江苏省扬州市高邮市汪曾祺学校2022年九年级数学第一学期期末质量检测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（每题4分，共48分）
1．抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，，，，( )

A．7 B．7.5 C．8 D．4.5
3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜12），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（　　）

A．4或5 B．4或7 C．4或5或7 D．4或7或9
4．下列函数中,是的反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，三个边长均为的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，点A、B、C在上，∠A=72°，则∠OBC的度数是（ ）

A．12° B．15° C．18° D．20°
7．反比例函数的图象分布的象限是（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一象限 D．第二象限
8．如图，在中，，则的值为（ ）

A． B． C． D．
9．反比例函数的图像经过点，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．不能确定
10．如图所示，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴于点A，点C在函数y＝（x＞0）的图象上，若OA＝1，则k的值为（　　）

A．4 B．2 C．2 D．
11．如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得，在C点测得，又测得米，则小岛B到公路l的距离为（ ）米．

A．25 B． C． D．
12．如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，AD＝4DE，连接BE并延长交AC于点F，则AF：FC的值是（　　）

A．3：2 B．4：3 C．2：1 D．2：3
二、填空题（每题4分，共24分）
13．有四条线段，分别为3，4，5，6，从中任取三条，能够成直角三角形的概率是
14．如图，P是反比例函数y＝的图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，得图中阴影部分的面积为3，则这个反比例函数的比例系数是_____．

15．如图，在中，，点D、E分别在边、上，且，如果，，那么________．

16．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为______．
17．如图，正方形OABC 与正方形ODEF是位似图，点O为位似中心，位似比为 2：3 ，点A 的坐标为（0，2），则点E的坐标是 ____.

18．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是____________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D．若AB＝12，CD＝6，tanA＝，求sinB＋cosB的值．

20．（8分）如图，中，，点是延长线上一点，平面上一点，连接平分.

（1）若，求的度数；
（2）若，求证:
21．（8分）如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．
（1）试说明四边形EFCG是矩形；
（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，
①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；
②求点G移动路线的长．

22．（10分）先阅读下列材料，然后解后面的问题．
材料：一个三位自然数 （百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=1．
（1）对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；
（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．
23．（10分）课堂上同学们借助两个直角三角形纸板进行探究，直角三角形纸板如图所示，分别为Rt△ABC和Rt△DEF，其中∠A＝∠D＝90°，AC＝DE＝2cm． 当边AC与DE重合，且边AB和DF在同一条直线上时：

（1）在下边的图形中，画出所有符合题意的图形；

（2）求BF的长．
24．（10分）2019年，中央全面落实“稳房价”的长效管控机制，重庆房市较上一年大幅降温，11月，LH地产共推出了大平层和小三居两种房型共80套，其中大平层每套面积180平方米，单价1．8万元/平方米，小三居每套面积120平方米，单价1．5万元/平方米．
（1）LH地产11月的销售总额为18720万元，问11月要推出多少套大平层房型？
（2）2019年12月，中央经济会议上重申“房子是拿来住的，不是拿来炒的”，重庆房市成功稳定并略有回落．为年底清盘促销，LH地产调整营销方案，12月推出两种房型的总数量仍为80套，并将大平层的单价在原有基础上每平方米下调万元(m>0)，将小三居的单价在原有基础上每平方米下调万元，这样大平层的销量较(1)中11月的销量上涨了7m套，且推出的房屋全部售罄，结果12月的销售总额恰好与(1)中I1月的销售总额相等．求出m的值．
25．（12分）如图，已知抛物线经过坐标原点和轴上另一点，顶点的坐标为．矩形的顶点与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=1．

