2011年天津中考数学试卷及答案2.doc

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2021年天津市中考数学试卷

一、选择题〔共10小题，每题3分，总分值30分〕
1．〔2021•天津〕sin45°的值等于〔　　〕
A． B． C． D．1

2．〔2021•天津〕以下汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是〔　　〕
A． B． C． D．

3．〔2021•天津〕根据第六次全国人口普査的统计，截止到2021年11月1日零时，我国总人口约为1 370 000 000人，将1 370 000 000用科学记数法表示应为〔　　〕
1098 D．137x107

4．〔2021•天津〕估计的值在〔　　〕
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间

5．〔2021•天津〕如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，那么∠EBF的大小为〔　　〕

A．15° B．30° C．45° D．60°

6．〔2021•天津〕⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和4cm，假设O1O2=7cm，那么⊙O1与⊙O2的位置关系是〔　　〕
A．相交 B．相离 C．内切 D．外切

7．〔2021•天津〕如图是一支架〔一种小零件〕，支架的两个台阶的高度和宽度都是同一长度，那么它的三视图是〔　　〕

A． B． C． D．

8．〔2021•天津〕下面是甲、乙两人10次射击成绩〔环数〕的条形统计图，那么以下说法正确的选项是〔　　〕

A．甲比乙的成绩稳定 B．乙比甲的成绩稳定 C．甲、乙两人的成绩一样稳定 D．无法确定谁的成绩更稳定

9．〔2021•天津〕一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以毎分0.1元的价格按上网所用时间计费；方式B除收月基费20元外，再以毎分0.05元的价格按上网所用时间计费．假设上网所用时间为x分，计费为y元，如图，是在同一直角坐标系中，分别描述两种计费方式的函数的图象．有以下结论：
①图象甲描述的是方式A；
②图象乙描述的是方式B；
③当上网所用时间为500分时，选择方式方法B省钱．
其中，正确结论的个数是〔　　〕

A．3 B．2 C．1 D．0

10．〔2021•天津〕假设实数x、y、z满足〔x﹣z〕2﹣4〔x﹣y〕〔y﹣z〕=0，那么以下式子一定成立的是〔　　〕
A．x+y+z=0 B．x+y﹣2z=0 C．y+z﹣2x=0 D．z+x﹣2y=0

二、填空题〔共8小题，每题3分，总分值24分〕
11．〔2021•天津〕﹣6的相反数是　_________　．

12．〔2021•天津〕假设分式的值为0，那么x的值等于　_________　．
13．〔2021•天津〕一次函数的图象经过点〔0，1〕，且满足y随x的增大而增大，那么该一次函数的解析式可以为
　_________　．

14．〔2021•天津〕如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、FD，那么图中平行四边形的个数为　_________　．

15．如图，AD和AC分别是⊙O的直径和弦，且∠CAD=30°，OB⊥AD交AC于点B，假设OB=5，那么BC等于　_________　．

16．〔2021•天津〕同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率为　_________　．

17．〔2021•天津〕如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，假设AB=1，BC=CD=3，DE=2，那么这个六边形的周长等于　_________　．

18．〔2021•天津〕如图，有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．

〔I〕该正方形的边长为　_________　 〔结果保存根号〕
〔II〕现要求只能用两条裁剪线，请你设计一种裁剪的方法，在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程：　_________　．

三、解答题〔共8小题，总分值66分〕
19．〔2021•天津〕解不等式组．

20．〔2021•天津〕一次函数y1=x+b〔b为常数〕的图象与反比例函数〔k为常数，且k≠0 〕的图象相交于点P〔3，1〕．
〔I 〕求这两个函数的解析式：
〔II〕当x＞3时，试判断y1与y2的大小，并说明理由．

21．〔2021•天津〕在我市开展的“好书伴我成长〞读书活动中，某中学为了解八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：
册数
0
1
2
3
4
人数
3
13
16
17
1
〔1〕求这50个样本数据的平均数、众数和中位数：
〔2〕根据样本数据，估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的人数．

22．〔2021•天津〕AB与⊙O相切于点C，OA=OB，OA、OB与⊙O分别交于点D、E．
〔I〕如图①，假设⊙O的直径为8，AB=10，求OA的长〔结果保存根号〕；
〔II〕如图②，连接CD、CE，假设四边形ODCE为菱形，求的值．

