运筹管理应用模型.pptx

经济数学模型经济数学模型第第 九九 章章运筹管理运筹管理应用模型用模型经济数学模型经济数学模型第一第一节资源最源最优利用利用问题问：A,B各生各生产多少多少,可可获最大利最大利润?某企某企业用三种用三种资源生源生产A，B两两 种种产品，有关数据如下：品，有关数据如下：资源资源 产品产品 A B A B 备用资源备用资源 煤煤 1 2 301 2 30（吨）（吨）劳力劳力 3 2 603 2 60（小时）（小时）电力电力 0 2 240 2 24（千瓦）（千瓦）利润（万元）利润（万元）40 5040 50经济数学模型经济数学模型数学模型数学模型 x x1 1+2x2x2 2 30 30，3 3x x1 1 +2+2x x2 2 60 60，2 2x x2 2 24 24，x x1 1，x x2 2 0 0；max max Z Z=40=40 x x1 1 +50+50 x x2 2s.ts.t.设x1,x2分分别表示生表示生产A,B的数量的数量经济数学模型经济数学模型把把m个个发点的点的货物运到物运到n个收点去，已知第个收点去，已知第i个个发点的可供点的可供应量量为ai(i=1,2,m),第第j个收个收点的需求量点的需求量为bj(j=1,2,n)，cij为从第从第i个个发点到第点到第j个收点的运个收点的运输单价，价，应如何运如何运输才能才能使使总运运费最省？最省？第二第二节运运输问题运运输问题有三种情况有三种情况（1）产销平衡；平衡；（2）供）供过于求；（于求；（3）供不）供不应求求经济数学模型经济数学模型设xij为从第从第i个个发点到第点到第j个收点的运量个收点的运量i=1,2,m,i=1,2n.（1）产销平衡数学模型平衡数学模型经济数学模型经济数学模型（2）供不）供不应求数学模型求数学模型经济数学模型经济数学模型（3）供）供过于求数学模型于求数学模型经济数学模型经济数学模型例例有一个公司生有一个公司生产一种称一种称为“特效特效”牌的除臭牌的除臭剂。在夏季，特效牌的需求量比在夏季，特效牌的需求量比较高，因此季高，因此季节影响在生影响在生产决策中是一个重要因素。除臭决策中是一个重要因素。除臭剂的各季的各季预测销售量可估售量可估计得相当准确，如表（得相当准确，如表（a）所示。最大生）所示。最大生产能力在一年中能力在一年中也有也有变化（由于化（由于劳动力的力的变化，化，设备的定期的定期检修等）并修等）并在表（在表（b）中）中给出。每盒的生出。每盒的生产成本第一、二季度成本第一、二季度为5元，元，由于工人工由于工人工资的增加，在第三、四季度将增加的增加，在第三、四季度将增加为6元。如元。如果除臭果除臭剂在生在生产的当季没有的当季没有销售的售的话，保管在，保管在仓库里每里每盒盒还需要需要1元的元的库存存费用。公司希望制定一个成本最低的用。公司希望制定一个成本最低的“特效特效”牌除臭牌除臭剂生生产计划来划来满足市足市场需要，建立模型。需要，建立模型。经济数学模型经济数学模型季度预测需要量（盒）季度最大生产能力（盒）1100 0001130 0002140 0002150 0003200 0003150 000480 0004130 000表表a表表b经济数学模型经济数学模型成 本一季度二季度三季度四季度产量一季度5678130000二季度M567150000三季度MM67150000四季度MMM6130000销量100000 140000 200000 80000 560000520000经济数学模型经济数学模型数学模型数学模型为经济数学模型经济数学模型第三第三节食食谱问题例例 动物生物生长对饲料中三种料中三种营养成分：蛋白养成分：蛋白质、矿物物质、维生素特生素特别重要，所以要求配料重要，所以要求配料时每每10公斤公斤饲料至少需要料至少需要蛋白蛋白质70g、矿物物质3g、维生素生素0.1g，该公司公司买到五种不到五种不同的同的饲料，每种料，每种饲料料1所含所含营养成分如表养成分如表饲料饲料蛋白质蛋白质(g)(g)矿物质矿物质(g)(g)维生素维生素(mg)(mg)A130.10.05A220.50.10A310.20.02A460.20.20A580.50.08经济数学模型经济数学模型5 53 34 47 72 2成本（元）成本（元）A A5 5A A4 4A A3 3A A2 2A A1 1饲料饲料每种饲料每种饲料1 1的成本如表的成本如表要求确定既能满足动物生长所需，又使总成本为最低的饲要求确定既能满足动物生长所需，又使总成本为最低的饲料配方。