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）将矩形以每秒个单位长度的速度从图1所示的位置沿轴的正方向匀速平行移动，同时一动点也以相同的速度从点出发向匀速移动，设它们运动的时间为秒，直线与该抛物线的交点为(如图2所示)．
①当，判断点是否在直线上，并说明理由；
②设P、N、C、D以为顶点的多边形面积为，试问是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
26．如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，
（1）求B到C的距离；
（2）如果在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由（≈1.732）．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移规律即可解答．
【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是，
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了抛物线的平移，解题的关键是熟知“左加右减、上加下减”的平移规律．
2、D
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可.
【详解】∵
∴
即：

故选：D
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容并能正确的列出比例式是关键.
3、D
【解析】由条件可求得AB=8，可知E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，当△BDE为直角三角形时，只有∠EDB=90°或∠DEB=90°，再结合△BDE和△ABC相似，可求得BE的长，则可求得t的值．
【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=4cm，
∴AB=2BC=8cm，
∵D为BC中点，
∴BD=2cm，
∵0≤t＜12，
∴E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，
按运动时间分为0≤t≤8和8＜t＜12两种情况，
①当0≤t≤8时，AE=tcm，BE=BC-AE=（8-t）cm，
当∠EDB=90°时，则有AC∥ED，
∵D为BC中点，
∴E为AB中点，
此时AE=4cm，可得t=4；
当∠DEB=90°时，
∵∠DEB=∠C，∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴，即，
解得t=7；
②当8＜t＜12时，则此时E点又经过t=7秒时的位置，此时t=8+1=9；
综上可知t的值为4或7或9，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质，用t表示出线段的长，化动为静，再根据相似三角形的对应边成比例找到关于t的方程是解决这类问题的基本思路．
4、B
【分析】根据是的反比例函数的定义，逐一判断选项即可.
【详解】A、是正比例函数,故本选项不符合题意．
B、是的反比例函数,故本选项符合题意；
C、不是的反比例函数,故本选项不符合题意；
D、是正比例函数,故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的形式(k≠0的常数)，是解题的关键.
5、A
【分析】连接AN,CN,通过将每部分阴影的面积都转化为正方形ACFE的面积的，则答案可求.
【详解】如图，连接AN,CN

∵四边形ACFE是正方形
∴
∵,
∴
∴
∴
所以四边形BCDN的面积为正方形ACFE的面积的
同理可得另一部分阴影的面积也是正方形ACFE的面积的
∴两部分阴影部分的面积之和为正方形ACFE的面积的
即
故选A
【点睛】
本题主要考查不规则图形的面积，能够利用全等三角形对面积进行转化是解题的关键.
6、C
【分析】根据圆周角定理可得∠BOC的度数，根据等腰三角形的性质即可得答案.
【详解】∵点A、B、C在上，∠A=72°，
∴∠BOC=2∠A=144°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=(180°-∠BOC)=18°，
故选：C.
【点睛】
本题考查圆周角定理及等腰三角形的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；熟练掌握圆周角定理是解题关键.
7、A
【解析】先根据反比例函数的解析式判断出k的符号，再根据反比例函数的性质即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数y=中，k=2＞0，
∴反比例函数y=的图象分布在一、三象限．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）中，当k＞0时，反比例函数图象的两个分支分别位于一三象限是解答此题的关键．
8、D
【解析】过点A作，垂足为D，在中可求出AD，CD的长，在中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正弦的定义可求出的值．
【详解】解：过点A作，垂足为D，如图所示．
在中，，
；
在中，，
，
．
故选：D．

【点睛】
考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，AB的长是解题的关键．
9、B
【分析】根据点的横坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出y1、y2的值，比较后即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，，
∴y1=3，y2=，
∵3＞，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据点的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点的纵坐标是解题的关键．
10、C
【分析】作BD⊥AC于D，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC＝1BD，再证得四边形OADB是矩形，利用AC⊥x轴得到C（1，1），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值．
【详解】解：作BD⊥AC于D，如图，
∵ABC为等腰直角三角形，
∴BD是AC的中线，
∴AC＝1BD，
∵CA⊥x轴于点A，
∵AC⊥x轴，BD⊥AC，∠AOB＝90°，
∴四边形OADB是矩形，
∴BD＝OA＝1，
∴AC＝1，
∴C（1，1），
把C（1，1）代入y＝得k＝1×1＝1．
故选：C．

