勾股定理培优.docx
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1、第19讲 勾股定理考点方法破译1会用勾股定理解决简单问题.2会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.3勾股定理提示了直角三角形三边的关系,对于线段的计算,常可由勾股定理列方程进行求解;对于涉及平方关系的等式证明,可根据勾股定理进行论证.经典考题赏析【例1】 (达州)如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是( )A13 B26 C47 D94【解法指导】 观察勾股树,发现正方形A、B的边长恰好是一直角三角形相邻的两直角边.此时直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,即两个较小正方形面积之
2、和等于较大正方形的面积,从而正方形E的面积等于正方形A、B、C、D四个面积之和,故选C【变式题组】第3题图ACBl1l2l3第2题图lA1DCB2第1题图01(安徽)如图,直线l过正方形ABCD的顶点B,点A,C到直线l的距离分别是1和2,则正方形的边长是_.02(浙江省温州)在直线l上的依次摆放着七个正方形(如图所示),己知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1S2S3S4_.BA3cm1cm6cm03(浙江省丽江)如图,已知ABC中,ABC90,ABBC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上,且l1、l2之间的距
3、离为2,l2、l3之间的距离为3,则AC的长是( )ABCD7 【例2】(青岛)如图,长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要_cm;如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要_cm.【解法指导】细线缠绕时绕过几个面,则将这几个面展开后在同一平面内利用线段的公理:两点之间线段最短.画出线路,然后利用勾股定理解决,应填10,.【变式题组】01(恩施)如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是( )第2题
4、图AB吸管1065AB25CD35B 51015A20C第1题图A DB E CF MN02(荆州)如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒,规格为5610(单位:cm),在上盖中开有一孔便于插吸管,吸管长为13cm,小孔到图中边AB距离为1cm,到上盖中与AB相邻的两边距离相等,设插入吸管后露在盒外面的长为hcm,则h的最小值大约为_cm.(精确到个位,参考数据:14,17:22)03(荆州)若一边长为40cm的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过,则铁圈直径最小值为_cm.(铁丝粗细忽略不计)【例3】(荆州)如图,将边长为8cm的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中
5、点E处,点A落在F处,折痕为NM,则线段CN的长是( )A3cmB4cmC5cmD6cm【解法指导】对折问题即对称问题,设CNx,DNNE8x.在RtCEN中,(8x)242x2 x5.故选C【变式题组】ABCD01在四边形ABCD中,B90,AB4,BC3,CD13,AD12求S四边形ABCD02如图,ABC中,AB13,AD6,AC5 ,D为BC边的中点.求SABC03如图,ABC中,ACB90,AD平分CAB,BC4,CD.求AC【例4 】(四川省初二数学联赛试题)如图,直线OB是一次函数y2x的图象,点A的坐标为(0,2),在直线OB上找点C,使得ACO为等腰三角形,求点C坐标.AOB
6、yxy2x【解法指导】求C点坐标需分类讨论.(1) 若以O为顶点,OA为腰,则C在以O为圆心,OA的长为半径的圆与y2x的交点处.(2) 若以A为顶点,AO为腰,则C在以A为圆心, AO的长为半径的圆与y2x的交点处.(3) 若以C为顶点,则C在OA的中垂线与y2x的交点处.AyxDOC【解】若以O为顶点,OA为腰,如图设C(t,2t),则在RtCOD中,OC2OD2CD2 4t2(2t)2 5t24tOCyxEC1(,),C2(,)若以A为顶点,AO为腰,如图,设C(t,2t),在RtACE中AAC2CE2AE2 22t2(2t2)2t0(舍去),t C3(,) 若C为顶点,C在OA的中垂线
7、上.C4(,1)【变式题组】01若A(3,2),B为x轴上一点,O为坐标原点.若AOB是等腰三角形.求B点坐标.A(4,0)y2xxyO02如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B为y2x上一点,若AOB为等腰三角形.求B点坐标.Ay2xxyO03如图.在平面直角坐标系中,A(0,4),B为y2x上一点,若AOB为直角三角形.求B点坐标.【例5】(福建省漳州)几何模型:条件:如下左图,A、B是直线l同旁的两个定点.问题:在直线l上确定一点P,使PAPB的值最小.方法:作点A关于直线l的对称点A,连接AB交l于点P,则PAPBAB的值最小(不必证明).模型应用:如图1,正方形ABCD的边长为2
8、,E为AB的中点,P是AC上一动点.连接BD,由正方形对称性可知,B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则PBPE的最小值是_;OAQPBRP1P2OAQPBR图2BDCAPE图1AAPBl(2) 如图2,AOB45,P是AOB内一点,PO10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求PQR周长的最小值.【解】(1)(2) 如图2,作P关于OB的对称点P1,关于OA的对称点P2,连接P1P2,交OB于R,交OA于Q,则PRQ的周长最小,且此时PRQ的周长为PRRQQPP1P2连接OP1,OP2,12,34,2345P1OP290,OP1OPOP2,在RtOP1P2中,P1P22OP12OP22
9、,P1P2【变式题组】01(荆门)一次函数ykxb的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).求该函数的解析式;O C A xyBDPO为坐标原点,设OA 、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,求PCPD的最小值,并求取得最小值时P点坐标.CABDMN02(四川联赛试题)已知矩形ABCD的AB12,AD3,E、F分别是AB,DC上的点,则折线AFEC长的最小值为_.03(陕西)如图,在锐角ABC中,AB,BAC45,BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BMMN的最小值是_.【例6】求的最小值.【解法指导】所求的两个根式之和的最小值,因被开方数不是完全平
10、方式而无法化AC2FB4Dx H 8x E简,用代数方法求解困难,但被开方数的特点x24x222,(8x)216(8x)242均为平方和结构,由此联想到勾股定理,题目就是求以,为斜边的两边之和的最小值,于是根据数形结合的思想转化为构造图形问题来解决.【解】如图,作AB8,ACAB,BDAB,AC2,BD4.E是AB上一动点.设AEx.则BE8x.CE,DE.所以求代数式最小值问题转化为在AB上求一点E,使CEDE值最小.根据线段公理,连接CD交AB于H,则CD为所求.作CFDB交DB延长线于F.在RtCDF中,CD10.所求最小值为10.【变式题组】01.(恩施自治州)如图,C为线段BD上一动
11、点,分别过点B、D作ABBD,EDBD,连接AC、EC已知AB5,DE1,BD8,设CDx.用含x的代数式表示ACCE的长;请问点C满足什么条件时,ACCE的值最小?ABCDE根据中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值02(咸宁)问题背景:在ABC中,AB、BC、AC三边的长分别为、,求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时,先建立一个正方形网络(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点ABC(即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示.这样不需求ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积.请你将ABC的面积直接填写在横线上_;思维拓展:我们把上述求ABC面积的方法叫做构图法.若
12、ABC三边的长分别为a、a、a(a0),请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的ABC,并求出它的面积;探索创新:若ABC三边的长分别为、(m0,n0,且mn),试运用构图法求出这三角形的面积.【例7】.(天津)已知RtABC中,ACB90,CACB,有一个圆心角为45,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N.当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时,如图1,求证:MN2 AM2BN2;【思路点拨】考虑MN2AM2BN2符合勾股定理的形式,需转化为在直角三角形中解决.可将ACM沿直线CE对折,得DCM,连接DN,只需证DNBN,MDN
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