23．〔2021•天津〕某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300m，在A处测得望海楼B位于A的北偏东30°方向，游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C，在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向，求此时游轮与望海楼之间的距离BC〔取1.73，结果保存整数〕．

24．〔2021•天津〕注意：为了使同学们更好地解答此题，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成此题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行 解答即可．
某商品现在的售价为每件35元，毎天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当毎件商品降价多少元时，可使毎天的销售额最大，最大销售额是多少？
设每件商品降价x元，毎天的销售额为y元．
〔I〕分析：根据问题中的数量关系，用含x的式子填表：

原价
每件降价1元
毎件降价2元
…
毎件降价x元
每件售价〔元〕
35
34
33
…

毎天销量〔件〕
50
52
54
…

〔II〕由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解．

25．〔2021•天津〕在平面直角坐标系中，己知O为坐标原点，点A〔3，0〕，B〔0.4〕，以点A为旋转中心，把△ ABO顺时针旋转，得△ ACD．记旋转角为α．∠ ABO为β．

〔I 〕如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；
〔II〕如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系：
〔III〕当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式〔直接写出结果即可〕．

26．〔2021•天津〕抛物线，点F〔1，1〕．
〔I〕求抛物线C1的顶点坐标；
〔II〕①假设抛物线C1与y轴的交点为A，连接AF，并延长交抛物线C1于点B，求证：．
②取抛物线C1上任意一点P〔xP，yP〕〔0＜xP＜1〕，连接PF，并延长交抛物线C1于Q〔xQ，yQ〕．试判断是否成立？请说明理由；
〔III〕将抛物线C1作适当的平移，得抛物线，假设2＜x≤m时，y2≤x恒成立，求m的最大值．

2021年天津市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题〔共10小题，每题3分，总分值30分〕
1．〔2021•天津〕sin45°的值等于〔　　〕
A． B． C． D．1
考点：特殊角的三角函数值。
分析：根据特殊角度的三角函数值解答即可．
解答：解：sin45°=．
应选B．
点评：此题比拟简单，只要熟记特殊角度的三角函数值即可．

2．〔2021•天津〕以下汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是〔　　〕
A． B． C． D．
考点：中心对称图形。
分析：根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．
解答：解：A．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项正确；
B．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；
C．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；
D．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；
应选：A．
点评：此题主要考查了中心对称图形的性质，根据中心对称图形的定义判断图形是解决问题的关键．

3．〔2021•天津〕根据第六次全国人口普査的统计，截止到2021年11月1日零时，我国总人口约为1 370 000 000人，将1 370 000 000用科学记数法表示应为〔　　〕
1098 D．137x107
考点：科学记数法—表示较大的数。
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：1 370 000 000=1.37×109．
应选B．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．〔2021•天津〕估计的值在〔　　〕
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
考点：估算无理数的大小。
专题：计算题。
分析：根据特殊有理数找出最接近的完全平方数，从而求出即可．
解答：解：∵＜＜，
∴3＜＜4，
应选：C．
点评：此题主要考查了估计无理数的大小，根据得出最接近的完全平方数是解决问题的关键．

5．〔2021•天津〕如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，那么∠EBF的大小为〔　　〕

A．15° B．30° C．45° D．60°
考点：翻折变换〔折叠问题〕；正方形的性质。
专题：计算题。
分析：利用翻折变换的不变量，可以得到∠EBF为直角的一半．
解答：解：∵将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，
∴∠ABE=∠DBE=∠DBF=∠FBC，
∴∠EBF=∠ABC=45°，
应选C．
点评：此题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．

6．〔2021•天津〕⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和4cm，假设O1O2=7cm，那么⊙O1与⊙O2的位置关系是〔　　〕
A．相交 B．相离 C．内切 D．外切
考点：圆与圆的位置关系。
专题：数形结合。
分析：根据⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和4cm，得出R+r=7，再根据O1O2=7cm，得出⊙O1与⊙O2的位置关系．
解答：解：根据⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和4cm，
得出R+r=7，
∵O1O2=7cm，
∴得出⊙O1与⊙O2的位置关系是：外切．
应选：D．
点评：此题主要考查了圆与圆的位置关系，根据R+r=O1O2=7cm，得出⊙O1与⊙O2的位置关系是解决问题的关键．

