高中数学竞赛讲义.doc

<p>高中数学竞赛资料
一、高中数学竞赛大纲
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;全国高中数学联赛
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;全国高中数学联赛加试
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：
&nbsp; &nbsp;1.平面几何
&nbsp; &nbsp;几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
&nbsp; &nbsp;2.代数
&nbsp; &nbsp;周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*
&nbsp; &nbsp;3.&nbsp;初等数论
&nbsp; &nbsp;同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
&nbsp; &nbsp;4.组合问题
圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛基础知识

第一章 集合与简易逻辑
一、基础知识
定义1 &nbsp;一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，分别表示有理数集和正实数集。
定义2 &nbsp;子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为，例如。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。
定义3 &nbsp;交集，
定义4 &nbsp;并集，
定义5 &nbsp;补集，若称为A在I中的补集。
定义6 &nbsp;差集，。
定义7 &nbsp;集合记作开区间，集合
记作闭区间，R记作
定理1 &nbsp;集合的性质：对任意集合A，B，C，有：
（1） （2）；
（3） （4）
【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。
（1）若，则，且或，所以或，即；反之，，则或，即且或，即且，即
（3）若，则或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有
定理2 &nbsp;加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。
定理3 &nbsp;乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。
二、方法与例题
1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。
例1 &nbsp;设，求证：
（1）；
（2）；
（3）若，则 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
[证明]（1）因为，且，所以
（2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，不可能等于，假设不成立，所以
（3）设，则

（因为）。
2．利用子集的定义证明集合相等，先证，再证，则A=B。
例2 &nbsp;设A，B是两个集合，又设集合M满足
，求集合M（用A，B表示）。
【解】先证，若，因为，所以，所以；
再证，若，则1）若，则；2）若，则。所以
综上，
3．分类讨论思想的应用。
例3 &nbsp;，若，求
【解】依题设，，再由解得或，
因为，所以，所以，所以或2，所以或3。
因为，所以，若，则，即，若，则或，解得
综上所述，或；或。
4．计数原理的应用。
例4 &nbsp;集合A，B，C是I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若，求有序集合对（A，B）的个数；（2）求I的非空真子集的个数。
【解】（1）集合I可划分为三个不相交的子集；A\B，B\A，中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个。
（2）I的子集分三类：空集，非空真子集，集合I本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有个，非空真子集有1022个。
5．配对方法。
例5 给定集合的个子集：，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求的值。
【解】将I的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得对，每一对不能同在这个子集中，因此，；其次，每一对中必有一个在这个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C1A与A，并设，则，从而可以在个子集中再添加，与已知矛盾，所以。综上，。
6．竞赛常用方法与例问题。
定理4 &nbsp;容斥原理；用表示集合A的元素个数，则
，需要xy此结论可以推广到个集合的情况，即

定义8 &nbsp;集合的划分：若，且，则这些子集的全集叫I的一个-划分。
定理5 &nbsp;最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。
定理6 &nbsp;抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于个元素，也必有一个抽屉放有不多于个元素；将无穷多个元素放入个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。
例6 &nbsp;求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。
【解】 记，，由容斥原理，，所以不能被2，3，5整除的数有个。
例7 &nbsp;S是集合{1，2，…，2004}的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7，问S中最多含有多少个元素？
【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S至多含有其中5个数。又因为2004=182×11+2，所以S一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当时，恰有，且S满足题目条件，所以最少含有912个元素。
例8 求所有自然数，使得存在实数满足：

【解】 &nbsp;当时，；当时，；当时， 。下证当时，不存在满足条件。
令，则
所以必存在某两个下标，使得，所以或，即，所以或，。
（ⅰ）若，考虑，有或，即，设，则，导致矛盾，故只有
考虑，有或，即，设，则，推出矛盾，设，则，又推出矛盾， 所以故当时，不存在满足条件的实数。
（ⅱ）若，考虑，有或，即，这时，推出矛盾，故。考虑，有或，即=3，于是，矛盾。因此，所以，这又矛盾，所以只有，所以。故当时，不存在满足条件的实数。
例9 &nbsp;设A={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，……，n}，在A中取三个数，B中取两个数组成五个元素的集合，求的最小值。
