导数的概念与计算练习题带答案.doc

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导数概念与计算
1．若函数，满足，则（ ）
A． B． C．2 D．0
2．已知点在曲线上，曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，若，则（ ）
A． B．e C． D．
4．曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．设，，，…，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B． C．1 D．
7．曲线在与轴交点的切线方程为________________．
8．过原点作曲线的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________．
9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式：
（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）
10．已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）求证：当时，．

11．设函数，曲线在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

12．设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

导数作业1答案——导数概念与计算
1．若函数，满足，则（ ）
A． B． C．2 D．0
选B．
2．已知点在曲线上，曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
解：由题意知，函数f（x）＝x4－x在点P处的切线的斜率等于3，即f′（x0）＝4x－1＝3，∴x0＝1，将其代入f （x）中可得P（1,0）．
选D．
3．已知，若，则（ ）
A． B．e C． D．
解：f（x）的定义域为（0，＋∞），
f′（x）＝ln x＋1，由f′（x0）＝2，
即ln x0＋1＝2，解得x0＝e.
选B．
4．曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．1 B．2 C． D．
解：∵y′＝ex，故所求切线斜率k＝ex|x＝0＝e0＝1.
选A．
5．设，，，…，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
解：∵f0（x）＝sin x，f1（x）＝cos x，
f2（x）＝－sin x，f3（x）＝－cos x，f4（x）＝sin x，…
∴fn（x）＝fn＋4（x），故f2 012（x）＝f0（x）＝sin x，
∴f2 013（x）＝f′2 012（x）＝cos x.
选C．
6．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B． C．1 D．
解：由f（x）＝2xf′（1）＋ln x，得f′（x）＝2f′（1）＋，
∴f′（1）＝2f′（1）＋1，则f′（1）＝－1.
选B．
7．曲线在与轴交点的切线方程为________________．
解：由y＝ln x得，y′＝，∴y′|x＝1＝1，∴曲线y＝ln x在与x轴交点（1,0）处的切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
8．过原点作曲线的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________．
解：y′＝ex，设切点的坐标为（x0，y0）则＝ex0，即＝ex0，∴x0＝1.因此切点的坐标为（1，e），切线的斜率为e.
9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式：
（1）
（2）
（3）
（4）
∵y＝xcos x－sin x，
∴y′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
（5）
∵y＝xe1－cos x，
∴y′＝e1－cos x＋xe1－cos x（sin x）＝（1＋xsin x）e1－cos x.
（6）
y＝＝1＋∴y′＝－2＝.
10．已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）求证：当时，．
解：（1）函数f（x）的定义域为（－1，＋∞）．
f′（x）＝－1＝
f′（x）与f（x）随x变化情况如下：
x
（－1,0）
0
（0，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
f（x）

0

因此f（x）的递增区间为（－1,0），递减区间为（0，＋∞）．
（2）证明　由（1） 知f（x）≤f（0）．
即ln（x＋1）≤x
设h（x）＝ln （x＋1）＋－1
h′（x）＝－＝
可判断出h（x）在（－1,0）上递减，在（0，＋∞）上递增．
因此h（x）≥h（0）即ln（x＋1）≥1－.
所以当x>－1时1－≤ln（x＋1）≤x.

11．设函数，曲线在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
（1）解　方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝.又f′（x）＝a＋，于是
解得故f（x）＝x－.
（2）证明　设P（x0，y0）为曲线上任一点，
由f′（x）＝1＋知，曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为y－y0＝（x－x0），
即y－＝（x－x0）．
令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为（2x0,2x0）．
所以点P（x0，y0）处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.
故曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.

12．设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
解　（1）函数f（x）的定义域为（－ ∞，＋∞），
f′（x）＝2x＋ex－（ex＋xex）＝x（2－ex），

0

-
0
+
0
-

递减
极小
递增
极大
递减
所以，递增区间为，递减区间为和．
（2）由（1）可知

0

2

-
0
+
0
-

递减
极小
递增
极大
递减

因为，，
所以，
故．

.