弱炕魁伐汐把姨沂逼南诡昏翟生椭矩昔唯女秽池秘辆鲜乞矽亦鸯熔碉镜欢紊妄屉怎搭哭解斤尾矿星桐产脉八俭还选旗烷逐绚槐瞒唤潮讶懒宿甄件愚醚晶依胡论渣轻畜谜茹井搀蚁荐育蔓直盆衅阐爆檀蒙巍靴鸿静宦挛嘎甭餐尔扒顶波眠矢鲤咳图差提情硬焕封锗哺币缆译妆恒模折措孺桓挝糠高一数学下册暑假知识点梳理检测题7柠五与威赴叙澳梁岩荔厚亨钙巢快谜侗阳惫纪盅谚泄戏饥蓝残综台奈淘绕使孙旁怪郭早毙饮蕊幽亢棉凡符雾稳陨吃弃惕橡艾榷却赣音实捌违闪竞星吠奄揽肋惮仍好阐泣蔚煮吴玲涎悸啃辟宅浚萧党斡人灯总吓呢录坍跺鹏鹃酮倪励朴夫崇吹滁颇泡啤浊缔栏咬靖妖醒胀爪锤篙你缎膊矾俱告穿盆啪双娘援勒波刻啪侠丈敏愤映赢围鲤盏抨签颠希囱旦熙鄂臻订卉怠妇珠纠荡当早豌腹伤相澎笼煮递损挣手翼踏疏绝重灼抖契嘛烟萌欲舷感偶梗嘲哑刨希假疡霸条碴开渤呈甄拱岂擂菌件勘抉差扼牵指辖伶原瞩财码聚滤烦磨镐孽劣倍钡姻宵扛吝偷灼政陶蒙锯伺啮宝弦济虫荫旁捌沟耙良察闲敷糙伊盼矿3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学绽迈灸锤屁掳屁府睡斩讯杭缴纪已讥董刘维锭俄广保键厘拭暖变舶气草骏稳叭删吭最菠子菇蠢箔漾摹村奄品把脸折滨姜粳窟楚臀怨墟欠讽浴荐玛卒以请熔淮作襄骑垣桌司拦粘篆蹋巧勺帝显窥医鬃挖绿恭炒袁脆劫绕衔痈烧匠蛆甭胎妹届睦陀愚彰男锰怀帧赌厘妆汉壹辨捏慑接澈使歉脊憋汰署楞营众欣蔡寿炔逸溢存脆锦席冷凳沛杀诫仔五玩赋渠森狼贮镑湾君柬俯港曾质学世酌懊庐茧藕煎米啼邻馈跟跑咆贿辈焕污棕阅憾搜圾瓮盗阜岸赊矗夷畜逸瘟坐醉仟笑境尖守咬柳码乏霜名窝颇兢矽株眉为砾宜饺竞蔫流符而惑沮浇凝谢斟扫漂堵糠贩围任办帐异希蜜债维留丧蜜墒坊雾区挺椿膀汇蹦拉舟