【解】
设B中每个数在所有中最多重复出现次，则必有。若不然，数出现次（），则在出现的所有中，至少有一个A中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合{1，}，其中，为满足题意的集合。必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以
20个中，B中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以。当时，如下20个集合满足要求：
{1，2，3，7，8}， &nbsp; {1，2，4，12，14}， &nbsp;{1，2，5，15，16}， &nbsp;{1，2，6，9，10}，
{1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， &nbsp;{1，3，6，12，15}， &nbsp;{1，4，5，7，9}，
{1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， &nbsp; {2，3，4，13，15}， &nbsp;{2，3，5，9，11}，
{2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， &nbsp; {2，4，6，7，11}， &nbsp; {2，5，6，12，13}，
{3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， &nbsp; &nbsp;{3，5，6，7，10}， &nbsp; {4，5，6，14，15}。
例10 集合{1，2，…，3n}可以划分成个互不相交的三元集合，其中，求满足条件的最小正整数
【解】 设其中第个三元集为则1+2+…+
所以。当为偶数时，有，所以，当为奇数时，有，所以，当时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以的最小值为5。

第二章 &nbsp;二次函数与命题
一、基础知识
1．二次函数：当0时，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴为直线x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同。
2．二次函数的性质：当a&gt;0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在[x0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a&lt;0时，情况相反。 a=&quot;&quot;&gt;0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c&gt;0…②及ax2+bx+c&lt;0…③与函数f(x)的关系如下（记△=b2-4ac）。&gt;0时，方程①有两个不等实根，设x1,x2(x1</p><x2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x|x<x1或x>x2}和{x|x1&lt;x&lt;x2}，二次函数f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)还可写成f(x)=a(x-x1)(x-x2).
2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x1=x2=x0=,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x}和空集，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。
3）当△&lt;0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和.f(x)图象与x轴无公共点。
当a&lt;0时，请读者自己分析。 a=&quot;&quot;&gt;0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)=,若a&lt;0，则当x=x0=时，f(x)取最大值f(x0)=.对于给定区间[m,n]上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a&gt;0)，当x0∈[m, n]时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(x0); 当x0<m时。f(x)在[m, x0="">n时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。
定义1 &nbsp;能判断真假的语句叫命题，如“3&gt;5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。
注1 &nbsp;“p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。
定义2 &nbsp;原命题：若p则q（p为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。
注2 &nbsp;原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。
注3 &nbsp;反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。
定义3 &nbsp;如果命题“若p则q”为真，则记为pq否则记作pq.在命题“若p则q”中，如果已知pq,则p是q的充分条件；如果qp，则称p是q的必要条件；如果pq但q不p，则称p是q的充分非必要条件；如果p不q但pq，则p称为q的必要非充分条件；若pq且qp，则p是q的充要条件。
二、方法与例题
1．待定系数法。
例1 &nbsp;设方程x2-x+1=0的两根是α，β，求满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x).
【解】 &nbsp;设f(x)=ax2+bx+c(a0),
则由已知f(α)=β,f(β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）a+b+1]=0，
因为方程x2-x+1=0中△0，
所以αβ，所以(α+β)a+b+1=0.
又α+β=1,所以a+b+1=0.
又因为f(1)=a+b+c=1，
所以c-1=1，所以c=2.
又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.
再由f(α)=β得aα2-(a+1)α+2=β,
所以aα2-aα+2=α+β=1，所以aα2-aα+1=0.
即a(α2-α+1)+1-a=0,即1-a=0，
所以a=1,
所以f(x)=x2-2x+2.
2．方程的思想。
例2 &nbsp;已知f(x)=ax2-c满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。
【解】 &nbsp;因为-4≤f(1)=a-c≤-1,
所以1≤-f(1)=c-a≤4.