7．〔2021•天津〕如图是一支架〔一种小零件〕，支架的两个台阶的高度和宽度都是同一长度，那么它的三视图是〔　　〕

A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图。
分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解答：解：先细心观察原立体图形的位置，
从正面看去，是一个矩形，矩形左上角缺一个角，
从左面看，是一个正方形，
从上面看，也是一个正方形，
应选A．
点评：此题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

8．〔2021•天津〕下面是甲、乙两人10次射击成绩〔环数〕的条形统计图，那么以下说法正确的选项是〔　　〕

A．甲比乙的成绩稳定 B．乙比甲的成绩稳定 C．甲、乙两人的成绩一样稳定 D．无法确定谁的成绩更稳定
考点：方差；条形统计图。
专题：计算题；数形结合。
分析：根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，说明这组数据分布比拟集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定
解答：解：通过观察条形统计图可知：乙的成绩更整齐，也相对更稳定，
应选B．
点评：此题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，说明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，说明这组数据分布比拟集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

9．〔2021•天津〕一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以毎分0.1元的价格按上网所用时间计费；方式B除收月基费20元外，再以毎分0.05元的价格按上网所用时间计费．假设上网所用时间为x分，计费为y元，如图，是在同一直角坐标系中，分别描述两种计费方式的函数的图象．有以下结论：
①图象甲描述的是方式A；
②图象乙描述的是方式B；
③当上网所用时间为500分时，选择方式方法B省钱．
其中，正确结论的个数是〔　　〕

A．3 B．2 C．1 D．0
考点：函数的图象。
专题：应用题；数形结合。
分析：根据函数图象的特点依次进行判断即可得出答案．
解答：解：根据一次函数图象特点：
①图象甲描述的是方式A，正确，
②图象乙描述的是方式B，正确，
③当上网所用时间为500分时，选择方式B省钱，正确，
应选A．
点评：此题主要考查了一次函数图象的特点，需要学生根据实际问题进行分析，难度适中．

10．〔2021•天津〕假设实数x、y、z满足〔x﹣z〕2﹣4〔x﹣y〕〔y﹣z〕=0，那么以下式子一定成立的是〔　　〕
A．x+y+z=0 B．x+y﹣2z=0 C．y+z﹣2x=0 D．z+x﹣2y=0
考点：完全平方公式。
专题：计算题。
分析：首先将原式变形，可得x2+z2+2xz﹣4xy+4xz+4y2﹣4yz=0，那么可得〔x+z﹣2y〕2=0，那么问题得解．
解答：解：∵〔x﹣z〕2﹣4〔x﹣y〕〔y﹣z〕=0，
∴x2+z2﹣2xz﹣4xy+4xz+4y2﹣4yz=0，
∴x2+z2+2xz﹣4xy+4y2﹣4yz=0，
∴〔x+z﹣2y〕2=0，
∴z+x﹣2y=0．
应选D．
点评：此题考查了完全平方公式的应用．解题的关键是掌握：x2+z2+2xz﹣4xy+4y2﹣4yz=〔x+z﹣2y〕2．

二、填空题〔共8小题，每题3分，总分值24分〕
11．〔2021•天津〕﹣6的相反数是　6　．
考点：相反数。
分析：求一个数的相反数，即在这个数的前面加负号．
解答：解：根据相反数的概念，得
﹣6的相反数是﹣〔﹣6〕=6．
点评：此题考查了相反数的定义，互为相反数的两个数分别在原点两旁且到原点的距离相等．

12．〔2021•天津〕假设分式的值为0，那么x的值等于　1　．
考点：分式的值为零的条件。
专题：计算题。
分析：根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
解答：解：由分式的值为零的条件得x2﹣1=0，x+1≠0，
由x2﹣1=0，得x=﹣1或x=1，
由x+1≠0，得x≠﹣1，
∴x=1，
故答案为1．
点评：假设分式的值为零，需同时具备两个条件：〔1〕分子为0；〔2〕分母不为0．这两个条件缺一不可．

