部编版八年级数学下册期末试卷(培优篇)(Word版含解析).doc

部编版八年级数学下册期末试卷（培优篇）（Word版含解析）
一、选择题
1．在函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
3．如图，在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，且AB∥CD，添加下列哪个条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）

A．AB＝CD B．AD∥BC C．OA＝OC D．AD＝BC
4．将80辆环保电动汽车一次充电后行驶里程记录数据，获得如图所示条形统计图，根据统计图所测数据的中位数、众数分别是（ ）

A．165，160 B．165，165 C．170，165 D．160，165
5．如图1，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（ ）

A．24米2 B．36米2 C．48米2 D．72米2
6．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点,为垂足，连结，则等于（ ）

A． B． C． D．
7．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，点与坐标原点重合，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿的路线向终点运动，连接、，设点运动的时间为秒，的面积为，下列图像能表示与之间函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．函数自变量的取值范围是______．
10．已知菱形ABCD的对角线AC=10，BD=8，则菱形ABCD的面积为____．
11．一条直角边3，斜边长为5的直角三角的面积为_________．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，AB＝6，则CD的长是________．

13．若直线y＝kx+b与直线y＝2x﹣3平行且经过点A（1，﹣2），则kb＝_____．
14．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD，且AC平分BD，若添加一个条件_____，则四边形ABCD为菱形．

15．如图所示，直线与两坐标轴分别交于、两点，点是的中点，、分别是直线、轴上的动点，当周长最小时，点的坐标为_____．

16．函数y＝kx与y＝6–x的图像如图所示，则k＝________．

三、解答题
17．计算：
（1）(＋1)×－；
（2）＋×．
18．湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得米，米．

求：（1）两棵景观树之间的距离；
（2）点B到直线AC的距离．
19．下图各正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点都称为格点．

（1）在图①中，画出一条以格点为端点，长度为的线段．
（2）在图②中，以格点为顶点，画出三边长分别为3，，的三角形．
20．如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE＝CF．求证：
（1）△ABE≌DCF；
（2）四边形AEFD是平行四边形；探究：连结DE，若DE平分∠AEC，直接写出此时四边形AEFD的形状．

21．已知实数a，b满足：b2=1+﹣，且|b|+b＞0
（1）求a，b的值；
（2）利用公式，求++…+
22．根据天气预报，某地将持续下雨7天，然后放晴．开始下雨的48小时内，某水库记录了水位变化，结果如下：
时间x/h
0
12
24
36
48
…
水位y/m
40
40.3
40.6
40.9
41.2
…
在不泄洪的条件下，假设下雨的这7天水位随时间的变化都满足这种关系．
（1）在不泄洪的条件下，写出一个函数解析式描述水位y随时间x的变化规律；
（2）当水库的水位达到43m时，为了保护大坝安全，必须进行泄洪．
①下雨几小时后必须泄洪？
②雨天泄洪时，水位平均每小时下降0.05m，求开始泄洪后，水库水位y与时间x之间的函数关系式；并计算泄洪几小时后水位可以降到下雨前的初始高度？
23．如图①，C为线段BD上的一点，BC≠CD，分别以BC，BD为边在BD的上方作等边△ABC和等边△CDE，连接AE，F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，连接FG，GH，FH．
（1）△FGH的形状是　 　；
（2）将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转，其他条件不变，（1）的结论是否成立？结合图②说明理由；
（3）若BC＝，CD＝4，将△CDE绕点C旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出△FGH的周长．

24．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝，那么称点T是点A，B的三分点．
例如：A（﹣1，5），B（7，7），当点T（x，y）满足x＝＝2，y＝＝4时，则点T（2，4）是点A，B的三分点．

