18.1.2--勾股定理在求距离中应用.ppt

第第1818章章 勾股定理勾股定理18.1 18.1 勾股定理勾股定理第第2 2课时课时 勾股定理在求勾股定理在求 距离中应用距离中应用1课堂讲解课堂讲解2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升长度的计算长度的计算最短距离的计算最短距离的计算思考：思考：一个一个门门框的框的宽为宽为1.5m，高，高为为2m，如，如图图所示，一所示，一块长块长3m，宽宽2.2m的薄木板能否从的薄木板能否从门门框内通框内通过过？为为什什么？么？1知识点知识点长度的计算长度的计算 勾股定理是一个重要的数学定理，它将勾股定理是一个重要的数学定理，它将图图形形(直角三直角三角形角形)与数量关系与数量关系(三三边边关系关系)有机地有机地结结合起来，在几何及合起来，在几何及日常生活日常生活实际实际中都有着广泛的中都有着广泛的应应用由于勾股定理用由于勾股定理应应用用的前提条件是直角三角形，因此在的前提条件是直角三角形，因此在应应用用时时，对对于非直角于非直角三角形的几何三角形的几何问题问题及生活及生活实际问题实际问题，都要将它，都要将它们们建模成建模成直角三角形直角三角形问题问题常常见应见应用主要有如下用主要有如下类类型：型：知知1 1讲讲知知1 1讲讲(1)已知直角三角形的两已知直角三角形的两边边求第三求第三边边；(2)已知直角三角形的一已知直角三角形的一边边确定另两确定另两边边的关系；的关系；(3)证证明含有平方关系的几何明含有平方关系的几何问题问题；(4)作作长为长为 (n1，且，且n为为整数整数)的的线线段；段；(5)对对于一些非直角三角形的几何于一些非直角三角形的几何问题问题、日常生活、日常生活实实 际际中的中的应应用用问题问题，首先要将它，首先要将它们们建立直角三角形建立直角三角形 模型，然后利用勾股定理构造方程或方程模型，然后利用勾股定理构造方程或方程组组解决解决现现有一楼房有一楼房发发生火灾，消防生火灾，消防队员队员决定用消防决定用消防车车上上 的云梯救人，如的云梯救人，如图图(1).已知云已知云梯梯最多只能伸最多只能伸长长到到 10 m，消防消防车车高高3m.救人救人时时云梯伸至最云梯伸至最长长，在在完成从完成从9 m高高处处救人后，救人后，还还要要从从12 m高高处处救人，救人，这时这时消防消防车车要从原要从原处处再再向着火向着火的楼房的楼房靠靠近近多少米多少米？(精确精确到到0.1m)知知1 1讲讲（来自（来自教材教材）例例1 如如图图(2)，设设A是云梯的下端点，是云梯的下端点，AB是伸是伸长长后的后的云梯，云梯，B是是第一次第一次救人救人的的地点，地点，D是第二次是第二次救救人的人的地点地点，过过点点A的的水水平平线线与与楼房楼房ED的交点的交点为为O.则则OB=9-3=6(m),OD=12-3=9(m).知知1 1讲讲（来自（来自教材教材）分析：分析：根据勾股定理，得根据勾股定理，得 AO2=AB2-OB2=102-62=64.解方程，得解方程，得 AO=8(m).设设AC=x，则则OC=8-x，于是根据勾股定理，得，于是根据勾股定理，得 OC2+OD2=CD2，即即(8-x)2+92=102，从而可以解出从而可以解出x.知知1 1讲讲（来自（来自教材教材）求两点求两点P1(3，5)，P2(1，2)间间的距离的距离知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）例例2 过过点点P1作作x轴轴的垂的垂线线，过过点点P2作作y轴轴的垂的垂线线，两，两垂垂线线的交点与的交点与P1，P2构成一个直角三角形，构成一个直角三角形，P1P2恰好恰好为为此直角三角形的斜此直角三角形的斜边边，从而可利用，从而可利用勾股定理求解勾股定理求解导导引引：如如图图，过过点点P1作作x轴轴的垂的垂线线，过过点点P2作作y轴轴的垂的垂线线，设设两垂两垂线线的交点的交点为为C，则则点点C的坐的坐标为标为(3，2)易得易得CP13，CP24，且，且P1CP290.在在RtP1CP2中，中，利用勾股定理得利用勾股定理得P1P2即即P1与与P2两点两点间间的距离的距离为为5.知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）解解：总 结知知1 1讲讲 在在平面直角坐平面直角坐标标系中求两点之系中求两点之间间的距离，的距离，需要需要借助借助x，y轴轴的平行的平行线线构造直角三角形，充分利用构造直角三角形，充分利用点点的的坐坐标标和勾股定理求和勾股定理求线线段的段的长长.