【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了等腰直角三角形的性质．
11、B
【详解】解：过点B作BE⊥AD于E．

设BE=x．
∵∠BCD=60°，tan∠BCE，
，
在直角△ABE中，AE=，AC=50米，
则，
解得
即小岛B到公路l的距离为，
故选B.
12、A
【分析】过点D作DG∥AC, 根据平行线分线段成比例定理，得FC=1DG，AF=3DG，因此得到AF：FC的值．
【详解】
解：过点D作DG∥AC，与BF交于点G．
∵AD=4DE，
∴AE=3DE，
∵AD是△ABC的中线，
∴
∵DG∥AC
∴，即AF=3DG
，即FC=1DG，
∴AF：FC=3DG：1DG=3：1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线充分利用对应线段成比例的性质是解题的关键．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、．
【解析】试题分析： 能构成三角形的情况为：3，4，5；3，4，6；3，5，6；4，5，6这四种情况．直角三角形只有3，4，5一种情况．故能够成直角三角形的概率是．故答案为．
考点：1．勾股定理的逆定理；2．概率公式．
14、-1．
【分析】设出点P的坐标，阴影部分面积等于点P的横纵坐标的积的绝对值，把相关数值代入即可．
【详解】解：设点P的坐标为（x，y）．
∵P（x，y）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝xy，
∴|xy|＝1，
∵点P在第二象限，
∴k＝﹣1．
故答案是：﹣1．
【点睛】
此题考查的是已知反比例函数与矩形的面积关系，掌握反比例函数图象上一点作x轴、y轴的垂线与坐标轴围成的矩形的面积与反比例函数的比例系数的关系是解决此题的关键．
15、
【分析】根据，，得出，利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
故答案为
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．
16、1
【解析】试题分析：根据一元二次方程的根的判别式，直接可求△===4-8a+8≥0，解得a≤，因此a的最大整数解为1.
故答案为1.
点睛：此题主要考查了一元二次方程根的判别式△=b2-4ac，解题关键是确定a、b、c的值，再求出判别式的结果.可根据下面的理由：
（1）当△>0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当△=0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当△<0时，方程没有实数根．
17、（3，3）
【分析】根据位似图形的比求出OD的长即可解题.
【详解】解：∵正方形OABC 与正方形ODEF是位似图，位似比为 2：3 ，
∴OA:OD=2:3,
∵点A 的坐标为（0，2），即OA=2,
∴OD=3,DE=EF=3,
故点E的坐标是（3，3）.
【点睛】
本题考查了位似图形,属于简单题,根据位似图形的性质求出对应边长是解题关键.
18、15π．
【分析】根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【详解】解：根据题意得圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，
所以这个圆锥的侧面积=×5×2π×3=15π．
【点睛】
本题考查圆锥侧面积的计算，掌握公式，准确计算是本题的解题关键.

三、解答题（共78分）
19、.
【分析】试题分析：先在Rt△ACD中，由正切函数的定义得tanA=，求出AD=4，则BD=AB﹣AD=1，再解Rt△BCD，由勾股定理得BC==10，sinB=，cosB=，由此求出sinB+cosB=．
【详解】解：在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，
∴tanA=，
∴AD=4，
∴BD=AB﹣AD=12﹣4=1．
在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，BD=1，CD=6，
∴BC==10，
∴sinB=，cosB=，
∴sinB+cosB==．
故答案为