（1）已知点C（﹣1，8），D（1，2），E（4，﹣2），请说明其中一个点是另外两个点的三分点．
（2）如图，点A为（3，0），点B（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点A，B的三分点．
①试确定y与x的关系式．
②若①中的函数图象交y轴于点M，直线l交y轴于点N，当以M，N，B，T为顶点的四边形是平行四边形时，求点B的坐标．
③若直线AT与线段MN有交点，直接写出t的取值范围．
25．如图，在等腰中，，，点D为边中点，点E在线段上，，过点C作于F，交于点G．

（1）求的大小（用含的式子表示）
（2）①求证：；
②写出______的值．
【参考答案】
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】
解：根据题意得，2x-3≥0，
解得x≥．
故选择：D．
【点睛】
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
2．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
【详解】
解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、12+12＝ ，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C、62+82≠112，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、52+122≠232，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定定理可直接进行排除选项．
【详解】
解：A、若添加AB=CD可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判定，故不符合题意；
B、若添加AD∥BC可根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定，故不符合题意；
C、由AB∥CD可得∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，结合OA=OC可证△ABO≌△CDO（AAS），然后可得OB=OD，进而根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定，故不符合题意；
D、若添加AD=BC不能判定四边形是平行四边形，故符合题意；
故选D．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
由中位数和众数的定义结合条形统计图即可得出答案．
【详解】
根据题意有80辆电动汽车为偶数个，根据统计图可知最中间的两个数都为165，故中位数=，
165出现了20次，为最多，即众数为165．
故选：B．
【点睛】
本题考查中位数和众数的定义，从条形统计图中获取必要的信息是解答本题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形．从而用求和的方法求面积．
【详解】
连接AC，则由勾股定理得AC=5米，因为AC2+DC2=AD2，所以∠ACD=90°．
这块草坪的面积=SRt△ABC+SRt△ACD=AB•BC+AC•DC=（3×4+5×12）=36米2．
故选B．

【点睛】
此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点．
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC，∠BCF=∠DCF，四条边都相等可得BC=DC，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF，根据等边对等角求出∠ABF=∠BAC，从而求出∠CBF，再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CBF．
【详解】
解：如图，连接BF，

在菱形ABCD中，∠BAC=∠BAD=×80°=40°，∠BCF=∠DCF，BC=DC，
∠ABC=180°-∠BAD=180°-80°=100°，
∵EF是线段AB的垂直平分线， ∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°，
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=100°-40°=60°，
∵在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CDF=∠CBF=60°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，综合性强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据折叠前后角相等可知△ABE≌△C'ED，利用勾股定理可求出．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠C=∠A=90°
由折叠的性质可得：C'D=CD=AB；∠C'=∠C=∠A
在△ABE与△C'ED中