如如图图，楼梯的高度，楼梯的高度为为2m,楼梯楼梯坡面的坡面的长长度度为为4m,要在要在楼梯楼梯的表面的表面铺铺上地毯，那么地毯的上地毯，那么地毯的长长度至度至少需要多少米？少需要多少米？(精确精确到到0.1 m)知知1 1练练（来自（来自教材教材）1(1)如如图图，长长3m的梯子斜靠着的梯子斜靠着墙墙，梯子底端离，梯子底端离墙墙 底底0.6m，问问梯子梯子顶顶端离地面多少米端离地面多少米？(精确到精确到 0.1m)(2)题题(1)中，若梯子的中，若梯子的顶顶端自端自墙墙 面面下滑下滑了了0.9 m，那么，那么梯子梯子的的 底端底端沿地面向外滑沿地面向外滑动动的的距离距离 是否也是否也为为0.9 m?说说明明理由理由.知知1 1练练（来自（来自教材教材）2(中考中考安安顺顺)如如图图，有两棵，有两棵树树，一棵高，一棵高10米，另一米，另一棵棵高高4米，两米，两树树相距相距8米，一只小米，一只小鸟鸟从一棵从一棵树树的的树树顶顶飞飞到另一棵到另一棵树树的的树顶树顶，小，小鸟鸟至少至少飞飞行行()A8米米 B10米米 C12米米 D14米米知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）3如如图图，一棵，一棵树树在离地面在离地面4.5 m处处断裂，断裂，树树的的顶顶部落部落在在离底部离底部6 m处处则这则这棵棵树树折断之前高折断之前高()A10.5 m B7.5 m C12 m D8 m知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）4如如图图，一架梯子，一架梯子AB长长2.5米，米，顶顶端端A靠在靠在墙墙AC上，上，这时这时梯子底端梯子底端B与与墙墙脚脚C的距离的距离为为0.7米，如果梯子米，如果梯子滑滑动动后停在后停在DE的位置，的位置，测测得得BD长为长为0.8米，米，则则梯梯子子顶顶端端A下滑了下滑了()A0.4米米 B0.3米米 C0.5米米 D0.2米米知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）52知识点知识点最短距离的计算最短距离的计算知知2 2讲讲求最短距离求最短距离总总思路思路：找找点关于点关于线线的的对对称点称点实现实现“折折”转转“直直”，利利用用平移把平移把“折折”转转“直直”，利用平面展开，利用平面展开图图把把“折折”转转“直直”.运用运用轴对轴对称解决距离最短称解决距离最短问题问题利用利用对对称称的的性性质质，通，通过过等等线线段代段代换换，将所求路，将所求路线长转线长转化化为为两两定点定点之之间间的的距离距离.知知2 2讲讲如如图图，一个牧童正在小河的南，一个牧童正在小河的南4 m的的A处处牧牧马马，此，此时时正位于他的小屋正位于他的小屋B的西的西8 m北北7 m处处，他想把他的，他想把他的马牵马牵到小河到小河边边去去饮饮水，然后回家水，然后回家他要完成他要完成这这件事情所走的最短路程是多少？件事情所走的最短路程是多少？例例3 根据根据轴对轴对称作称作图图，先作出点，先作出点A关关于于河岸的河岸的对对称点称点A，连连接接AB，AB的的长长就是所要求的最就是所要求的最短路短路线线长长，可将，可将AB构造成一个直角构造成一个直角三三角角形的斜形的斜边边，借助勾股定理，借助勾股定理解解决决导导引：引：知知2 2讲讲如如图图，作点，作点A关于河岸关于河岸MN的的对对称点称点A，连连接接AB交交MN于点于点P，连连接接AP，则则APPBAB就是最就是最短短路路线线过过B作作BD垂直直垂直直线线AA于点于点D.在在RtADB中中，由由勾股定理求得勾股定理求得AB17 m.即他要完成即他要完成这这件事情所走件事情所走的的最最短路程是短路程是17 m.