考点：解直角三角形；勾股定理．
20、（1）；（2）详见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质及角平分线的性质证得∠A=∠BCE，再利用角的和差关系及外角性质可证得∠ABC=∠DCE，从而得到结果；
（2）根据∠ABC=∠DBE可证得∠ABD=∠CBE，再结合（1）利用ASA可证明与全等，从而得到结论．
【详解】解：（1），
，
又平分，
，
，
又，，
；
（2）由（1）知，
，
，即，
在与中，，
≌（ASA），
．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，外角性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质定理是解题关键．
21、（1）证明见解析；（2）①存在，矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为；②．
【解析】试题分析：（1）只要证到三个内角等于90°即可．
（2）①易证点D在⊙O上，根据圆周角定理可得∠FCE=∠FDE，从而证到△CFE∽△DAB，根据相似三角形的性质可得到S矩形ABCD=2S△CFE=．然后只需求出CF的范围就可求出S矩形ABCD的范围．
②根据圆周角定理和矩形的性质可证到∠GDC=∠FDE=定值，从而得到点G的移动的路线是线段，只需找到点G的起点与终点，求出该线段的长度即可．
试题解析：解：（1）证明：如图，
∵CE为⊙O的直径，∴∠CFE=∠CGE=90°．
∵EG⊥EF，∴∠FEG=90°．∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．
∴四边形EFCG是矩形．
（2）①存在．
如答图1，连接OD，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°．
∵点O是CE的中点，∴OD=OC．∴点D在⊙O上．
∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°，∴△CFE∽△DAB．∴．
∵AD=1，AB=2，∴BD=5.
∴. ∴S矩形ABCD=2S△CFE=．
∵四边形EFCG是矩形，∴FC∥EG．∴∠FCE=∠CEG．
∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，∴∠GDC=∠FDE．
∵∠FDE+∠CDB=90°，∴∠GDC+∠CDB=90°．∴∠GDB=90°
Ⅰ．当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D（G′处，如答图1所示．
此时，CF=CB=1．
Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD，如答图2所示，此时⊙O与射线BD相切，CF=CD=2．
Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，此时点F到达F″′，如答图2所示．S△BCD=BC•CD=BD•CF″′．
∴1×2=5×CF″′．∴CF″′=．
∴≤CF≤1．
∵S矩形ABCD=，∴，即．
∴矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为．

②∵∠GDC=∠FDE=定值，点G的起点为D，终点为G″，
∴点G的移动路线是线段DG″．
∵∠GDC=∠FDE，∠DCG″=∠A=90°，∴△DCG″∽△DAB．
∴，即，解得．
∴点G移动路线的长为．
考点：1.圆的综合题；2.单动点问题；2.垂线段最短的性质；1.直角三角形斜边上的中线的性质；5.矩形的判定和性质；6.圆周角定理；7.切线的性质；8.相似三角形的判定和性质；9.分类思想的应用．
22、（1）详见解析；（2）99或2．
【解析】（1）首先由题意可得a+c=b，将欢喜数展开，因为要证明“欢喜数”能被99整除，所以将展开式中100a拆成99a+a，这样展开式中出现了a+c，将a+c用b替代，整理出最终结果即可；
（2）首先设出两个欢喜数m、n，表示出F（m）、F（n）代入F（m）﹣F（n）=3中，将式子变形分析得出最终结果即可.
【详解】（1）证明：∵为欢喜数，
∴a+c=b．
∵=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b，b能被9整除，
∴11b能被99整除，99a能被99整除，
∴“欢喜数”能被99整除；
（2）设m=，n=（且a1＞a2），
∵F（m）﹣F（n）=a1•c1﹣a2•c2=a1•（b﹣a1）﹣a2（b﹣a2）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=3，a1、a2、b均为整数，
∴a1﹣a2=1或a1﹣a2=3．
∵m﹣n=100（a1﹣a2）﹣（a1﹣a2）=99（a1﹣a2），
∴m﹣n=99或m﹣n=2．
∴若F（m）﹣F（n）=3，则m﹣n的值为99或2．
【点睛】
做此类阅读理解类题目首先要充分理解题目，会运用因式分解将式子变形.
23、（1）补全图形见解析；（2）BF＝(＋2)cm或BF＝(－2)cm．
【分析】（1）分两种情况：①△DEF在△ABC外部，②△DEF在△ABC内部进行作图即可；
（2）根据（1）中两种情况分别求解即可.
【详解】（1）补全图形如图：
情况Ⅰ：