13．〔2021•天津〕一次函数的图象经过点〔0，1〕，且满足y随x的增大而增大，那么该一次函数的解析式可以为
　y=x+1〔答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函数〕　．
考点：一次函数的性质。
专题：开放型。
分析：先设出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象经过点〔0，1〕可确定出b的值，再根据y随x的增大而增大确定出k的符号即可．
解答：解：设一次函数的解析式为：y=kx+b〔k≠0〕，
∵一次函数的图象经过点〔0，1〕，
∴b=1，
∵y随x的增大而增大，
∴k＞0，
故答案为y=x+1〔答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函数〕．
点评：此题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b〔k≠0〕中，k＞0，y随x的增大而增大，与y轴交于〔0，b〕，当b＞0时，〔0，b〕在y轴的正半轴上．

14．〔2021•天津〕如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、FD，那么图中平行四边形的个数为　3　．

考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理。
分析：由点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，根据三角形中位线定理，可以推出EF∥AB且EF=AD，EF=DB，DF∥BC且DF=CE，所以得到3个平行四边形．
解答：解：点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，
∴EF∥AB且EF=AD，EF=DB，
DF∥BC且DF=CE，
∴四边形ADEF、四边形BDFE和四边形CEDF为平行四边形，
故答案为：3．
点评：此题考查的是平行四边形的判定及三角形中位线定理，关键是有三角形中位线定理得出四边形的对边平行且相等而判定为平行四边形．

15．如图，AD和AC分别是⊙O的直径和弦，且∠CAD=30°，OB⊥AD交AC于点B，假设OB=5，那么BC等于　5　．

考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形。
分析：在Rt△AOB中，了OB的长和∠A的度数，根据直角三角形的性质可求得OA的长，也就得到了直径AD的值，连接CD，同理可在Rt△ACD中求出AC的长，由BC=AC﹣AB即可得解．
解答：解：连接CD；
Rt△AOB中，∠A=30°，OB=5，那么AB=10，OA=5；
在Rt△ACD中，∠A=30°，AD=2OA=10，
∴AC=cos30°×10
=×10
=15，
∴BC=AC﹣AB=15﹣10=5．

点评：此题主要考查了直角三角形的性质和圆周角定理的应用，难度不大．

16．〔2021•天津〕同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率为　　．
考点：列表法与树状图法。
专题：计算题。
分析：首先列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与两个骰子的点数相同的情况，再根据概率公式求解即可．
解答：解：列表得：
〔1，6〕
〔2，6〕
〔3，6〕
〔4，6〕
〔5，6〕
〔6，6〕
〔1，5〕
〔2，5〕
〔3，5〕
〔4，5〕
〔5，5〕
〔6，5〕
〔1，4〕
〔2，4〕
〔3，4〕
〔4，4〕
〔5，4〕
〔6，4〕
〔1，3〕
〔2，3〕
〔3，3〕
〔4，3〕
〔5，3〕
〔6，3〕
〔1，2〕
〔2，2〕
〔3，2〕
〔4，2〕
〔5，2〕
〔6，2〕
〔1，1〕
〔2，1〕
〔3，1〕
〔4，1〕
〔5，1〕
〔6，1〕
∴一共有6种等可能的结果，
两个骰子的点数相同的有6种情况，
∴两个骰子的点数相同的概率为：=．
故答案为：．
点评：此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

17．〔2021•天津〕如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，假设AB=1，BC=CD=3，DE=2，那么这个六边形的周长等于　15　．

考点：等腰梯形的性质；多边形内角与外角；平行四边形的性质。
专题：计算题。
分析：凸六边形ABCDEF，并不是一规那么的六边形，但六个角都是120°，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．
解答：解：如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．
∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，
∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．
∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形．
∴GC=BC=3，DP=DE=2．
∴GH=3+3+2=8，FA=HA=GH﹣AB﹣BG=8﹣1﹣3=4，EF=PH﹣HF﹣EP=8﹣4﹣2=2．
∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2=15．
故答案为15．

点评：此题考查了等边三角形的性质及判定定理；解题中巧妙地构造了等边三角形，从而求得周长．是非常完美的解题方法，注意学习并掌握．

18．〔2021•天津〕如图，有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．

〔I〕该正方形的边长为　　 〔结果保存根号〕
〔II〕现要求只能用两条裁剪线，请你设计一种裁剪的方法，在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程：　如图，〔1〕以BM=4为直径作半圆，在半圆上取一点N，使MN=1，连接BN，由勾股定理，得BN=；
〔2〕以A为圆心，BN长为半径画弧，交CD于K点，连接AK，
〔3〕过B点作BE⊥AK，垂足为E，
〔4〕平移△ABE，△ADK，得到四边形BEFG即为所求．　．
考点：作图—应用与设计作图。
专题：作图题。
分析：〔I〕设正方形的边长为a，那么a2=3×5，可解得正方形的边长；
〔II〕以BM=4为直径作半圆，在半圆上取一点N，使MN=1，连接BN，那么∠MNB=90°，由勾股定理，得BN==，由此构造正方形的边长，利用平移法画正方形．
解答：解：〔I〕设正方形的边长为a，那么a2=3×5，解得a=；