料配方。建立数学模型建立数学模型设xj(j=1,2,5)表示表示10混合混合饲料中含第料中含第j种种饲料的数量料的数量.经济数学模型经济数学模型饲料饲料蛋白质蛋白质(g)(g)矿物质矿物质(g)(g)维生素维生素(mg)(mg)成本成本A A1 13 30.10.10.050.052 2A A2 22 20.50.50.100.107 7A A3 31 10.20.20.020.024 4A A4 46 60.20.20.200.203 3A A5 58 80.50.50.080.085 5x1x2x3x4x5经济数学模型经济数学模型一般食一般食谱问题可叙述可叙述为：设有有n种食物，每种食物中含有种食物，每种食物中含有m 种种营养成分，用养成分，用aij表表示一个示一个单位的第位的第j种食物含第种食物含第i种种营养的数量，用养的数量，用bi表示表示对第第i种种营养的最低需求量，养的最低需求量，cj表示第表示第j种食物的种食物的单价，价，xj表表示所用第示所用第j种食物的数量，种食物的数量，应如何搭配，能如何搭配，能满足足m种种营养养成分需求，又使食物成分需求，又使食物总成本最低？成本最低？经济数学模型经济数学模型有一批有一批长10m的的钢管，管，现需裁出需裁出2m、3m、4m的的钢管分管分别为20、15、15根。根。问如何下料，才能使所用原料数最少如何下料，才能使所用原料数最少？分析分析先将在先将在10m原料上下料的不同方式列出原料上下料的不同方式列出方式方式1 12 23 34 45 56 67 7需求需求2m2m5 53 33 32 21 11 10 020203m3m0 01 10 02 21 10 02 215154m4m0 00 01 10 01 12 21 11515余料余料0 01 10 00 01 10 00 0第四第四节合理下料合理下料问题经济数学模型经济数学模型数学模型数学模型设设x xj j用第用第j j种方式下料所用钢管原料数种方式下料所用钢管原料数经济数学模型经济数学模型一般的合理下料一般的合理下料问题可叙述可叙述为：要利用某原材料下要利用某原材料下A1,A2,Am一共一共m 种零件毛料，在一种零件毛料，在一块原料上能原料上能设计出出n 种不同的下料方式，种不同的下料方式，设在第在第j种下料方种下料方式中，可得式中，可得Ai种零件种零件aij个，第个，第i种零件的需求量种零件的需求量为bi（如表）（如表）.问应采取什么方式，使既采取什么方式，使既满足需要，又使所用原料最少？足需要，又使所用原料最少？方式方式1 1n n需求量需求量A A1 1a a1111a a1n1nb b1 1A Am ma am1m1a amnmnb bm m将在原料上下料的不同方式列出将在原料上下料的不同方式列出经济数学模型经济数学模型数学模型数学模型设设x xj j为为用第用第j j 种方式下料所用原料数种方式下料所用原料数经济数学模型经济数学模型第五第五节指派指派问题某大学打算在暑期某大学打算在暑期对三幢教学楼三幢教学楼进行行维修修,该校校让三个建三个建筑公司筑公司对每幢楼的修理每幢楼的修理费用用进行行报价承包价承包(见表表,单位位:万元万元),每个建筑公司只能修理一幢教学楼，每个建筑公司只能修理一幢教学楼，该大学必大学必须把各教把各教学楼指派学楼指派给不同建筑公司，不同建筑公司，为使使报价价总和最小，和最小，应指定各指定各建筑公司承包哪一幢教学楼？建筑公司承包哪一幢教学楼？报报 价价 数数 目（万元目（万元 )教学教学1 1楼楼教学教学2 2楼楼教学教学3 3楼楼建一公司建一公司131324241010建二公司建二公司171719191515建三公司建三公司202022222121x11x22x12x13x21x32x31x23x33经济数学模型经济数学模型数学模型数学模型为经济数学模型经济数学模型一般的指派一般的指派问题可叙述可叙述为：设有有n项任任务需派需派n个人去完成，但由于任个人去完成，但由于任务性性质及个人及个人专长不同，因此各人完成各任不同，因此各人完成各任务的效率（或需的效率（或需时间、花、花费成本）成本）不同，不同，试问应如何安排，使如何安排，使总效率（或需效率（或需时间、花、花费成本最成本最少）最高？少）最高？