北京市西城区2017—2018学年度第一学期期末高一数学试题及参考答案.docx

北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷
高一数学 2018.1
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
A卷[三角函数与平面向量] 本卷满分：100分
题号
一
二
三
本卷总分
17
18
19
分数

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.已知，且，则的终边所在的象限是（ ）
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限

2.函数的最小正周期为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）

3.如果向量，，那么（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）

4.计算（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
A

B
C
D
O
5.如图，在矩形中，（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）
6.已知向量满足，，，则向量的夹角为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
7.已知是函数图象一个对称中心的横坐标，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
8.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
（A）向左平移个单位长度
（B）向右平移个单位长度
（C）向左平移个单位长度
（D）向右平移个单位长度
9. 函数（）的图象如图所示，
分别为图象的最高点和最低点，为坐标
原点，若，则（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）
10.已知在直角三角形中，为直角，，，若是边上的高，
点在△内部或边界上运动，则的取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.
11. _____.
12. 已知向量，，若，则实数______.
13. 角的始边与轴正半轴重合，终边上一点坐标为，则______.
14. 函数的最大值为______.
15. 已知点，，如果，那么点的坐标为______；
设点，且是钝角，则的取值范围是______.
16. 已知函数. 给出下列结论：
①函数是偶函数；
②函数在区间上是增函数；
③函数的最小正周期是；
④函数的图象关于直线对称.
其中正确结论的序号是_____.（写出所有正确结论的序号）

三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知，且.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.

18．（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值；
O
x
y
1
-1

（Ⅲ）写出的单调递增区间.

19．（本小题满分12分）
如图，已知，，，圆是以为圆心、半径为的圆，圆是以为圆心、半径为的圆，设点、分别为圆、圆上的动点， （且与同向），设（）.
（Ⅰ）当，且时，求的值；
（Ⅱ）用表示出，并给出一组的值，使得最小.

B卷 [学期综合]本卷满分：50分
题号
一
二
本卷总分
6
7
8
分数

一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.
1．设全集，集合，，则_____．
2．函数的定义域为_____.
3．已知函数则_____；若，则_____．
4．，，三个数中最大的是_____．
5．某购物网站在2017年11月开展“买三免一”活动，规则是“购买3件商品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：

如果在此网站上购买的三件商品价格如下图所示，按照“买三免一”的规则，购买这三件商品的实际折扣为______折.

在这个网站上购买3件商品，按照“买三免一”的规则，这3件商品实际折扣力度最大约为_______折（保留一位小数）.
二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
6．（本小题满分10分）
已知函数是偶函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.

7．（本小题满分10分）
设为实数，函数，.
（Ⅰ）当时，求在区间上的最大值和最小值；
（Ⅱ）求函数的最小值.

8．（本小题满分10分）
若函数满足：对于，都有，，且，则称函数为“函数”.
（Ⅰ）试判断函数与是否是“函数”，并说明理由；
（Ⅱ）设为“函数”，且存在，使，求证：；
（Ⅲ）试写出一个“函数”，满足，且使集合中元素
的个数最少.（只需写出结论）

高一数学第一学期期末试卷 第5页 共5页

高一数学第一学期期末试卷参考答案及评分标准 第4页 共4页
北京市西城区2017— 2018学年度第一学期期末试卷
高一数学参考答案及评分标准2018.1
A卷[三角函数与平面向量] 满分100分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1.C 2.B 3.A 4.A 5.B 6. D 7. B 8. C 9.B 10.D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11. 12. 13. 14. 15.； 16.①③④
注：第15题每空2分. 第16题少选得2分，多选、错选不得分.

三、解答题：本大题共3小题，共36分.
17.（本小题满分12分）
解：解：（Ⅰ）因为，，
所以 ………………3分
. ………………4分
所以. ………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），，
所以. ………………9分
. ………………11分
所以. ………………12分

O
x
y
1
-1

18. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）在上
的图象如图所示.
………………5分

说明：
其它周期上的图象同等给分；
个别关键点错误酌情给分.

（Ⅱ）．
因为，所以， ………………7分
当，即时，
最大值等于，即的最大值等于； ………………8分
当，即时，
最小值等于，即的最小值等于. ………………9分
所以在区间上的最大值为，最小值为.
注：根据图象求出最大、最小值相应给分.
（Ⅲ）函数的单调递增区间为（）. ………………12分

19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）如图，以点为原点，所在直线为轴，与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系.
则，，， ………………2分
. ………………4分
（Ⅱ），，，， ………………7分

x
y
………………9分

因为，所以，
以为变量的二次函数的对称轴
.
因为，所以当时，的最小值为， ………10分
又，所以的最小值为，此时.
所以，当，时，的最小值为. ………………12分

B卷 [学期综合] 满分50分
一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
1. 2. 3. ； 4. 5.；.
注：第3题、第5题每空2分.
二、解答题：本大题共3小题，共30分.
6.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）函数的定义域为.
由得. ………………3分
所以.
因为对于定义域中任意的都成立，
所以. ………………5分
（Ⅱ）函数在区间上是减函数. ………………7分
证明：在上任取，，且，
则， ………………9分
由，得，，，
于是，即.
所以函数在区间上是减函数. ………………10分

7.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）当，时，函数， ………………2分
因为的图象抛物线开口向上，对称轴为，
所以，当时，值最小，最小值为；
当时，值最大，最大值为. ………………4分
（Ⅱ）①当时，函数.
若，则在上单调递减，在上的最小值为；
若，则函数在上的最小值为； ………………6分
②当时，.
若，则在上的最小值为；
若，则在上单调递增，. ………………7分
所以，当时，，的最小值为.
当时，，的最小值为.
当时，的最小值为与中小者. 所以，当时，的最小值为；当时，的最小值为. ………………9分
综上，当时，的最小值为；当时，的最小值为.
………………10分

8.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）对于函数，当时，都有，，
又，所以.
所以是“函数”. ………………2分
对于函数，当时，，，
因为，所以.
所以不是“函数”. ………………4分
（Ⅱ）设，，，.
则
所以，对于，，一定有. ………………6分
因为是“函数”，，所以.
若，则，不符合题意.
若，则，不符合题意.
所以. ………………8分
（Ⅲ） （注：答案不唯一） ………………10分