〔II〕如图，

〔1〕以BM=4为直径作半圆，在半圆上取一点N，使MN=1，连接BN，由勾股定理，得BN=；
〔2〕以A为圆心，BN长为半径画弧，交CD于K点，连接AK，
〔3〕过B点作BE⊥AK，垂足为E，
〔4〕平移△ABE，△ADK，得到四边形BEFG即为所求．
点评：此题考查了应用与设计作图．关键是理解题意，根据图形设计分割方案．

三、解答题〔共8小题，总分值66分〕
19．〔2021•天津〕解不等式组．
考点：解一元一次不等式组。
专题：计算题。
分析：先解每一个不等式，再求两个解集的公共局部即可．
解答：解：∵
不等式①移项，合并得x＞﹣6，
不等式②移项，合并得x≤2，
∴不等式组的解集为：﹣6＜x≤2．
点评：此题考查了解一元一次不等式组，解集的数轴表示法．关键是先解每一个不等式，再求解集的公共局部．

20．〔2021•天津〕一次函数y1=x+b〔b为常数〕的图象与反比例函数〔k为常数，且k≠0 〕的图象相交于点P〔3，1〕．
〔I 〕求这两个函数的解析式：
〔II〕当x＞3时，试判断y1与y2的大小，并说明理由．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
专题：代数综合题；待定系数法。
分析：〔I〕利用待定系数法，将P〔3，1〕代入一次函数解析式与反比例函数解析式，即可得到答案；
〔II〕当x=3时，y1=y2=1，再利用函数的性质一次函数y1随x的增大而增大，反比例函数y2随x的增大而减小，可以判断出大小关系．
解答：解：〔1〕∵点P〔3，1〕在一次函数y1=x+b〔b为常数〕的图象上，
∴1=3+b，
解得：b=﹣2，
∴一次函数解析式为：y1=x﹣2．
∵点P〔3，1〕在反比例函数〔k为常数，且k≠0 〕的图象上，
∴k=3×1=3，
∴反比例函数解析式为：y2=，

〔II〕y1＞y2．理由如下：
当x=3时，y1=y2=1，
又当x＞3时，y1随x的增大而增大，反比例函数y2随x的增大而减小，
∴当x＞3时，y1＞y2．
点评：此题主要考查了待定系数法求函数解析式和函数的性质，但凡图象上的点，都能使函数解析式左右相等．

21．〔2021•天津〕在我市开展的“好书伴我成长〞读书活动中，某中学为了解八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：
册数
0
1
2
3
4
人数
3
13
16
17
1
〔1〕求这50个样本数据的平均数、众数和中位数：
〔2〕根据样本数据，估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的人数．
考点：用样本估计总体；加权平均数；中位数；众数。
分析：〔1〕先根据表格提示的数据50名学生读书的册数，然后除以50即可求出平均数，在这组样本数据中，3出现的次数最多，所以求出了众数，将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，从而求出中位数是2；
〔2〕从表格中得知在50名学生中，读书多于2册的学生有18名，所以可以估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的约有300×=108．
解答：解：〔1〕观察表格，可知这组样本数据的平均数是==2，
∴这组样本数据的平均数为2，
∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是3．
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，有=2，
∴这组数据的中位数为2；

〔2〕∵在50名学生中，读书多于2册的学生有18名，有300×=108．
∴根据样本数据，可以估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的约有108名．
点评：此题考查的知识点有：用样本估计总体、众数以及中位数的知识，解题的关键是牢记概念及公式．

22．〔2021•天津〕AB与⊙O相切于点C，OA=OB，OA、OB与⊙O分别交于点D、E．
〔I〕如图①，假设⊙O的直径为8，AB=10，求OA的长〔结果保存根号〕；
〔II〕如图②，连接CD、CE，假设四边形ODCE为菱形，求的值．