设tij表示第表示第i个人完成第个人完成第j 件任件任务的效率的效率经济数学模型经济数学模型数学模型数学模型经济数学模型经济数学模型第六第六节投投资决策决策问题公司公司拟在某市在某市东、南、西三区建立、南、西三区建立连锁店，店，拟议中有中有7个个位置位置Ai(i=1,2,7)可供可供选择，规定定东区在区在A1,A2,A3中至中至多多选2个，西区在个，西区在A4,A5中至少中至少选1个，南区在个，南区在A6,A7中只中只选1个。若个。若选用用Ai点，投点，投资bi元，估元，估计每年每年获利利ci元，但元，但投投资总额不得超不得超过B元。元。问应如何如何选址，可使每年利址，可使每年利润最大？最大？经济数学模型经济数学模型数学模型数学模型经济数学模型经济数学模型效率效率一车间一车间二车间二车间三车间三车间A A3 35 56 6B B7 74 45 5C C4 46 68 8第七第七节生生产配套配套问题实例例 设第一、二、三个第一、二、三个车间生生产零件零件A、B、C的效率（的效率（单位位时间生生产的零件数）如下的零件数）如下,假假设三种零件各一个配成一套。三种零件各一个配成一套。应如何分配生如何分配生产任任务，可使生，可使生产的成套的成套产品最多？品最多？设总生生产时间为1，xij(i=1,2,3,j=1,2,3)表示第表示第i个零件由个零件由第第j个个车间生生产的生的生产时间。共生。共生产配套配套产品品Z套套.x11x22x12x13x21x32x31x23x33经济数学模型经济数学模型数学模型数学模型经济数学模型经济数学模型一般的生一般的生产配套配套问题可叙述可叙述为：设有有n个个车间，要生，要生产m 种种产品，假品，假设这种种产品每种一件配成品每种一件配成一套。一套。i车间单位位时间生生产j种零件数种零件数为 aij,i=1,2,，n,j=1,2,，m.问如何安排任如何安排任务，使生，使生产的成套的成套产品最多？品最多？设总时间为1.第第j个个车间用于生用于生产第第i种种产品的品的时xij ,(i=1,m,j=1,n)，每天生，每天生产Z套套.数学模型数学模型经济数学模型经济数学模型2024/5/8 2024/5/8 周三周三2929经济数学模型经济数学模型配套配套问题的性的性质效率矩阵对效率矩效率矩阵的某行（列）同乘一个常数后最的某行（列）同乘一个常数后最优解不解不变。经济数学模型经济数学模型 投投资的收益和的收益和风险 市市场上有上有n种种资产Si(i=1,2,n)可以可以选择，现用数用数额为M的相当大的的相当大的资金作一个金作一个时期的投期的投资。财务人人员分析估算出分析估算出这一一时期内期内购买Si的平均收益率的平均收益率为ri%,风险损失率失率为qi%,投投资越分散，越分散，总的的风险越小，越小，总体体风险可用投可用投资的的Si中最大的中最大的一个一个风险来度量。来度量。购买Si时要付交易要付交易费，费率率pi%(不不买无无须付付费).当当购买额不超不超过给定定值ui时，交易，交易费按按购买ui计算算.另外，假定同期另外，假定同期银行存款利率是行存款利率是r0,既无交易既无交易费又无又无风险。(r0=5%)已知已知n=4时的相关数据如下的相关数据如下:经济数学模型经济数学模型SiriqipiuiS1282.51103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540 试给该公司公司设计一种投一种投资组合方案，即用合方案，即用给定定资金金M,有有选择地地购买若干种若干种资产或存或存银行生息，使行生息，使净收益尽收益尽可能大，可能大，总体体风险尽可能小。尽可能小。经济数学模型经济数学模型基本假基本假设1.投投资数数额 M 很大；很大；2.投投资越分散，越分散，总的的风险越小；越小；3.总体体风险Si 用投用投资项目中最大的一个目中最大的一个风险来度量；来度量；4.n种种资产 Si 收益收益之之间是相互独立的；是相互独立的；5.在投在投资期内期内,ri,pi,qi,r0为定定值，不受意外因素影响；，不受意外因素影响；6.净收益和收益和总体体风险只受只受ri,pi,qi影响，不受其他因素干影响，不受其他因素干扰。经济数学模型经济数学模型符号符号规定定Si 第第i种投种投资项目目ri,pi,qi 分分别为Si的平均收益率的平均收益率,交易交易费率，率，风险损失率，失率，ui Si的交易定的交易定额,r0 同期同期银行利率行利率xi 投投资项目目Si的的资金金 a 投投资风险度度Q总收益收益经济数学模型经济数学模型 模型的建立与分析模型的建立与分析 1.