∴△ABE≌△C'ED（AAS）
∴DE=BE
设DE=BE=x，则AE=8-x，AB=4，在直角三角形ABE中，

解得x=5
故选C．
【点睛】
本题考查勾股定理在折叠问题中的应用，找到合适的直角三角形构建等量关系是本题关键．
8．B
解析：B
【分析】
先根据矩形的性质得到OA=BC=6，OC=AB=4，再分三种情况：点P在OA、AB、BC边上时，分别求出函数解析式，即可得到图象.
【详解】
∵矩形的顶点，,
∴OA=BC=6，OC=AB=4，
当点P在OA边上即0≤t<3时，，
当点P在AB边上即3≤t<5时，，
当点P在BC边上即5≤t≤8时，，
故选：B .
【点睛】
此题考查函数图象，正确理解题意分段求出函数解析式是解题的关键.
二、填空题
9．
【解析】
【分析】
由分式有意义的条件，二次根式有意义的条件进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握所学的知识，正确的得到．
10．【解析】
【分析】
利用菱形对角线互相垂直，所以菱形的面积等于对角线乘积的一半，来求菱形的面积即可．
【详解】
解：∵菱形的对角线
∴菱形的面积
故答案为：40．
【点睛】
本题考查菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，所以菱形的面积等于对角线乘积的一半，属于基础题型．
11．6
【解析】
【分析】
根据勾股定理可以求得另一条直角边的长，然后即可求得此直角三角形的面积．
【详解】
解：∵直角三角形一直角边的长是3，斜边长是5，
∴另一条直角边为=4，
∴此直角三角形的面积为：=6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和三角形的面积公式解答．
12．C
解析：3
【分析】
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案.
【详解】
解：∵∠C＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝AB＝3．
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
13．A
解析：-8
【分析】
由平行线的关系得出k＝2，再把点A（1，﹣2）代入直线y＝2x+b，求出b，即可得出结果．
【详解】
解：∵直线y＝kx+b与直线y＝2x﹣3平行，
∴k＝2，
∴直线y＝2x+b，
把点A（1，﹣2）代入得：2+b＝﹣2，
∴b＝﹣4，
∴kb＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图像的性质，求一次函数的解析式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
14．A
解析：OA＝OC
【分析】
添加条件OA＝OC，先证四边形ABCD是平行四边形，再由AC⊥BD，即可得出平行四边形ABCD是菱形．
【详解】
.解：添加一个条件OA＝OC，则四边形ABCD为菱形，
理由如下：
∵AC平分BD，OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA＝OC．
【点睛】
此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
15．【分析】
作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF，EG，由轴对称的性质，可得DF＝DC，EC＝EG，故当点F，D，E，G在同一直线上时，△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝DF＋DE
解析：
【分析】
作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF，EG，由轴对称的性质，可得DF＝DC，EC＝EG，故当点F，D，E，G在同一直线上时，△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝DF＋DE＋EG＝FG，此时△DEC周长最小，然后求出F、G的坐标从而求出直线FG的解析式，再求出直线AB和直线FG的交点坐标即可得到答案．
【详解】
解：如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接FG分别交AB、OA于点D、E，
由轴对称的性质可知，CD=DF，CE=GE，BF=BC，∠FBD=∠CBD，
∴△CDE的周长=CD+CE+DE=FD+DE+EG，
∴要使三角形CDE的周长最小，即FD+DE+EG最小，
∴当F、D、E、G四点共线时，FD+DE+EG最小，

∵直线y＝x＋2与两坐标轴分别交于A、B两点，
∴B（-2，0），
∴OA＝OB，
∴∠ABC＝∠ABD＝45°，
∴∠FBC=90°，
∵点C是OB的中点，
∴C(，0)，
∴G点坐标为（1，0），，
∴F点坐标为（-2，），
设直线GF的解析式为，
∴，
∴，
∴直线GF的解析式为，
联立，
解得，
∴D点坐标为（，）
故答案为：（，）．
【点睛】
本题主要考查了轴对称-最短路线问题，一次函数与几何综合，解题的关键是利用对称性在找到△CDE周长的最小时点D、点E位置，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
16．2
【分析】
首先根据一次函数y=6﹣x与y=kx图像的交点横坐标为2，代入一次函数y=6﹣x求得交点坐标为（2，4），然后代入y=kx求得k值即可．
【详解】
∵一次函数y=6﹣x与y=kx图像的
解析：2
【分析】
首先根据一次函数y=6﹣x与y=kx图像的交点横坐标为2，代入一次函数y=6﹣x求得交点坐标为（2，4），然后代入y=kx求得k值即可．
【详解】
∵一次函数y=6﹣x与y=kx图像的交点横坐标为2，∴y=6﹣2=4，∴交点坐标为（2，4），代入y=kx，2k=4，解得：k=2．
故答案为2．
【点睛】
本题考查了两条直线平行或相交问题，解题的关键是交点坐标适合y=6﹣x与y=kx两个解析式．
三、解答题
17．（1）4－；（2）3．
【分析】
（1）根据二次根式的混合运算法则先算乘法，然后合并同类二次根式求解即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则先算乘法，然后合并同类二次根式求解即可．
【详解】
（1）
解析：（1）4－；（2）3．
【分析】
（1）根据二次根式的混合运算法则先算乘法，然后合并同类二次根式求解即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则先算乘法，然后合并同类二次根式求解即可．
【详解】
（1）(＋1)×－