考点：切线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质。
专题：几何综合题。
分析：〔1〕连接OC，根据切线的性质得出OC⊥AB，再由勾股定理求得OA即可；
〔2〕根据菱形的性质，求得OD=CD，那么△ODC为等边三角形，可得出∠A=30°，即可求得的值．
解答：解：〔1〕如图①，连接OC，那么OC=4，
∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB，
∴在△OAB中，由AO=OB，AB=10m，
得AC=AB=5．
在Rt△AOC中，由勾股定理得OA===；

〔2〕如图②，连接OC，那么OC=OD，
∵四边形ODCE为菱形，∴OD=CD，
∴△ODC为等边三角形，有∠AOC=60°．
由〔1〕知，∠OCA=90°，∴∠A=30°，
∴OC=OA，∴=．

点评：此题考查了切线的性质和勾股定理以及直角三角形、菱形的性质，是一道综合题，要熟练掌握．

23．〔2021•天津〕某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300m，在A处测得望海楼B位于A的北偏东30°方向，游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C，在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向，求此时游轮与望海楼之间的距离BC〔取1.73，结果保存整数〕．

考点：解直角三角形的应用-方向角问题。
专题：几何图形问题。
分析：首先根据∠BAD=30°，得出BD=AD=150，进而利用解直角三角形求出BC的值即可．
解答：解：根据题意得：AB=300，
如图，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，
在Rt△ADB中，
∵∠BAD=30°，
∴BD=AB=150，
Rt△CDB中，
∵sin∠DCB=，
∴BC===≈173，
答：此时游轮与望海楼之间的距离BC约为173m．

点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，根据sin∠DCB=，得出BC的长是解决问题的关键．

24．〔2021•天津〕注意：为了使同学们更好地解答此题，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成此题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行 解答即可．
某商品现在的售价为每件35元，毎天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当毎件商品降价多少元时，可使毎天的销售额最大，最大销售额是多少？
设每件商品降价x元，毎天的销售额为y元．
〔I〕分析：根据问题中的数量关系，用含x的式子填表：

原价
每件降价1元
毎件降价2元
…
毎件降价x元
每件售价〔元〕
35
34
33
…

毎天销量〔件〕
50
52
54
…

〔II〕由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解．
考点：二次函数的应用。
分析：〔I〕根据问题中的数量关系，用含x的式子填表即可；
〔II〕根据每天的销售额y=〔35﹣x〕〔50+2x〕，再求出二次函数最值即可．
解答：解：〔I〕根据题意得：35﹣x，50+2x；

〔II〕根据题意得：每天的销售额y=〔35﹣x〕〔50+2x〕，〔0＜x＜35〕，
配方得：y=﹣2〔x﹣5〕2+1800，
∴当x=5时，y取得最大值1800．
答：当毎件商品降价5元时，可使毎天的销售额最大，最大销售额为1800元．
点评：此题主要考查了二次函数的最值求法以及列代数式等知识，根据题意得出每天的销售额与降价关系是解决问题的关键．

25．〔2021•天津〕在平面直角坐标系中，己知O为坐标原点，点A〔3，0〕，B〔0.4〕，以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转角为α．∠ABO为β．

〔I 〕如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；
〔II〕如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系：
〔III〕当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式〔直接写出结果即可〕．
考点：相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；旋转的性质。
分析：〔1〕过点D作DM⊥x轴于点M，求证△ADM∽△ABO，根据相似比求AM的长度，推出OM和MD的长度即可；
〔2〕根据等腰三角形的性质，推出α=180°﹣2∠ABC，结合条件推出∠ABC=90°﹣∠ABO=90°﹣β，即α=2β；
〔3〕做过点D作DM⊥x轴于点M，根据勾股定理和△OAB∽△OMD，推出D点的横坐标和纵坐标，然后求出C点坐标，就很容易得到CD的解析式了．
解答：解：〔1〕∵点A〔3，0〕，B〔0，4〕，得OA=3，OB=4，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB==5，
根据题意，有DA=OA=3．
如图①，过点D作DM⊥x轴于点M，
那么MD∥OB，
∴△ADM∽△ABO．有，
得，
∴OM=，
∴，
∴点D的坐标为〔，〕．