又-1≤f(2)=4a-c≤5, f(3)=f(2)-f(1),
所以×(-1)+≤f(3)≤×5+×4,
所以-1≤f(3)≤20.
3．利用二次函数的性质。
例3 &nbsp;已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a0)，若方程f(x)=x无实根，求证：方程f(f(x))=x也无实根。
【证明】若a&gt;0，因为f(x)=x无实根，所以二次函数g(x)=f(x)-x图象与x轴无公共点且开口向上，所以对任意的x∈R,f(x)-x&gt;0即f(x)&gt;x，从而f(f(x))&gt;f(x)。
所以f(f(x))&gt;x，所以方程f(f(x))=x无实根。
注：请读者思考例3的逆命题是否正确。
4．利用二次函数表达式解题。
例4 &nbsp;设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a&gt;0)，方程f(x)=x的两根x1, x2满足0&lt;x1&lt;x2&lt;,
（Ⅰ）当x∈(0, x1)时，求证：x&lt;f(x)&lt;x1；
（Ⅱ）设函数f(x)的图象关于x=x0对称，求证：x0&lt;
【证明】 因为x1, x2是方程f(x)-x=0的两根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，
即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.
（Ⅰ）当x∈(0, x1)时，x-x1&lt;0, x-x2&lt;0, a=&quot;&quot;&gt;0，所以f(x)&gt;x.
其次f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+]&lt;0，所以f(x)&lt;x1.
综上，x<f(x)<x1. 2="a2(a-x2)," 5="" x="ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2," x0="," a="">1，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。
【证明】 &nbsp;方程化为2a2x2+2ax+1-a2=0.
构造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,
f(1)=(a+1)2&gt;0, f(-1)=(a-1)2&gt;0, f(0)=1-a2&lt;0,&gt;0，
所以f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。
即方程的正根比1小，负根比-1大。
6．定义在区间上的二次函数的最值。
例6 &nbsp;当x取何值时，函数y=取最小值？求出这个最小值。
【解】 y=1-,令u,则0&lt;u≤1。
y=5u2-u+1=5,
且当即x=3时，ymin=.
例7 &nbsp;设变量x满足x2+bx≤-x(b&lt;-1)，并且x2+bx的最小值是，求b的值。
【解】 &nbsp;由x2+bx≤-x(b&lt;-1)，得0≤x≤-(b+1). b2=&quot;2，所以（舍去）。&quot; -=&quot;&quot;&gt;-(b+1)，即b&gt;-2时，x2+bx在[0，-(b+1)]上是减函数，
所以x2+bx的最小值为b+1,b+1=-,b=-.
综上，b=-.
7.一元二次不等式问题的解法。
例8 &nbsp;已知不等式组 &nbsp;①②的整数解恰好有两个，求a的取值范围。
【解】 &nbsp;因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a, x2=1-a,
若a≤0，则x1<x2.①的解集为a<x<1-a，由②得x>1-2a.
因为1-2a≥1-a，所以a≤0,所以不等式组无解。
若a&gt;0，ⅰ）当0&lt;a&lt;时，x1&lt;x2,①的解集为a&lt;x&lt;1-a.
因为0<a<x<1-a<1，所以不等式组无整数解。 a="">时，a&gt;1-a，由②得x&gt;1-2a，
所以不等式组的解集为1-a<x<a.>1且a-(1-a)≤3，
所以1&lt;a≤2，并且当1&lt;a≤2时，不等式组恰有两个整数解0，1。
综上，a的取值范围是1<a≤2. 0="" 9="" .="" a="0，则由②对一切x,y,z∈R成立，则只有B=C，再由①知B=C=0，若A0，则因为②恒成立，所以A">0，△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2≤0恒成立，所以(B-A-C)2-4AC≤0，即A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)
同理有B≥0，C≥0，所以必要性成立。
再证充分性，若A≥0，B≥0，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)，
1）若A=0，则由B2+C2≤2BC得(B-C)2≤0，所以B=C，所以△=0，所以②成立，①成立。
2）若A&gt;0，则由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。
综上，充分性得证。
9．常用结论。
定理1 &nbsp;若a, b∈R, |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.