（2）＋×

【点睛】
此题考查了二次根式的加减乘法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的加减乘法运算法则．
18．（1）A，B两点间的 距离是40米；（2）点B到直线AC的距离是24米．
【分析】
（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据三角形面积公式解答即可．
【详解】
（1）因为是直角三角形，
所以由勾股定
解析：（1）A，B两点间的 距离是40米；（2）点B到直线AC的距离是24米．
【分析】
（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据三角形面积公式解答即可．
【详解】
（1）因为是直角三角形，
所以由勾股定理，得．
因为米，，所以．
因为，所以米．
即A，B两点间的 距离是40米．
（2）过点B作于点D．
因为，
所以．
所以（米），
即点B到直线AC的距离是24米．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式．
19．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据 实际上直角边长为2和2的直角三角形的斜边长，即可解答；
（2） 实际上是直角边长为2和2的直角三角形的斜边长，实际上是直角边长为2和1的直
解析：（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据 实际上直角边长为2和2的直角三角形的斜边长，即可解答；
（2） 实际上是直角边长为2和2的直角三角形的斜边长，实际上是直角边长为2和1的直角三角形的斜边长，即可解答．
【详解】

（1）本题中 实际上直角边长为2和2的直角三角形的斜边长，如图①线段即为所求线段；
（2）本题中 实际上是直角边长为2和2的直角三角形的斜边长，实际上是直角边长为2和1的直角三角形的斜边长，据此可找出如图②中的三角形即为所求．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，解题的关键是确定直角三角形的直角边长后根据边长画出所求的线段和三角形．
20．（1）见解析；（2）证明见解析；探究：菱形
【分析】
（1）根据矩形性质直接根据边角边证明△ABE≌DCF即可；
（2）证明AE∥DF，AE＝DF，可得结论；
探究：证明FD＝FE，可得结论．
【详
解析：（1）见解析；（2）证明见解析；探究：菱形
【分析】
（1）根据矩形性质直接根据边角边证明△ABE≌DCF即可；
（2）证明AE∥DF，AE＝DF，可得结论；
探究：证明FD＝FE，可得结论．
【详解】
.证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠DCF，
∵BE＝CF，
∴△ABE≌DCF；
（2）∵△ABE≌DCF，
∴∠AEB＝∠F，AE＝DF，
∴AE∥DF，
∴AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形．
（3）此时四边形AEFD是菱形．
理由：如图1中，连接DE．

∵DE平分∠AEC，
∴∠AED＝∠DEF，
∵AD∥EF，
∴∠ADE＝∠DEF，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴四边形AEFD是菱形．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．（1）a的值为2，b的值为1；（2）2018.
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式有意义的条件得到
（2）根据公式 将原式化成多个式子相减，起到互相抵消的效果，做到化繁为简．
【详解】
（1
解析：（1）a的值为2，b的值为1；（2）2018.
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式有意义的条件得到
（2）根据公式 将原式化成多个式子相减，起到互相抵消的效果，做到化繁为简．
【详解】
（1）由题意得：,

