2023届内蒙古自治区兴安盟乌兰浩特市第十三中学九年级数学第一学期期末统考试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．反比例函数图象上的两点为，且，则下列表达式成立的是（ ）
A． B． C． D．不能确定
2．二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．若一元二次方程x2﹣4x﹣4m＝0有两个不等的实数根，则反比例函数y＝的图象所在的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
4．下列图形：①国旗上的五角星，②有一个角为60°的等腰三角形，③一个半径为π的圆，④两条对角线互相垂直平分的四边形，⑤函数y＝的图象，其中既是轴对称又是中心对称的图形有（　　）
A．有1个 B．有2个 C．有3个 D．有4个
5．点关于原点的对称点是　　
A． B． C． D．
6．已知二次函数，当时，该函数取最大值8.设该函数图象与轴的一个交点的横坐标为，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，D是等边△ABC外接圆上的点，且∠CAD=20°，则∠ACD的度数为（ ）

A．20° B．30° C．40° D．45°
9．如图，A 、 B是曲线上的点，经过A、 B两点向x 轴、y轴作垂线段，若S阴影＝1 则 S1+S2 =( )

A．4 B．5 C．6 D．8
10．如图，中，点、分别在、上，，，则与四边形的面积的比为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：(1)、(2，3)、(4，5，6)、(7，8，9，10)、……，若An=(a，b)表示正整数n为第a组第b个数(从左往右数)，如A7=(4，1)，则A20=______________．
12．将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ．
13．为了估计一个不透明的袋子中白球的数量袋中只有白球，现将5个红球放进去这些球除颜色外均相同随机摸出一个球记下颜色后放回每次摸球前先将袋中的球摇匀，通过多次重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中白球的个数大约为______．
14．因式分解：______.
15．一元二次方程x2﹣x﹣=0配方后可化为__________．
16．如图，点，，，在上，，，，则________．

17．已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝4 cm，则PA＝____cm．
18．在一个不透明的盒子里有2个红球和个白球，这些求除颜色外其余完全相同，摇匀后 随机摸出一个，摸出红球的概率是，则的值为__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）为弘扬中华民族传统文化，某市举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式为 “双人组”．小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
20．（6分）某公司2019年10月份营业额为万元，12月份营业额达到万元，求该公司两个月营业额的月平均增长率.
21．（6分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，点为抛物线的顶点，为线段中点.
（1）求的值；
（2）求证：；
（3）以抛物线的顶点为圆心，为半径作，点是圆上一动点，点为的中点（如图2）；
①当面积最大时，求的长度；
②若点为的中点，求点运动的路径长.

22．（8分）如图，已知点在反比例函数的图像上．
（1）求a的值；
（2）如果直线y=x+b也经过点A，且与x轴交于点C，连接AO，求的面积．

23．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，P是⊙O上一点，请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线．

24．（8分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
（1）分别写出图中点A和点C的坐标；
（2）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；
（3）求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）.

25．（10分）为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%．
（1）求该广场绿化区域的面积；
（2）求广场中间小路的宽．

26．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)过点M(-2，3)，顶点坐标为N(-1，4)，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当PM+PB的值最小时，求点P的坐标；