（来自（来自点拨点拨）解：解：总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）求求直直线线同同侧侧的两点到直的两点到直线线上一点所上一点所连线连线段的和的段的和的最最短短路径的方法：路径的方法：先找到其中一个点关于先找到其中一个点关于这这条直条直线线的的对对称称点点，连连接接对对称点与另一个点的称点与另一个点的线线段段长长就是最短就是最短路径路径长长以以连连接接对对称点与另一个点的称点与另一个点的线线段段为为斜斜边边，构造出，构造出一一个个两条直角两条直角边边已知的直角三角形，将分散的已知的直角三角形，将分散的线线段集中段集中在在同同一三角形中，然后利用勾股定理即可求出直一三角形中，然后利用勾股定理即可求出直线线同同侧侧的的两两点到直点到直线线上一点所上一点所连线连线段的和的最短路径段的和的最短路径长长知知2 2讲讲例例4 如如图图所示的所示的长长方体的高方体的高为为4 cm，底面是，底面是长为长为5 cm，宽宽 为为3 cm的的长长方形一只方形一只蚂蚁蚂蚁从从顶顶点点A出出 发发沿沿长长方体的表面爬到方体的表面爬到顶顶点点B.求：求：(1)蚂蚁经过蚂蚁经过的最短路程；的最短路程；(2)蚂蚁蚂蚁沿着棱爬行沿着棱爬行(不能重复爬行同一不能重复爬行同一 条棱条棱)的最的最长长路程路程 (1)蚂蚁蚂蚁爬行的最短路爬行的最短路线线可放在平面内，根据可放在平面内，根据“两点之两点之间间，线线段最短段最短”去探求，而与去探求，而与顶顶点点A，B相关的两个面展开共相关的两个面展开共 有三种方式，先根据勾股定理求出每一种方式下有三种方式，先根据勾股定理求出每一种方式下蚂蚁蚂蚁 爬行的最短路程，从而可知爬行的最短路程，从而可知蚂蚁经过蚂蚁经过的最短路程的最短路程 (2)最最长长路路线应该线应该是依次是依次经过长为经过长为5 cm，4 cm，5 cm，4 cm，3 cm，4 cm，5 cm的棱的棱导导引：引：知知2 2讲讲(1)将将长长方体与方体与顶顶点点A，B相关的两个面展开，共有三相关的两个面展开，共有三 种方式，如种方式，如图图所示若所示若蚂蚁蚂蚁沿沿侧侧面爬行，如面爬行，如图图，则则爬行的最短路程爬行的最短路程为为 若若蚂蚁蚂蚁沿沿侧侧面和上面爬行，如面和上面爬行，如图图，解：解：（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲 则则爬行的最短路程分爬行的最短路程分别为别为 因因为为 4 3 ，所以所以蚂蚁经过蚂蚁经过的最短路程是的最短路程是 cm.(2)545434530(cm)，所以，所以蚂蚁蚂蚁沿着棱沿着棱 爬行的最爬行的最长长路程是路程是30 cm.（来自（来自点拨点拨）总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）几何体的表面上两点几何体的表面上两点间间的最短路程的最短路程问题问题的的解决解决方法是方法是将几何体表面展开，即将立体将几何体表面展开，即将立体问题转问题转化化为为平平面面问题问题，然后，然后利用利用“两点之两点之间间，线线段最短段最短”去确定去确定路路线线，最后，最后利用勾股定理利用勾股定理计计算算1 如如图图，一个，一个圆圆柱体的高柱体的高为为12 cm，底面半径，底面半径为为3 cm，在在圆圆柱体下底面的点柱体下底面的点A处处有一只有一只蚂蚁蚂蚁，想吃到与点，想吃到与点A 相相对对的上底面点的上底面点B处处的食物，的食物，这这只只蚂蚁蚂蚁从点从点A出出发发沿沿 着柱形的曲面爬到点着柱形的曲面爬到点B，蚂蚁蚂蚁所走最短路所走最短路线线有多有多长长(取取3.14，结结果保留一位小数果保留一位小数)?知知2 2练练（来自（来自点拨点拨）知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）2 (中考中考东营东营)如如图图，一只，一只蚂蚁蚂蚁沿着棱沿着棱长为长为2的正方的正方 体表面从点体表面从点A出出发发，经过经过3个面爬到点个面爬到点B，如果它，如果它 运运动动的路径是最短的，的路径是最短的，则则AC的的长为长为_ 在在直直线线上找一点，使其到直上找一点，使其到直线线同同侧侧的两点的的两点的距离距离之和之和最短的方法最短的方法：先先找到其中一个点关于找到其中一个点关于这这条直条直线线的的对对称点称点，连连接接对对称点称点与另一个点的与另一个点的线线段与段与该该直直线线的交点的交点即即为为所找所找的的点点，对对称点与另一个点的称点与另一个点的线线段段长长就是就是最短距离最短距离之之和和以以连连接接对对称点与另一个点的称点与另一个点的线线段段为为斜斜边边，构造，构造出出一一个两条直角个两条直角边边已知的直角三角形已知的直角三角形，然后，然后利用勾股利用勾股定定理理即可求出最短距离之和即可求出最短距离之和1.必做必做:完成教材完成教材P57习题习题18.1T5,72.补补充充:请请完成完成典中点典中点剩余部分剩余部分习题习题