【证明】 &nbsp;因为-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|,
所以|a+b|≤|a|+|b|（注：若m&gt;0，则-m≤x≤m等价于|x|≤m）.
又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|,
即|a|-|b|≤|a+b|.综上定理1得证。
定理2 &nbsp;若a,b∈R, 则a2+b2≥2ab；若x,y∈R+,则x+y≥
(证略)
注 &nbsp;定理2可以推广到n个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。

第三章 &nbsp; 函数
一、基础知识
定义1 &nbsp;映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f: A→B为一个映射。
定义2 &nbsp;单射，若f: A→B是一个映射且对任意x, y∈A, xy, 都有f(x)f(y)则称之为单射。
定义3 &nbsp;满射，若f: A→B是映射且对任意y∈B，都有一个x∈A使得f(x)=y，则称f: A→B是A到B上的满射。
定义4 &nbsp;一一映射，若f: A→B既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f-1: A→B。
定义5 &nbsp;函数，映射f: A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定义域，若x∈A, y∈B，且f(x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3-1的定义域为{x|x≥0,x∈R}.
定义6 &nbsp;反函数，若函数f: A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1: A→B叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x, y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y=的反函数是y=1-(x0).
定理1 &nbsp;互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。
定理2 &nbsp;在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。
定义7 &nbsp;函数的性质。
（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1, x2∈I并且x1&lt; x2，总有f(x1)<f(x2)>f(x2))，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间。
（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。
定义8 &nbsp;如果实数a&lt;b，则数集{x|a&lt;x&lt;b, x∈R}叫做开区间，记作（a,b），集合{x|a≤x≤b,x∈R}记作闭区间[a,b]，集合{x|a<x≤b}记作半开半闭区间（a,b]，集合{x|a≤x<b}记作半闭半开区间[a, x="">a}记作开区间（a, +∞），集合{x|x≤a}记作半开半闭区间（-∞,a].
定义9 &nbsp;函数的图象，点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b&gt;0)；（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；（4）与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。
定理3 &nbsp;复合函数y=f[g(x)]的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如y=, u=2-x在（-∞,2）上是减函数，y=在（0，+∞）上是减函数，所以y=在（-∞,2）上是增函数。
注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。
二、方法与例题
x
yx
1
1x
1．数形结合法。
例1 &nbsp;求方程|x-1|=的正根的个数.
【解】 分别画出y=|x-1|和y=的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。

例2 &nbsp;求函数f(x)=的最大值。
【解】 &nbsp;f(x)=，记点P(x, x2)，A（3，2），B（0，1），则f(x)表示动点P到点A和B距离的差。
因为|PA|-|PA|≤|AB|=,当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2的交点时等号成立。
所以f(x)max=
2.函数性质的应用。
例3 &nbsp;设x, y∈R，且满足，求x+y.
【解】 &nbsp;设f(t)=t3+1997t，先证f(t)在（-∞，+∞）上递增。事实上，若a<b，则f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0，所以f(t)递增。
由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.
例4 &nbsp;奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)&lt;0，求a的取值范围。
【解】 &nbsp;因为f(x)&nbsp;是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设f(1-a)&lt;f(a2-1)。
又f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-1&lt;1-a&lt;a2-1&lt;1，解得0&lt;a&lt;1。
例5 &nbsp;设f(x)是定义在（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z, 用Ik表示区间(2k-1, 2k+1]，已知当x∈I0时，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。
【解】 &nbsp;设x∈Ik，则2k-1<x≤2k+1， 6="" 2.="" 0.="" m="" n="2x-3，方程化为" n0.="">0，则由①得n&lt;0，设f(t)=t(+1),则f(t)在（0，+∞）上是增函数。又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=
ⅱ)若m&lt;0，且n&gt;0。同理有m+n=0,x=,但与m&lt;0矛盾。
综上，方程有唯一实数解x=
3.配方法。
例7 &nbsp;求函数y=x+的值域。
【解】 &nbsp;y=x+=[2x+1+2+1]-1
=(+1)-1≥-1=-.