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，，然后分类讨论：0＜ ＜得到；当＜0＜得到＜；当＜＜0得到．
【详解】∵反比例函数图象上的两点为，，
∴，
∴，，
当0＜ ＜，；
当＜0＜，＜；
当＜＜0，；
故选D.
【点睛】
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键.
2、B
【分析】根据抛物线的顶点式：，直接得到抛物线的顶点坐标．
【详解】解：由抛物线为：，
抛物线的顶点为：
故选B．
【点睛】
本题考查的是抛物线的顶点坐标，掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
3、B
【分析】首先根据一元二次方程根的判别式确定m的取值范围，进而可得m+2的取值范围，然后再根据反比例函数的性质可得答案．
【详解】∵一元二次方程x2﹣4x﹣4m=0有两个不等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=16+16m＞0，
∴m＞﹣1，
∴m+2＞1，
∴反比例函数y=的图象所在的象限是第一、三象限，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式，关键是正确确定m的取值范围．
4、C
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义可得答案．
【详解】解：①国旗上的五角星，是轴对称图形，不是中心对称图形；
②有一个角为60°的等腰三角形，是轴对称图形，是中心对称图形；
③一个半径为π的圆，是轴对称图形，是中心对称图形；
④两条对角线互相垂直平分的四边形，是轴对称图形，是中心对称图形；
⑤函数y＝的图象，不是轴对称图形，是中心对称图形；
既是轴对称又是中心对称的图形有3个，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，以及反比例函数图象和线段垂直平分线，关键是掌握轴对称图形和中心对称图形定义．
5、C
【解析】解：点P(4，﹣3)关于原点的对称点是(﹣4，3)．
故选C．
【点睛】
本题考查关于原点对称的点的坐标，两个点关于原点对称时，两个点的横、纵坐标符号相反，即P(x，y)关于原点O的对称点是P′(﹣x，﹣y)．
6、B
【分析】利用函数与x轴的交点，求出横坐标，根据开口方向、以及列出不等式组，解不等式组即可.
【详解】∵二次函数，当时，该函数取最大值8
∴，
当y=0时，
∴
∵
∴
∴
∴
故选：B
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.
7、D
【分析】由题意先根据已知条件得出a＝b，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴a＝b，
∴＝＝．
故选：D．
【点睛】
本题考查比例的性质和代数式求值，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
8、C
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠D=180°-∠B=120°，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】∴∠B=60°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D=180°−∠B=120°，
∴∠ACD=180°−∠DAC−∠D=40°，
故选C.
9、D
【分析】B是曲线上的点，经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段围成的矩形面积都是5，从而求出S1和S2的值即可
【详解】∵A、B是曲线上的点，经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段围成的矩形面积都是5，
,∵S阴影＝1，∴S1=S2=4，即S1+S2=8，
故选D
【点睛】
本题主要考查反比例函数上的点向坐标轴作垂线围成的矩形面积问题，难度不大
10、C
【分析】因为DE∥BC，所以可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD：DB=1：2，
∴AD：AB=1：3，
∴，
∴△ADE的面积与四边形DBCE的面积之比=1：8，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、 (6，5)
【分析】通过新数组确定正整数n的位置，An=(a，b)表示正整数n为第a组第b个数(从左往右数)，
所有正整数从小到大排列第n个正整数，第一组（1），1个正整数，第二组（2,3）2个正整数，第三组（4,5,6）三个正整数，…，这样1+2+3+4+…+a> n，而1+2+3+4+…+(a-1)<n，能确第a组a个数从哪一个是开起，直到第b个数(从左往右数)表示正整数n
A7表示正整数7按规律排1+2+3+4=10>7，1+2+3=6<7，说明7在第4组，第四组应有4个数为（7,8,9,10）而7是这组的第一个数，为此P7=（4,1），
理解规律A20，先求第几组排进20，1+2+3+4+5+6=21>20，由1+2+3+4+5=15，第六组从16开始，按顺序找即可．
【详解】A20是指正整数20的排序，按规律1+2+3+4+5+6=21>20，说明20在第六组，而1+2+3+4+5=15<20，第六组从16开始，取6个数即第六组数（16，17，18，19，20，21），从左数第5个数是20，故A20=（6，5）．
故答案为：（6，5）．
【点睛】
本题考查按规律取数问题，关键是读懂An=（a，b）的含义，会用新数组来确定正整数n的位置．
12、y=x1+x﹣1．
【解析】根据平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加．上下平移只改变点的纵坐标，下减上加．因此，将抛物线y=x1+x向下平移1个单位，所得抛物线的表达式是y=x1+x﹣1．
13、20个
【解析】∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率是0.2，口袋中有5个红球，
∵假设有x个白球，
∴=0.2，
解得：x=20，
∴口袋中有白球约有20个．
故答案为20个．
14、
【分析】先提取公因式，然后用平方差公式因式分解即可.
【详解】解：
故答案为：.
【点睛】
此题考查的是因式分解，掌握提取公因式法和公式法的结合是解决此题的关键.
15、
【分析】移项，配方，即可得出选项．
【详解】x2﹣x﹣=0
x2﹣x=
x2﹣x+=+

故填：.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．
16、70°
【分析】根据=，得到，根据同弧所对的圆周角相等即可得到，根据三角形的内角和即可求出.
【详解】∵=，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为
【点睛】
考查圆周角定理和三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
17、2－2
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=AB，代入运算即可．
【详解】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP=4×=cm，
故答案为：（2－2）cm.
【点睛】
此题考查了黄金分割的定义，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，难度一般．
18、1
【分析】根据红球的概率结合概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可
【详解】解：∵摸到红球的概率为
∴
解得n=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率

三、解答题(共66分)
19、
【分析】画出树状图，然后根据概率公式列式计算，即可得到答案.
【详解】解：画树状图为：

共有12种等可能的结果数；
其中恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的结果数为1，
∴恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率=；
【点睛】
本题考查了列表法和树状图法，以及概率的公式，解题的关键是熟练掌握列表法和树状图法求概率.
20、
【分析】设该公司两个月营业额的月平均增长率为，根据题目中的等量关系列出方程即可求解.
【详解】设该公司两个月营业额的月平均增长率为，
依题意，得:，
解得:(不合题意，舍去).
答:该公司两个月营业额的月平均增长率为.
【点睛】
本题考查的是增长率问题，比较典型，属于基础题型，关键是掌握增长率问题数量关系及其一般做法.
21、（1），；（2）证明见解析；（3）①或；②.
【分析】（1）将代入二次函数的解析式即可求解；
（2）证得是等边三角形即可证得结论；
（3）①根据题意，当或时，或面积最大，利用三角形中位线定理可求得的长，利用勾股定理可求得，即可求得答案；
②根据点M的运动轨迹是半径为2的，则的中点的运动轨迹也是圆，同样，的中点的运动轨迹也是圆，据此即可求得答案．
【详解】∵二次函数的图象与轴交于两点，
∴，
解得：，
故答案为：，；
（2）由(1)得：抛物线的解析式为，
∵二次函数的图象与轴交于两点，
∴抛物线的对称轴为：，
∴顶点的坐标为：，，
∵，
，
∴，
∴是等边三角形，
∵为线段中点，
∴；
（3）①∵为定值，当时，面积最大，如图，

