第6讲数列的综合问题.doc

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第6讲 数列的综合问题

★ 知 识 梳理 ★
1.等差数列的补充性质
⑴若有最大值，可由不等式组来确定；
⑵若有最小值，可由不等式组来确定.
2.若干个数成等差、等比数列的设法
⑴三个数成等差的设法：；四个数成等差的设法：.
⑵三个数成等比的设法：；四个数成等比的设法：.
3.用函数的观点理解等差、等比数列
⑴等差数列中，，
当时，是递增数列，是的一次函数；
当时，是常数列，是的常数函数；
当时，是递减数列，是的一次函数.
⑵等比数列中，，
当或时，是递增数列；
当或时，是递减数列；
当时，是一个常数列；当时，是一个摆动数列.
4.解答数列综合问题的注意事项
⑴ 认真审题、展开联想、沟通联系；
⑵ 将实际应用问题转化为数学问题；
⑶ 将数列与其它知识（如函数、方程、不等式、解几、三角等）联系起来.

★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：掌握常见数列应用问题的解法；掌握数列与其它知识的综合应用.
2.难点：如何将实际应用问题转化为数学问题，综合运用所学知识解决数列问题.

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点 数列的综合应用
题型1 等差、等比数列的综合应用
【例1】已知等差数列与等比数列中，，求的通项.
【解题思路】由等比数列知：成等比，从而找出的关系.
【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
是等比数列，成等比，则
，解得 或.
当时， ，， ；
当时，，， .
【名师指引】综合运用等差、等比数列的有关公式和性质是解决等差、等比数列综合问题的关键.
【例2】已知为数列的前项和，，.
⑴设数列中，，求证：是等比数列；
⑵设数列中，，求证：是等差数列；
⑶求数列的通项公式及前项和.
【解题思路】由于和中的项与中的项有关，且，可利用、的关系作为切入点.
【解析】⑴，，两式相减，得
，
又，，由，，得
，是等比数列，.
⑵由⑴知，，且

是等差数列，.
⑶，且，
当时，，
，
【名师指引】⑴等差、等比数列的证明方法主要有定义法、中项法；⑵将“”化归为
是解题的关键.
题型2 数列与函数、方程、不等式的综合应用
【例3】（2008韶关模拟）设函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，有．
⑴求，判断并证明函数的单调性；
⑵数列满足,且
①求通项公式；
②当时，不等式对不小于的正整
数恒成立，求的取值范围.
【解题思路】从已知得到递推关系式，再由等差数列的定义入手；恒成立问题转化为左边的最小值.
【解析】⑴，在上减函数（解法略）
⑵ ① 由单调性
，故等差数列
②

是递增数列
当时，
， 即
而，∴，故的取值范围是
【名师指引】数列与函数、方程、不等式的综合问题，要注意将其分解为数学分支中的问题来解决.
题型3 数列的应用问题
【例4】在一直线上共插有13面小旗，相邻两面之距离为，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上?最短路程是多少?
【解题思路】本题求走的总路程最短,是一个数列求和问题,而如何求和是关键,应先画一草图,研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程,然后求和.
【解析】设将旗集中到第面小旗处,则从第一面旗到第面旗处,共走路程为,然后回到第二面处再到第面处是,从第面处到第面处路程为20，从第面处到第面取旗再到第面处,路程为，总的路程:

.
由于,当时,有最小值.
答: 将旗集中以第7面小旗处,所走路程最短.
【名师指引】本例题是等差数列应用问题. 应用等差数列前项和的公式，求和后，利用二次函数求最短距离时，要特别注意自变量的取值范围.
【例5】用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,…
依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块?
【解题思路】建立上层到底层砖块数与的关系式是关键，应分清它是等差，还是数列等比数列.
【解析】设从上层到底层砖块数分别为,则,
易得,即
因此,每层砖块数构成首项为2,公比为2的等比数列,则 (块)
答:共用2046块.
【名师指引】建立与的关系式后，转化为求数列通项的问题.
【例6】2002年底某县的绿化面积占全县总面积的％，从2003年开始,计划每年将非绿化面积的
8％绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2％被非绿化.
⑴设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为,经过年后绿化的面积为,试用表示
；
⑵求数列的第项；
⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%(参考数据:)
【解题思路】当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积.
【解析】⑴设现有非绿化面积为,经过年后非绿化面积为.
于是.依题意,是由两部分组成,一部分是原有的绿化面积减去被非绿化部分后剩余的面积,另一部分是新绿化的面积,
于是
⑵.
数列是公比为,首项的等比数列.
∴.
⑶
.
答:至少需要7年的努力,才能使绿化率超过60％.
【名师指引】解答数列应用性问题，关键是如何建立数学模型，将它转化为数学问题.
【新题导练】
1.四个实数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求原来的四个数.
【解析】设后三个数分别为，则
前三个数成等比数列，第一个数为，，
解得，当时，；当时，.
原来的四个数分别为或.
2.已知为数列的前项和，点在直线上．
⑴若数列成等比，求常数的值；
⑵求数列的通项公式；
⑶数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；
若不存在，请说明理由．
【解析】⑴由题意知，，得，
，；
⑵，，由⑴知：
；
⑶设存在，使成等差数列，
即 ，， （※），
因为，为偶数，为奇数，这与（※）式产生矛盾．
所以这样的三项不存在．
3.(2009金山中学)数列首项，前项和与之间满足
（1）求证：数列是等差数列 （2）求数列的通项公式
（3）设存在正数，使对于一切都成立，求的最大值。
【解析】（1）因为时，得
由题意
又 是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）有
时，.
又
（3）设
则
在上递增 故使恒成立只需
又 又 ，所以，的最大值是.
4.夏季高山上的温度从脚起，每升高，降低℃，已知山顶处的温度是℃，山脚处的温度为℃，问此山相对于山脚处的高度是多少米.
【解析】每升高米温度降低℃，∴该处温度的变化是一个等差数列问题.
山底温度为首项,山顶温度为末项,所以，
解之可得，此山的高度为.
5.由原点向三次曲线引切线,切于不同于点的点
，再由引此曲线的切线，切于不同于的点，如此继续地作下去,……,得到点列，试回答下列问题： ⑴求； (2)求与的关系式；
(3)若，求证:当为正偶数时, ；当为正奇数时, .
【解析】⑴由 ① 得y′=3x2－6ax＋b.
过曲线①上点的切线的方程是：
由它过原点，有