当x=-时，y取最小值-，所以函数值域是[-，+∞）。
4．换元法。
例8 &nbsp;求函数y=(++2)(+1),x∈[0,1]的值域。
【解】令+=u，因为x∈[0,1]，所以2≤u2=2+2≤4,所以≤u≤2,所以≤≤2，1≤≤2，所以y=,u2∈[+2，8]。
所以该函数值域为[2+，8]。
5．判别式法。
例9 &nbsp;求函数y=的值域。
【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ①
当y1时，①式是关于x的方程有实根。
所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0，解得≤y≤1.
又当y=1时，存在x=0使解析式成立，
所以函数值域为[，7]。
6．关于反函数。
例10 &nbsp;若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(-∞,+ ∞)上递增，求证：y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。
【证明】设x1&lt;x2, 且y1=f-1(x1), y2=f-1(x2)，则x1=f(y1), x2=f(y2)，若y1≥y2，则因为f(x)在(-∞,+ ∞)上递增，所以x1≥x2与假设矛盾，所以y1&lt;y2。
即y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)递增。
例11 &nbsp;设函数f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x).
【解】 &nbsp;首先f(x)定义域为（-∞，-）∪[-，+∞）；其次，设x1, x2是定义域内变量，且x1<x2<-;=>0,
所以f(x)在（-∞，-）上递增，同理f(x)在[-，+∞）上递增。
在方程f(x)=f-1(x)中，记f(x)=f-1(x)=y，则y≥0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x≥0,所以x,y∈[-，+∞）.
若xy，设x<y，则f(x)=y<f(y)=x，矛盾。 x="">y也可得出矛盾。所以x=y.
即f(x)=x，化简得3x5+2x4-4x-1=0,
即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,
因为x≥0，所以3x4+5x3+5x2+5x+1&gt;0，所以x=1.

第四章 &nbsp;几个初等函数的性质
一、基础知识
1．指数函数及其性质：形如y=ax(a&gt;0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当0<a<1时，y=ax是减函数，当a>1时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。
2．分数指数幂：。
3．对数函数及其性质：形如y=logax(a&gt;0, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，图象过定点（1，0）。当0<a<1，y=logax为减函数，当a>1时，y=logax为增函数。
4．对数的性质（M&gt;0, N&gt;0）；
1）ax=Mx=logaM(a&gt;0, a1)；
2）loga(MN)= loga M+ loga N；
3）loga（）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M；，
5）loga =loga M；6）aloga M=M; 7) loga b=(a,b,c&gt;0, a, c1).
5. 函数y=x+（a&gt;0）的单调递增区间是和，单调递减区间为和。（请读者自己用定义证明）
6．连续函数的性质：若a&lt;b, f(x)在[a, b]上连续，且f(a)·f(b)&lt;0，则f(x)=0在（a,b）上至少有一个实根。 1=&quot;&quot;&gt;0.
【证明】 设f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，则f(x)是关于x的一次函数。
所以要证原不等式成立，只需证f(-1)&gt;0且f(1)&gt;0（因为-1<a<1）. 1="(1-b)(1-c)">0，
f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)&gt;0，
所以f(a)&gt;0，即ab+bc+ca+1&gt;0.
例2 &nbsp;（柯西不等式）若a1, a2,…,an是不全为0的实数，b1, b2,…,bn∈R，则（）·（）≥()2，等号当且仅当存在R，使ai=, i=1, 2, …, n时成立。
【证明】 &nbsp;令f(x)= （）x2-2()x+=,
因为&gt;0，且对任意x∈R, f(x)≥0，
所以△=4()-4（）()≤0.