由(2)得，，，
∴∥，
∵点为线段中点，点为的中点，
∴∥，,
∴三点共线，
在Rt中，，，
∴，
∴；
同理，当时，面积最大，
同理可求得：；
故答案为：或；
②如图，
∵点E的运动轨迹是，半径为，
∴的中点的运动轨迹也是圆，半径为1，
∴的中点M的运动轨迹也是圆，半径为，
∴点M运动的路径长为：．
故答案为：．

【点睛】
主要考查了二次函数的综合，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
22、（1）2；（2）1
【分析】（1）将A坐标代入反比例函数解析式中，即可求出a的值；
（2）由（1）求出的a值，确定出A坐标，代入直线解析式中求出b的值，令直线解析式中y=0求出x的值，确定出OC的长，△AOC以OC为底，A纵坐标为高，利用三角形面积公式求出即可．
【详解】（1）将A(1，a)代入反比例解析式得：；
（2）由a=2，得到A(1，2)，代入直线解析式得：1+b=2，
解得：b=1，即直线解析式为y=x+1，
令y=0，解得：x=-1，
即C(-1，0)，OC=1，
则S△AOC=×1×2=1．
【点睛】
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
23、见解析.
【分析】如图①中连接PA，根据等弧所对得圆周角相等，易知∠APB=∠APC，所以PA就是∠BPC的平分线；如图②中，连接AO延长交⊙O于E，连接PE，由垂径定理和圆周角定理易知∠EPB＝∠EPC．
【详解】如图①中，连接PA，PA就是∠BPC的平分线．

理由：∵AB＝AC，
∴＝，
∴∠APB＝∠APC．
如图②中，连接AO延长交⊙O于E，连接PE，PE就是∠BPC的平分线．

理由：∵AB＝AC，
∴＝，
∴＝，
∴∠EPB＝∠EPC．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理和垂径定理，根据等弧所对的圆周角相等得到角平分线是关键.
24、（1）、（2）见解析（3）
【解析】试题分析：（1）根据点的平面直角坐标系中点的位置写出点的坐标；（2）根据旋转图形的性质画出旋转后的图形；（3）点A所经过的路程是以点C为圆心，AC长为半径的扇形的弧长．
试题解析：（1）A（0,4）C（3,1）
（2）如图所示：
（3）根据勾股定理可得：AC=3，则．
考点：图形的旋转、扇形的弧长计算公式．
25、（1）该广场绿化区域的面积为144平方米；（2）广场中间小路的宽为1米．
【分析】（1）根据该广场绿化区域的面积＝广场的长×广场的宽×80%，即可求出结论；
（2）设广场中间小路的宽为x米，根据矩形的面积公式（将绿化区域合成矩形），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：（1）18×10×80%＝144（平方米）．
答：该广场绿化区域的面积为144平方米．
（2）设广场中间小路的宽为x米，
依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144，
整理，得：x2﹣19x+18＝0，
解得：x1＝1，x2＝18（不合题意，舍去）．
答：广场中间小路的宽为1米．
【点睛】
本题考查的知识点是一元二次方程的应用，找准题目中的等量关系式是解此题的关键．
26、（1）二次函数的解析式为：；（2）点P的坐标为(-1，2)
【分析】（1）把顶点N的坐标和点M的坐标代入计算，即可求出抛物线的解析式；
（2）先求出点A、B的坐标，连接AM，与对称轴相交于点P，求出直线AM的解析式，即可求出点P的坐标．
【详解】解：（1）由抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的图象过点M(-2，3)，顶点坐标为N(-1，4)，得到关于a、b、c的方程组：

解得：a=-1，b=2，c=3，
∴二次函数的解析式为：.
（2）如图：连接AM，与对称轴相交于点P，连接BP，

∵抛物线与x轴相交于点A、B，则点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴PA=PB，
∴PM+PB的最小值为PA+PM=AM的长度；
∵，令y=0，则
∴，
∴，，
∴点A的坐标为：（1，0），
∵点M的坐标为（2，3），
∴直线AM的解析式为：，
当x=时，y=2，
∴点P的坐标为（1，2）；
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解一元二次方程，一次函数的性质，待定系数法求解析式，最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到点P的坐标．