勾股定理全章知识点总结大全.doc
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1、.勾股定理全章知识点总结大全一根底知识点:1:勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。即:a2+b2c2要点诠释:勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用:1直角三角形的两边求第三边在中,那么,2直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边3利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2:勾股定理的逆定理如果三角形的三边长:a、b、c,那么有关系a2+b2c2,那么这个三角形是直角三角形。要点诠释:勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意:1首先确定
2、最大边,不妨设最长边长为:c;2验证c2与a2+b2是否具有相等关系,假设c2a2+b2,那么ABC是以C为直角的直角三角形假设c2a2+b2,那么ABC是以C为钝角的钝角三角形;假设c2a2+b2,那么ABC为锐角三角形。定理中,及只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如假设三角形三边长,满足,那么以,为三边的三角形是直角三角形,但是为斜边3:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。4:互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互
3、逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。5:勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下:方法一:,化简可证方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为 所以方法三:,化简得证6:勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即中,为正整数时,称,为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度,如;9,12,15;8,15,
4、17;9,40,41;12,16,20等用含字母的代数式表示组勾股数:为正整数;为正整数,为正整数二、规律方法指导1勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。2勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。3勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。4. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边长a,b,c有以下关系:a2+b2c2,那么这个三角形是直角三角形;该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运
5、算,通过学习加深对“数形结合的理解我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。例:勾股定理与勾股定理逆定理勾股定理典型例题及专项训练专题一:直接考查勾股定理及逆定理中,求的长 ,求的长分析: 练习:1、如下图,在四边形ABCD中,BAD=,DBC=,AD=3,AB=4,BC=12,求CD。2等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积。3、:如图,B=D=90,A=60,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。例2:直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边。练习:在ABC中,AB=13,AC=15,高AD=12,那么
6、BC的长为多少?例3:1.ABC的三边、满足,那么ABC为 三角形2.在ABC中,假设=+-,那么ABC是 三角形,且 练习:1、 与互为相反数,试判断以、为三边的三角形的形状。2、.假设ABC的三边、满足条件,试判断ABC的形状。那么以、为边的三角形是 4:如图,在ABC中,C=60,AB=,AC=4,AD是BC边上的高,求BC的长。经典图形突破:练习1.如图,ABC中,AB=AC,A=45,AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E,假设CD=1,那么BD等于( )A1 B C D2.一直角三角形的斜边长是2,周长是2+,求这个三角形的面积3.ABC中,D是AB的中点,假设AC=12,BC=
7、5,CD=65 求证:ABC是直角三角形4.如图,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且EC=BC,猜测AF与EF的位置关系,并说明理由,,分别以各边为直径作半圆,求阴影局部面积6.如图,ABC中,AB=AC=20,BC=32,D是BC上一点,且ADAC,求BD的长专题二 勾股定理的证明1、利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图的图形,这个图形被称为弦图从图中可以看到:大正方形面积小正方形面积四个直角三角形面积因而c2 化简后即为c2 abc2abcl、如图,直线上有三个正方形,假设的面积分别为5和11,那么的面积为461655aAADAABCbc第4题图3、一个直立的火柴盒在
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