总体体风险用所投用所投资的的Si中最大的一个中最大的一个风险来来衡量衡量,即即maxqixi，i=1，2,n2购买Si所付交易所付交易费是一个分段函数是一个分段函数,即即而而题目所目所给定的定定的定值ui(单位位:元元)相相对总投投资M很小很小,piui更小更小,可以忽略不可以忽略不计,这样购买Si的的净收益收益为(ri-pi)xi 交易费交易费 =经济数学模型经济数学模型净收益尽可能大收益尽可能大建立模型建立模型总体体风险尽可能小尽可能小多目多目标规划划问题经济数学模型经济数学模型模型模型转化化方法一方法一:固定固定风险水平，水平，优化收益化收益在在实际投投资中，投中，投资者承受者承受风险的程度不一的程度不一样，若，若给定定风险一个界限一个界限a，使每，使每项投投资风险 qi xi/Ma，可找到相，可找到相应的投的投资方案。方案。模型一模型一线性性规划模型划模型经济数学模型经济数学模型在在实际问题中，中，为求解方便，将求解方便，将M取取为1，Xi=xi/M，i=0,1,2,3,4模型模型简化化为经济数学模型经济数学模型模型模型转化化方法二方法二:固定盈利水平，极小化固定盈利水平，极小化风险若投若投资者希望者希望总盈利至少达到水平盈利至少达到水平k以上，在以上，在风险最小的最小的情况下情况下寻找相找相应的投的投资组合。合。模型二模型二线性性规划模型划模型经济数学模型经济数学模型模型一的模型一的matlab求解求解 将具体数据代入将具体数据代入,模型一如下模型一如下:由于由于a是任意是任意给定的定的风险度，到底怎度，到底怎样给定没有一个准定没有一个准则，不同的投不同的投资者有不同的者有不同的风险度。我度。我们从从a=0开始，以步开始，以步长a=0.001进行循行循环搜索，搜索，编制程序如下：制程序如下：经济数学模型经济数学模型a=0;while(1.1-a)1%a0.1 c=-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185;Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065;beq=1;A=0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026;b=a;a;a;a;vlb=0,0,0,0,0;vub=;x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);a x=x Q=-val plot(a,Q,.),axis(0 0.1 0 0.5),hold on a=a+0.001;end xlabel(a),ylabel(Q)经济数学模型经济数学模型计算结果：计算结果：经济数学模型经济数学模型模型一模型一结果分析果分析1.风险大，收益也大。大，收益也大。2.当投当投资越分散越分散时，投，投资者承担的者承担的风险越小，越小，这与与题意一意一致。即致。即:冒冒险的投的投资者会出者会出现集中投集中投资的情况，保守的的情况，保守的投投资者者则尽量分散投尽量分散投资。3.曲曲线上的任一点都表示上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和水平的最大可能收益和该收益要求的最小收益要求的最小风险。对于不同于不同风险的承受能力，的承受能力，选择该风险水平下的最水平下的最优投投资组合。合。经济数学模型经济数学模型4.在在a=0.006和和a=0.025附近有一个附近有一个转折点，在折点，在a=0.006点左点左边，风险增加增加很少很少时，利，利润增增长很快。在很快。在a=0.006右右边且在且在a=0.025左左边，风险增加增加很大很大时，利，利润增增长很很缓慢，在慢，在a=0.025右右边，风险增加增加时，利，利润不再增不再增长，达到，达到稳定定值0.2673，所以，所以对于于风险厌恶型投型投资者来者来说，应该选择曲曲线左左边的的转折点作折点作为最最优投投资组合合，此，此时风险度度为 0.0060 收益收益为 0.2019,所所对应投投资方案方案为:x0 x1 x2 x3 x4 0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212对于于风险喜好型投喜好型投资者来者来说，应该选择曲曲线右右边的的转折点作折点作为最最优投投资组合合，此，此时风险度度为 0.025 收益收益为 0.2673,所所对应投投资方案方案为:x0 x1 x2 x3 x4 0 0.9901 0 0 0经济数学模型经济数学模型第八第八节森林管理森林管理问题森林中森林中树木每年要有一批被砍伐出售，木每年要有一批被砍伐出售，为使森林不被耗尽而使森林不被耗尽而每年都有所收每年都有所收获，每砍伐一棵，每砍伐一棵树，就，就应补种一棵幼苗，使的种一棵幼苗，使的森林森林树木木总数不数不变，希望有一个方案，在保持收，希望有一个方案，在保持收获稳定的前定的前提下，提下，获得最大的得最大的经济价价值。