情况Ⅱ：

（2）情况Ⅰ：

解：∵在Rt△ACF中，∠F＝∠ACF＝45°
∴AF＝AC＝2cm．
∵在Rt△ACB中，∠B＝30°，
∴BC＝4，AB＝．
∴BF＝(＋2)cm．
情况Ⅱ：

解：∵在Rt△ACF中，∠F＝∠ACF＝45°
∴AF＝AC＝2cm．
∵在Rt△ACB中，∠B＝30°，
∴BC＝4，AB＝．
∴BF＝(－2)cm．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理与解直角三角形的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
24、（1）30 （2）2
【分析】（1）设推出大平层x套，小三居y套，根据题意列出方程求解即可；
（2）由题意得，12月大平层推出套，单价为，12月小三居推出套，单价为，根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设推出大平层x套，小三居y套，由题意得

②①

故11月要推出30套大平层房型；
（2）解：由题意得，12月大平层推出套，单价为，12月小三居推出套，单价为
∴

解得或
∵
∴．
【点睛】
本题考查了一元一次方程组和一元二次方程的实际应用，掌握解一元一次方程组和一元二次方程的方法是解题的关键．
25、（1）y=-x2+4x；（2）点P不在直线MB上，理由见解析；②当t=时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积有最大值，这个最大值为．
【分析】（1）设抛物线解析式为，将代入求出即可解决问题；
（2）①由（1）中抛物线的解析式可以求出点的坐标，从而可以求出的解析式，再将点的坐标代入直线的解析式就可以判断点是否在直线上．
②设出点，，可以表示出的值，根据梯形的面积公式可以表示出与的函数关系式，从而可以求出结论．
【详解】解：（1）设抛物线解析式为，
把代入解析式得，
解得，，
函数解析式为，即．
（2）①，
当时，，
，，
，
设直线的解析式为：，则
，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，，
当时，，
当时，点不在直线上．
②存在最大值．理由如下：
点在轴的非负半轴上，且在抛物线上，
．
点，的坐标分别为、，
，
，
，
I.当，即或时，以点，，，为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为，
，
II.当时，以点，，，为顶点的多边形是四边形，
，，
，
，
，
，
时，有最大值为，
综合以上可得，当时，以点，，，为顶点的多边形面积有最大值，这个最大值为．
【点睛】
此题主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用．根据几何关系巧妙设点，把面积用表示出来，转化为函数最值问题是解题的关键．
26、（1）12海里；（2）该货船无触礁危险，理由见解析
【分析】（1）证出∠BAC＝∠ACB，得出BC＝AB＝24×＝12即可；
（2）过点C作CD⊥AD于点D，分别在Rt△CBD、Rt△CAD中解直角三角形，可先求得BD的长，然后得出CD的长，从而再将CD与9比较，若大于9则无危险，否则有危险．
【详解】解：（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣10°＝30°，∠MBC＝90°﹣30°＝10°，
∵∠MBC＝∠BAC+∠ACB，
∴∠ACB＝∠MBC﹣∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴BC＝AB＝24×＝12（海里）；
（2）该货船无触礁危险，理由如下：
过点C作CD⊥AD于点D，如图所示：
∵∠EAC＝10°，∠FBC＝30°，
∴∠CAB＝30°，∠CBD＝10°．
∴在Rt△CBD中，CD＝BD，BC=2BD,
由（1）知BC=AB,∴AB=2BD.
在Rt△CAD中，AD＝CD＝3BD＝AB+BD＝12+BD，
∴BD＝1．
∴CD＝1．
∵1＞9，
∴货船继续向正东方向行驶无触礁危险．

【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-方向角问题、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．