⑵ 过曲线①上点的切线ln+1的方程是：
,由过曲线①上点，有
∵，以除上式，得

以除之，得
(3)方法1 由(2)得
故数列{x n－a}是以x 1－a=为首项,公比为－的等比数列,

∵，∴当为正偶数时,
当为正奇数时,
方法2
=
以下同解法1.

★ 抢 分 频 道 ★

基础巩固训练
1.首项为的数列既是等差数列，又是等比数列，则这个的前项和为（ ）
A. B. C. D.
【解析】D.由题意，得数列是非零常数列，
2.等差数列及等比数列中，则当时有
A. B. C. D.
【解析】D.特殊法，及为非零常数列时，；取，时，
3. 已知成等比数列，是的等差中项，是的等差中项，则 .
【解析】2. 特殊法，取，
4.⑴为等差数列的前项和，，，问数列的前几项和最大？
⑵公差不为零的等差数列中，，成等比数列，求数列的前项和.
【解析】⑴方法1：设，由，得，
即 ，，
当时，有最大值为
方法2：由，得，是等差数列，
.由，是等差数列，，
当时，有最大值为
⑵设，，成等比数列，
，

5.已知，数列的前项和，若数列的每一项总小于它后面的项，求的取值范围.
【解析】当时，当时，
，
由题意，得，即
⑴当时，，，；
⑵当时，，，
综上，的取值范围
6.等差数列中，，其公差；数列是等比数列，，其公比
⑴若，试比较与的大小，说明理由；
⑵若，试比较与的大小，说明理由.
【解析】方法1：的图象大致如下图所示：
y
x
O
1
2
图⑵

2n+1
O
x
y
1
n+1
图⑴

⑴ 由图⑴可知，； ⑵ 由图⑵可知，.
方法2：（用作差比较法，略）.
综合拔高训练
7.某养渔场，据统计测量，第一年鱼的重量增长率为200﹪，以后每年的增长率为前一年的一半.
⑴饲养5年后，鱼重量预计是原来的多少倍？
⑵如因死亡等原因，每年约损失预计重量的10﹪，那么，经过几年后，鱼的总质量开始下降？
【解析】⑴设鱼原来的产量为，200﹪
，

⑵由⑴可知，，而鱼每年都损失预计产量的10﹪，即实际产量只有原来的.

设底年鱼的总量开始减少，则
，即
，解得，
经过5年后，鱼的总量开始减少.
8.数列的前项和为，点在直线．
⑴若数列成等比数列，求常数的值；
⑵求数列的通项公式；
⑶数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；
若不存在，请说明理由．
【解析】⑴由题意知，
得，∴
⑵，，由⑴知：

⑶设存在S，P，r,
即
（＊）
因为s、p、r为偶数
1+2，（＊）式产生矛盾．所以这样的三项不存在．
9.(2001全国)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
⑴设年内（本年度为第一年）总收入为万元，旅游业总收入为万元，写出表达式
⑵至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
【解析】3.⑴第一年投入为800万元，第二年投入为万元，第年的投入为
万元.所以，年内的总投入为：
；
第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为万元，
第年旅游业收入为万元.所以，年内的旅游业总收入为

⑵设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，由此，
即
化简得，设，代入上式得，
解此不等式，得，或（舍去）即，由此得
答：至少经过5年旅游业的总收入能超过总投入.
10.（2009执信中学）设函数.若方程的根为和,
且.
(1)求函数的解析式；
(2)已知各项均不为零的数列满足: (为该数列前项和),求该数列的通项.
【解析】
⑴设
,,
又 ，
⑵由已知得
两式相减得, 或.
当，，若，则，这与矛盾.
.
⑶由,
或.
若，则；若，则
在时单调递减.
，在时成立.
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