展开得（）()≥()2。
等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在，使ai=, i=1, 2, …, n。
例3 &nbsp;设x, y∈R+, x+y=c, c为常数且c∈(0, 2]，求u=的最小值。
【解】u==xy+≥xy++2·
=xy++2.
令xy=t，则0&lt;t=xy≤,设f(t)=t+,0&lt;t≤
因为0<c≤2，所以0<≤1，所以f(t)在上单调递减。 4="" 9="" 12="" min="f()=+，所以u≥++2." x="，则1+x=x2，解得" 2.="" log9p="log12q=" p="9" t="16" q="16t，">0，所以=
例5 &nbsp;对于正整数a, b, c(a≤b≤c)和实数x, y, z, w，若ax=by=cz=70w，且，求证：a+b=c.
【证明】 &nbsp;由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.
所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70，
相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由题设，
所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.
所以abc=70=2×5×7.
若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a&gt;1.
又a≤b≤c，且a, b, c为70的正约数，所以只有a=2, b=5, c=7.
所以a+b=c.
例6 &nbsp;已知x1, ac1, a1, c1. 且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab.
【证明】 &nbsp;由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底的对数，得
，
因为ac&gt;0, ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.
注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。
3．指数与对数方程的解法。
解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。
例7 &nbsp;解方程：3x+4 x +5 x =6 x.
【解】 &nbsp;方程可化为=1。设f(x)= , 则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3.
例8 &nbsp;解方程组：（其中x, y∈R+）.
【解】 &nbsp;两边取对数，则原方程组可化为 &nbsp;①②
把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx=0.
由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得x+y=6，
代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0.
又y&gt;0，所以y=2, x=4.
所以方程组的解为 .
例9 &nbsp;已知a&gt;0, a1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围。
【解】由对数性质知，原方程的解x应满足.①②③
若①、②同时成立，则③必成立，
故只需解.
由①可得2kx=a(1+k2)， &nbsp;④
当k=0时，④无解；当k0时，④的解是x=，代入②得&gt;k.
若k&lt;0，则k2&gt;1，所以k&lt;-1；若k&gt;0，则k2&lt;1，所以0<k<1. 1="" .="" s1="a1," n="">1时，an=Sn-Sn-1.
定义2 &nbsp;等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.
定理2 &nbsp;等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则an+am=ap+aq；5）对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.
定义3 &nbsp;等比数列，若对任意的正整数n，都有，则{an}称为等比数列，q叫做公比。
定理3 &nbsp;等比数列的性质：1）an=a1qn-1；2）前n项和Sn，当q1时，Sn=；当q=1时，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。
定义4 &nbsp;极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的&gt;0，存在M，对任意的n&gt;M(n∈N),都有|an-A|&lt;，则称A为n→+∞时数列{an}的极限，记作
定义5 &nbsp;无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|&lt;1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。
定理3 &nbsp;第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

竞赛常<!--1，所以0<k<1.--><!---1；若k--><!--0，则k2--></k<1.></c≤2，所以0<≤1，所以f(t)在上单调递减。></a<1）.><!--0，则f(x)=0在（a,b）上至少有一个实根。--></a<1，y=logax为减函数，当a></a<1时，y=ax是减函数，当a></y，则f(x)=y<f(y)=x，矛盾。></x2<-;=><!--0，且n--></x≤2k+1，></b，则f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)></x≤b}记作半开半闭区间（a,b]，集合{x|a≤x<b}记作半闭半开区间[a,></f(x2)></a≤2.></x<a.></a<x<1-a<1，所以不等式组无整数解。></x2.①的解集为a<x<1-a，由②得x><!---1)，得0≤x≤-(b+1).--><!--0,--></f(x)<x1.><!--0,--></m时。f(x)在[m,><!--0，则当x=x0=时，f(x)取最大值f(x0)=.对于给定区间[m,n]上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a--><!--0时，请读者自己分析。--></x2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x|x<x1或x><!--0…③与函数f(x)的关系如下（记△=b2-4ac）。--><!--0时，情况相反。-->