〔2〕如图②，由，得∠CAB=α，AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴在△ABC中，
∴α=180°﹣2∠ABC，
∵BC∥x轴，得∠OBC=90°，
∴∠ABC=90°﹣∠ABO=90°﹣β，
∴α=2β；

〔3〕假设顺时针旋转，如图，过点D作DE⊥OA于E，过点C作CF⊥OA于F，
∵∠AOD=∠ABO=β，
∴tan∠AOD==，
设DE=3x，OE=4x，
那么AE=4x﹣3，
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，
∴9=9x2+〔4x﹣3〕2，
∴x=，
∴D〔，〕，
∴直线AD的解析式为：y=x﹣，
∵直线CD与直线AD垂直，且过点D，
∴设y=﹣x+b，
那么b=4，
∵互相垂直的两条直线的斜率的积等于﹣1，
∴直线CD的解析式为y=﹣．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解释式等知识点，此题关键在于结合图形找到相似三角形，求相关线段的长度和有关点的坐标．

26．〔2021•天津〕抛物线，点F〔1，1〕．
〔I〕求抛物线C1的顶点坐标；
〔II〕①假设抛物线C1与y轴的交点为A，连接AF，并延长交抛物线C1于点B，求证：．
②取抛物线C1上任意一点P〔xP，yP〕〔0＜xP＜1〕，连接PF，并延长交抛物线C1于Q〔xQ，yQ〕．试判断是否成立？请说明理由；
〔III〕将抛物线C1作适当的平移，得抛物线，假设2＜x≤m时，y2≤x恒成立，求m的最大值．
考点：二次函数综合题。
分析：〔I〕将抛物线C1：y1=x2﹣x+1的一般式转化为顶点式，即可求得抛物线C1的顶点坐标；
〔II〕①由A〔0，1〕，F〔1，1〕，可得AB∥x轴，即可求得AF与BF的长，那么问题得解；
②过点P〔xp，yp〕作PM⊥AB于点M，即可求得PF=yp，同理QF=yQ，然后由△PMF∽△QNF，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；
〔III〕令y3=x，设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x0，x0′，且x0＜x0′，观察图象，随着抛物线C2向右下不断平移，x0，x0′的值不断增大，当满足2＜x≤m，y2≤x恒成立时，m的最大值在x0′处取得．可得：当x0=2时，所对应的x0′即为m的最大值．
解答：解：〔I〕∵y1=x2﹣x+1=〔x﹣1〕2+，
∴抛物线C1的顶点坐标为〔1，〕；

〔II〕①证明：根据题意得：点A〔0，1〕，
∵F〔1，1〕，
∴AB∥x轴，得AF=BF=1，
∴+=2；

②+=2成立．
理由：
如图，过点P〔xp，yp〕作PM⊥AB于点M，
那么FM=1﹣xp，PM=1﹣yp，〔0＜xp＜1〕，
∴Rt△PMF中，由勾股定理，
得PF2=FM2+PM2=〔1﹣xp〕2+〔1﹣yp〕2，
又点P〔xp，yp〕在抛物线C1上，
得yp=〔xp﹣1〕2+，即〔xp﹣1〕2=2yp﹣1，
∴PF2=2yp﹣1+〔1﹣yp〕2=yp2，
即PF=yp，
过点Q〔xQ，yQ〕作QN⊥AB，与AB的延长线交于点N，
同理可得：QF=yQ，
∵∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ，
∴△PMF∽△QNF，
∴，
这里PM=1﹣yp=1﹣PF，QN=yQ﹣1=QF﹣1，
∴，
即=2；

〔III〕令y3=x，
设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x0，x0′，且x0＜x0′，
∵抛物线C2可以看作是抛物线y=x2左右平移得到的，
观察图象，随着抛物线C2向右下不断平移，x0，x0′的值不断增大，
∴当满足2＜x≤m，y2≤x恒成立时，m的最大值在x0′处取得．
可得：当x0=2时，所对应的x0′即为m的最大值．
于是，将x0=2代入〔x﹣h〕2=x，
有〔2﹣h〕2=2，
解得：h=4或h=0〔舍去〕，
∴y2=〔x﹣4〕2．
此时，由y2=y3，得〔x﹣4〕2=x，
解得：x0=2，x0′=8，
∴m的最大值为8．

点评：此题考查了二次函数的一般式与顶点式的转化，相似三角形的判定与性质以及最大值等问题．此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
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