∵b2=1+
∴b=±1
∵|b|+b＞0
∴b=1
∴a的值为2，b的值为1．
（2）,

【点睛】
本题主要考查二次根式有意义的条件，学会应用公式推导一般并能实际运用.
22．（1）；（2）①120小时；② （120≤x＜168），y＝（x＞168），泄洪56小时后，水位降到下雨前的初始高度
【分析】
（1）观察数据的变化符合一次函数，设出一次函数的解析式，拥待定系数法即
解析：（1）；（2）①120小时；② （120≤x＜168），y＝（x＞168），泄洪56小时后，水位降到下雨前的初始高度
【分析】
（1）观察数据的变化符合一次函数，设出一次函数的解析式，拥待定系数法即可求出解析式；
（2）①取y＝43，算出对应的x即可；
②开始泄洪后的水位为水库的量减去泄洪的量，分别用x表示出对应的值，即可写出y与x的关系式，取y＝40，求出x即可．
【详解】
解：（1）观察发现x和y满足一次函数的关系，设y＝kx+b，
代入（0，40）（12，40.3）得：
，
解得：，
∴；
（2）①当y＝43时，有，
解得x＝120，
∴120小时时必须泄洪；
②在下雨的7天内，即120≤x＜168时，
，
7天后，即x＞168时，此时没有下雨，水位每小时下降米，
，
当y＝40时，有：，
解得x＝180（不合，舍去），
或者，则x＝176，
176﹣120＝56，
∴泄洪56小时后，水位降到下雨前的初始高度．
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用，关键是要会用待定系数法求出一次函数的解析式，根据解析式求出y满足一定条件时对应的x的值．
23．（1）等边三角形；（2）成立，理由见解析；（3）或．
【分析】
（1）根据题意先判断出四边形ABCE和四边形ACDE都是梯形．得出FG为梯形ABCE的中位线，GH为梯形ACDE的中位线．从而得出，．
解析：（1）等边三角形；（2）成立，理由见解析；（3）或．
【分析】
（1）根据题意先判断出四边形ABCE和四边形ACDE都是梯形．得出FG为梯形ABCE的中位线，GH为梯形ACDE的中位线．从而得出，．即证明为等边三角形．
（2）先判断出PF，PG是△ABC和△CDE的中位线，再判断出∠FPG＝∠FCH，进而证明△FPG≌△FCH，得出结论FG＝FH，∠PFG＝∠CFH，最后证明出∠GFH=，即证明△FGH为等边三角形．
（3）①当点E在AE上时，先求出CM，进而求出AM，即可求出AD，再判断出，进而求出BE=AD=2，，即可判断出，再求出BN、EN，进而求出BD，最后即可求出FH，即可得出结果；②当点D在AE的延长线上时同①的方法即可得出结果．
【详解】
（1）∵和都为等边三角形，且边长不相等．
∴，．
∴四边形ABCE和四边形ACDE都是梯形．
又∵F、G、H分别是BC、AE、CD中点，
∴FG为梯形ABCE的中位线，GH为梯形ACDE的中位线．
∴，．
∴，．
∴为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
（2）取AC的中点P，连接PF，PG，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AB＝BC，CE＝CD， ∠BAC＝ ∠ACB＝ ∠ECD＝ ∠B＝60°．
又F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，
∴FP＝AB，FC＝BC，CH＝CD，PG＝CE，PG∥CE，PF∥AB．
∴FP＝FC，PG＝CH，∠GPC＋∠PCE＝180°，∠FPC＝∠BAC＝60°，∠PFC＝∠B＝60°．
∴∠FPG＝∠FPC＋∠GPC＝60°＋∠GPC，∠GPC＝180°－∠PCE．
∴∠FCH＝360°－∠ACB－∠ECD－∠PCE＝360°－60°－60°－（180°－∠GPC）＝60°＋∠GPC．
∴∠FPG＝∠FCH．
∴△FPG≌△FCH（SAS）．
∴FG＝FH，∠PFG＝∠CFH．
∴∠GFH＝∠GFC＋∠CFH＝∠GFC＋∠PFG＝∠PFC＝60°．
∴△FGH为等边三角形．
所以成立．

