导数的基本概念及性质应用.doc

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导数的基本概念及性质应用
考点：1、掌握导数的基本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解
2、能运用导数求解单调区间及极值、最值
3、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。
能力：数形结合
方法：讲练结合
新授课：
一、 知识点总结：
导数的基本概念与运算公式
１、 导数的概念
函数y =的导数，就是当Δ0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δ的比的极限，即＝＝
说明：分子和分母中间的变量必须保持一致
２、 导函数
函数y = 在区间( a, b )内每一点的导数都存在，就说在区间( a, b )内可导，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做的导函数，记作或，
函数的导函数在时的函数值，就是在处的导数。
３、 导数的几何意义
设函数y =在点处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的切线斜率。
４、 求导数的方法
（１）基本求导公式

（２）导数的四则运算

（３）复合函数的导数
设在点x处可导，y =在点处可导，则复合函数在点x处可导，

导数性质：
1、函数的单调性
⑴设函数y＝在某个区间内可导，若＞0，则为增函数；若＜0则为减函数。
⑵求可导函数单调区间的一般步聚和方法。
①确定函数的定义区间
②求，令＝0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根。
③把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间。
④确定在各小开区间内的符号，根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性。
说明：原函数单调性与导函数单调性无关，只与导函数正负号有关
2．可导函数的极值
⑴极值的概念
设函数在点附近有定义，且对附近的所有点都有＜（或 ＞），则称为函数的一个极大（小）值点。称为极大（小）值点。
⑵求可导函数极值的步骤。
①求导数
②求方程＝0的根
③检验在方程＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝在这个根处取得极小值。
说明：极值点的导数为0，导数为0的点不一定是极值点（隐含条件，说明某点是极值点，相当于给出了一个＝0的方程
3．函数的最大值与最小值
⑴设y＝是定义在区间[a ,b ]上的函数，y＝在(a ,b )内有导数，求函数y＝在[a ,b ]上的最大值与最小值，可分两步进行。
①求y＝在(a ,b )内的极值。
②将y＝在各极值点的极值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
⑵若函数y＝在[a ,b ]上单调增加，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数y＝在[a ,b ]上单调减少，则为函数的最大值，为函数的最小值。
说明：极大值小于等于最大值，极小值大于等于最小值
二、 例题讲解
题型一导数的概念
【例1】设f(x)在点x0处可导，a为常数，则 等于( )
A.f/(x0) B.2af/(x0) C.af/(x0) D.0
【变式】设在处可导

题型二导数的几何意义、物理意义
【例2】（1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；
　　 （2）运动曲线方程为，求t=3时的速度。
　 分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。

题型三利用导数求单调区间
【例3】求下列函数单调区间
（1）

（2）

（3）

（4）

题型四：利用导数求函数的最（极）值
【例4】求函数在闭区间[-3，0]上的极值、最大值、最小值

题型五：原函数图像与导函数图像
【例5】 1、设f '(x)是函数f(x)的导函数，y=f '(x)的图象
如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是

(A) (B) (C) (D)
2、函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　 ）

A．1个
B．2个
C．3个
D． 4个

题型六：利用极值的本质及单调性求解析式
【例6】已知函数在处取得极值。
(I)讨论和是函数的极大值还是极小值；
(II)过点作曲线的切线，求此切线方程。

【例7】已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点（1，0），（2，0）如图所示.求：
（1）的值；（2）a、b、c的值.

【例8】已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，当x=－1时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值．求这个极小值及a、b、c的值

【例9】已知的图象经过点，且在处的切线方程是（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间

题型七：含参数的讨论
【例10】（1）如果函数f(x)=x3+ax的图象上各点处的切线斜率都为正数，则实数a的取值范围是
( )
A.(0,+¥ ) B.[0,+¥ ) C.(3,+¥ ) D.[3,+¥ )
（2）如果函数f(x)=x3+ax的图象上有平行于x轴的切线，则实数a的取值范围是________________

【例11】已知函数在区间上都是增函数，在（0，4）上是减函数.
（1）求b的值； （2）求a的取值范围

题型八：综合应用
【例12】平面向量，若存在不同时为的实数和，使
且，试确定函数的单调区间

例题答案：
【例1】解：

故选(C)
【变式】：-1
【例2】（1），
　　 ，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0
　　 因此曲线在（1，1）处的切线方程为y=1
　　 （2）
　　 。
【例3】（1） 时
∴ ，
（2） ∴ ，
（3）
∴
∴ ， ，
（4） 定义域为

