数值分析-第五版-考试总结.doc

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第一章：数值分析与科学计算引论
截断误差：近似解与精确解之间的误差。
近似值的误差〔为准确值〕：

近似值的误差限：

近似值相对误差〔较小时约等〕：

近似值相对误差限：

函数值的误差限：

近似值有n位有效数字：

第二章：插值法

其中：

2.拉格朗日插值

次插值基函数：

引入记号：

余项：

3.牛顿插值多项式：

阶均差〔把中间去掉，分别填在左边和右边〕：

余项：

4.牛顿前插公式〔令，计算点值，不是多项式〕：

阶差分：

余项：

5.泰勒插值多项式：

阶重节点的均差：

6.埃尔米特三次插值：

其中，A的标定为：

7.分段线性插值：

第三章：函数逼近与快速傅里叶变换
1. 属于维空间：

2.范数：

3.带权内积和带权正交：

4.最正确逼近的分类〔范数的不同、是否离散〕：
最优一致〔-范数〕逼近多项式：

最正确平方〔-范数〕逼近多项式：

最小二乘拟合〔离散点〕：

5.正交多项式递推关系：

6.勒让德多项式：
正交性：

奇偶性：

递推关系：

7．切比雪夫多项式：
递推关系：

正交性：

在上有个零点：

在上有个零点：〔最优一致逼近〕

首项的系数：
8.最正确平方逼近：

法方程：

正交函数族的最正确平方逼近：

9.最小二乘法：

法方程：

正交多项式的最小二乘拟合:

第四章 数值积分与数值微分
1.求积公式具有次代数精度
求积公式〔多项式与函数值乘积的和〕，对于次数不超过的多项式成立，不成立

2.插值型求积公式

时的余项

4.牛顿-柯特斯公式：将划分为等份构造出插值型求积公式

5.梯形公式：当n=1时，

6.辛普森公式：当n=2时，

7.复合求积公式：
复合梯形公式：

复合辛普森公式：

8.高斯求积公式〔求待定参数和〕：
〔1〕求高斯点〔〕：令与任何次数不超过的多项式带权正交，即那么，由个方程求出高斯点。
〔2〕求待定参数：，也为次数不超过的多项式。
9.高斯-勒让德求积公式：取权函数为的勒让德多项式的零点即为求积公式的高斯点。
10.高斯-切比雪夫求积公式：取权函数为的切比雪夫多项式的零点即为求积公式的高斯点。

第五章 解线性方程组的直接方法
1.矩阵的附属范数：

2.条件数：

第六章 解线性方程组的迭代法
1.迭代法：

2.迭代法收敛：存在。
3.迭代法收敛的充分必要条件：，谱半径
4.渐进收敛速度：，迭代次数估计：
5.雅可比迭代法：

6.高斯-塞德尔迭代法：

7.严格对角占优矩阵：此矩阵为非奇异矩阵，其雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法均收敛。

8.弱对角占优矩阵：假设此矩阵也为不可约矩阵，那么其雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法均收敛。

其中，可约矩阵：n阶矩阵A有如下型式，否那么为不可约矩阵。

9.超松弛迭代法：为高斯-塞德尔迭代法的一种修正。

10.最速下降法：是对称正定矩阵

令：

使下式最小：

那么：

其中：

故而：

11.共轭梯度法：
〔1〕令，计算，取
〔2〕对，计算

〔3〕假设或，计算停止。

第七章 非线性方程与方程组的数值解法
1.二分法：1〕计算在有根区间的端值,
2〕计算区间中点值
3〕判断或者
2.不动点迭代法：

3.不动点迭代法收敛：

4. 在上存在不动点：〔压缩映射〕

5. 不动点迭代法收敛性：满足上条，那么不动点迭代法收敛，误差为：

6.局部收敛：存在的某个邻域内的任意的，迭代法产生的序列收敛到。
7.不动点迭代法局部收敛：其中为的不动点，在邻域连续。

8. P阶收敛：当时，迭代误差，满足
9.牛顿〔重根〕法:

10.简化的牛顿法：

11.牛顿下山法：

从开始试算，之后逐次减半，直到满足下降条件：为止。
12.弦截法：

第八章 矩阵特征值计算
1.格什戈林圆盘：以为圆心，以为半径的所有圆盘

2. 的每个特征值必属于某个圆盘之中：

3. 有个圆盘组成一个连通的并集，与和余下个圆盘是别离的，那么内恰包含的个特征值。
4.幂法：
设的特征值满足条件：
任取非零向量，构造向量序列，
假设：

那么：

5.收敛速度：

6.幂法改良：

7.加速方法〔原点平移法〕：构造矩阵，应用幂法使在计算其主特征值的过程中得到加速。

8.假设，称矩阵为初等反射矩阵，可得：
10.设为两个不等的维向量，，令，那么，那么可推导出：

11.豪斯霍尔德约化定理：

12.吉文斯变换：

12.矩阵的QR分解：1〕设非奇异，那么存在正交矩阵，使，其中为上三角矩阵。
2〕设非奇异，那么存在正交矩阵与上三角矩阵，使，当对角元素为正分解唯一。
13.豪斯霍尔德约化矩阵为上海森伯格矩阵：

14.方法：1〕计算上海森伯格矩阵的全部特征值；2〕计算对称三对角矩阵的全部特征值。

第九章 常微分方程初值问题数值解法
1.一阶常微分初值问题：

2.利普西茨条件：满足此条件，上述问题存在唯一的连续可微解。

3.欧拉方法：

4.后退的欧拉法：

5.梯形方法：

6.改良欧拉公式：

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