（3）①当点D在AE上时，如图，
∵是等边三角形，
∴，．
∵是等边三角形，
∴，，
过点C作于M，
∴，
在中，根据勾股定理得，,
在中，根据勾股定理得，,
∴,
∵,
∴，
∴，
连接BE，
在和中，
，
∴（SAS），
∴BE=AD=2, ，
∵，
∴，
∴，
过点B作于N，
∴，在中，，
∴，
∴,DN=DE-EN=3，
连接BD，
根据勾股定理得：，
∵点H是CD中点，点F是BC中点，
∴FH是的中位线，
∴，
由（2）可知，△FGH为等边三角形．
∴△FGH的周长．

②当点D在AE的延长线上时，如图，
同理可求，所以△FGH的周长．

即满足条件的△FGH的周长位或．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角形的中位线定理．属于几何变换综合题，综合性强，较难．
24．（1）见解析；（2）①y＝2x﹣1；②点B的坐标（，6）或（﹣，）；③﹣3≤t≤1
【解析】
【分析】
（1）由“三分点”的定义可求解；
（2）①由“三分点”定义可得：，消去t即可求解；
②先求出点
解析：（1）见解析；（2）①y＝2x﹣1；②点B的坐标（，6）或（﹣，）；③﹣3≤t≤1
【解析】
【分析】
（1）由“三分点”的定义可求解；
（2）①由“三分点”定义可得：，消去t即可求解；
②先求出点M，点N的坐标，分两种情况：MN为一边或MN为对角线，利用平行四边形的性质可求解；
（3）利用特殊位置，分别求出AT过点M和过点N时，t的值，即可求解．
【详解】
（1）∵，，
∴点D（1，2）是点C，点E的三分点；
（2）①∵点A为（3，0），点B（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点A，B的三分点，
∴，
∴y＝2x﹣1；
②∵y＝2x﹣1图象交y轴于点M，直线l交y轴于点N，
∴点M（0，﹣1），点N（0，3），
当四边形MTBN是平行四边形时，
∴BT∥MN，
∵B（t，2t+3），T（，），
∴t＝，
∴t＝，
∴点B的坐标（，6）；
当四边形MTNB是平行四边形时，
设BT与MN交于点P，则点P为BT与MN的中点，
∴点P（0，1），
∵B（t，2t+3），T（，），
∴t+＝0，
∴t＝﹣，
∴点B（﹣，），
综上所述：点B的坐标为（，6）或（﹣，）；
（3）当直线AT过点M时，
∵点A（3，0），点M（0，﹣1），
∴直线AM解析式为y＝x﹣1，
∵点T是直线AM上，
∴＝×﹣1
∴t＝﹣3，
当直线AT过点N时，
∵点A（3，0），点M（0，3），
∴直线AN解析式为y＝﹣x+3，
∵点T是直线AN上，
∴＝﹣+3，
∴t＝1，
∵直线AT与线段MN有交点，
∴﹣3≤t≤1．
【点睛】
本题新定义考题，题目中给出一个新的概念，严格利用新的概念进行求解；但是，新定义问题实质上是课程内知识点的综合应用，比如本题考查了消元法，平行四边形的性质和一次函数，本类题目一定要注意分类讨论，利用合适条件确定边界条件是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）①见解析；②
【分析】
（1）根据直角三角形中两锐角互余以及三角形外角的性质可得结果；
（2）①延长AD至Q，使得，连接BQ，可证，根据已知以及等腰三角形的性质可得结论；
②作，
解析：（1）见解析；（2）①见解析；②
【分析】
（1）根据直角三角形中两锐角互余以及三角形外角的性质可得结果；
（2）①延长AD至Q，使得，连接BQ，可证，根据已知以及等腰三角形的性质可得结论；
②作，连接，证明，设，则，根据勾股定理求得AE、AD的长度，求比值即可．
【详解】
解：（1）在中，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）①延长AD至Q，使得，连接BQ，

∵点D为边中点，
∴,
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②作，连接，

∴，
由（2）知，
∴
∴，
∵,
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查三角形综合问题，涉及到全等三角形判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，作出合理辅助线构造全等三角形以及应用勾股定理表示出各线段的长度是解题的关键．