【例4】略，注意强调学生的步骤完整性
【例5】1、C 2、 A
【例6】分析：（1）分析x=±1处的极值情况，关键是分析x=±1左右（x）的符号.
（2）要分清点A（0，16）是否在曲线上.
解：（1）（x）=3ax2+2bx－3，依题意，（1）=（－1）=0，即
解得a=1，b=0.
∴f（x）=x3－3x，（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1）.
令（x）=0，得x=－1，x=1.
若x∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则（x）＞0，
故f（x）在（－∞，－1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数.
若x∈（－1，1），则（x）＜0，故f（x）在（－1，1）上是减函数.
所以f（－1）=2是极大值，f（1）=－2是极小值.
（2）曲线y=x3－3x，点A（0，16）不在曲线上，设切点M（x0，y0），则y0=x03－3x.
∵（x0）=3x02－3，
∴切线方程为y－y0=3（x02－1）（x－x0）.
代入A（0，16）得16－x03+3x0=3（x02－1）（0－x0）.
解得x0=－2，∴M（－2，－2），切线方程为9x－y+16=0.
评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键
【例7】解：函数的增减变化如下表：
x

1

2

+
0
-
0
+

极大

极小

（1）在x=1处由增变减，故为极大值，即=1.
（2）由于，

【例8】解：f′（x）=3x2+2ax+b．据题意，－1，3是方程3x2+2ax+b=0的两个根，由韦达定理得
∴a=－3，b=－9
∴f（x）=x3－3x2－9x+c
∵f（－1）=7，∴c=2
极小值f（3）=33－3×32－9×3+2=－25
∴极小值为－25，a=－3，b=－9，c=2
【例9】解：（1）的图象经过点，则，

切点为，则的图象经过点
得

（2）
单调递增区间为
【例10】（1）A （2）(-¥ ，0］
【例11】解：⑴由条件知是函数的极值点.
∵，令，得.
⑵已求，∴.令，得.由条件知
为极大值点，则应为极小值点.又知曲线在区间（0，4）上是减函数.
∴，，得
【例12】解：由得

所以增区间为；减区间为。
三、 课堂演练：
1. 若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为2x－y－1=0，则
A．f′（x0）>0 B．f′（x0）<0 C．f′（x0）=0 D．f′（x0）不存在
2. 函数在区间上的最大值是（　　）
A． B． C． D．
3．函数y=x3－3x的极大值为m，极小值为n，则m+n为
A．0 B．1 C．2 D．4　
4.已知函数在时取得极值，则实数的值是（　　）
A． B． C． D．
5.在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（）
A． B． C． D．
6.三次函数y=f（x）=ax3+x在x∈（－∞，+∞）内是增函数，则
A．a>0 B．a<0 C．a=1 D．a=
7. 与直线2x－6y+1=0垂直，且与曲线y=x3+3x2－1相切的直线方程是___________．
8. 已知a为实数，。
⑴求导数；
⑵若，求在[－2，2] 上的最大值和最小值；
⑶若在(－∞，－2)和[2，+∞]上都是递增的，求a的取值范围

1-6AAADAA，7.3x+y+2=0
8. 解：⑴由原式得∴
⑵由 得,此时有.
由得或x=-1 ,
又
所以f(x)在[－2,2]上的最大值为最小值为
⑶解法一:的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件
得
即 ∴－2≤a≤2.
所以a的取值范围为[－2,2].
解法二:令即 由求根公式得:

所以在和上非负.
由题意可知,当x≤-2或x≥2时, ≥0,
从而x1≥-2, x2≤2,
即 解不等式组得－2≤a≤2.
∴a的取值范围是[－2,2].
四、 课堂小结：
导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值。
知识点需要熟悉，但是更重要的是掌握其本质，并能灵活应用于各种题型。
五、 课下作业：
1、函数的递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
2、,若,则的值等于（ ）
A． B． C． D．
3、 函数在区间上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4、 曲线在点 处的切线倾斜角为__________；
5、函数的单调递增区间是___________________________。
答案：1、C； 2、D； 3、D； 4、； 5、

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