模型假模型假设1、把森林中的、把森林中的树木按高度分成木按高度分成n级，第，第k级高度在高度在hk-1到到hk之之间（h0=0），其价，其价值pk元，元，k=1，n，显然有然有 p1p2pn，第一第一级为幼苗，价幼苗，价值为零：零：p1=0.经济数学模型经济数学模型2、开始、开始时，森林中，森林中树木高度分布木高度分布为第第k级数量是数量是xk,设每年砍伐一次，每年砍伐一次，yk为每年第每年第k级所砍伐的棵数所砍伐的棵数.要使每要使每年年维持收持收获，只能砍伐部分，只能砍伐部分树木，留下的数目与木，留下的数目与补种的种的幼苗其高度状幼苗其高度状态与初始状与初始状态相同。相同。3、假、假设每一棵每一棵树木都可从幼苗木都可从幼苗长到收到收获，且砍伐一棵，且砍伐一棵补种一棵幼苗。故种一棵幼苗。故总量保持不量保持不变森林森林树木木总数数为S，则经济数学模型经济数学模型4、在一个生、在一个生长期（即两次收期（即两次收获之之间），假），假设树木至多木至多只能生只能生长一个高度一个高度级，即从，即从k级进入入k+1级，也可能因，也可能因某些原因留在第某些原因留在第k级。并假。并假设每一棵幼苗都生每一棵幼苗都生长到被收到被收获（不考（不考虑死亡的可能性）。假死亡的可能性）。假设在每一个生在每一个生长期内，期内，第第k级的的树木木进入第入第k+1级的比例的比例为gk，于是留在原，于是留在原级的比例的比例为1-gk.经济数学模型经济数学模型模型建立模型建立设X=(x1,x2,xn)T，所以所以GX表示表示经过一个生一个生长期后期后树木高度的分布。木高度的分布。每次收获砍伐总数为每次收获砍伐总数为 而补种的棵数等于砍伐总数而补种的棵数等于砍伐总数 经济数学模型经济数学模型要保持初始状要保持初始状态不不变，有，有因而有因而有（否（否则，各，各级数目就会越来越少。）数目就会越来越少。）总收益收益经济数学模型经济数学模型数学模型一数学模型一经济数学模型经济数学模型由模型一可推由模型一可推导出等价模型二出等价模型二k=2,3,，n 经济数学模型经济数学模型模型二若忽略整数模型二若忽略整数约束，就是除非束，就是除非负要求外只有一个不等式要求外只有一个不等式约束的束的线性性规划。划。这种情况是很容易求解的。一般地我种情况是很容易求解的。一般地我们有有如下如下结果：果：命命题：对于如下形式的于如下形式的线性性规划模型划模型经济数学模型经济数学模型其中其中都是正数。若都是正数。若，则其最其最优解解为，其它，其它(jk),最最优值为显然显然 是可行解且是可行解且 现设x为任一可行解，任一可行解，则故故 是最优解是最优解 经济数学模型经济数学模型河流河流污染与染与净化化问题某河流某河流边上有两个化工厂，流上有两个化工厂，流经第一工厂的河水流量是每天第一工厂的河水流量是每天500万万m3，在两厂之，在两厂之间有一条流量有一条流量为每天每天200万万m3的支流。的支流。第一工厂每天排放工第一工厂每天排放工业污水水2万万m3，第二工厂每天排放工，第二工厂每天排放工业污水水1.4万万m3，从第一工厂排放工，从第一工厂排放工业污水在流到第二工厂之前水在流到第二工厂之前有有20%可以自然可以自然净化，根据化，根据环保要求，河流中的工保要求，河流中的工业污水含水含量量应不大于不大于2，若，若这两厂都各自两厂都各自处理一部分理一部分污水，第一工厂水，第一工厂处理理污水的成本水的成本为0.1元元/m3，第二工厂，第二工厂处理理污水的成本水的成本为0.08元元/m3，问在在满足足环保的要求下，各化工厂保的要求下，各化工厂应处理多少理多少污水，使两厂水，使两厂总的的处理理污水水费用最少？用最少？经济数学模型经济数学模型设xj(j=1,2)为第第j个化工厂每天个化工厂每天处理理污水量（河水水量（河水流量中忽略了工厂的排入量。）流量中忽略了工厂的排入量。）数学模型工厂1工厂2500200700经济数学模型经济数学模型2024/5/8 2024/5/8 周三周三5656