高中数学选修2-1模块复习资料.doc

模块复习提升课
一　常用逻辑用语

,　　　　　　　　[学生用书P76])

1．四种命题及其关系
(1)四种命题

命题
表述形式
原命题
若p，则q
逆命题
若q，则p
否命题
若¬p，则¬q
逆否命题
若¬q，则¬p
(2)四种命题间的逆否关系

(3)四种命题的真假关系
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
2．充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)分类
①充要条件：p⇒q且q⇒p，记作p⇔q；
②充分不必要条件：p⇒q，qp；
③必要不充分条件：q⇒p，pq，
④既不充分也不必要条件：pq，且qp.
3．简单的逻辑联结词
(1)用联结词“且”“或”“非”联结命题p和命题q，可得p∧q，p∨q，¬p.
(2)命题p∧q，p∨q，¬p的真假判断．
p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与¬p必定是一真一假．
4．全称量词与存在量词
(1)全称量词与全称命题．
全称量词用符号“∀”表示．
全称命题用符号简记为∀x∈M，p(x)．
(2)存在量词与特称命题．
存在量词用符号“∃”表示．
特称命题用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．
5．含有一个量词的命题的否定

命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，¬p(x0)
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，¬p(x)

1．否命题和命题的否定是两个不同的概念
(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题；
(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为：“若p，则q”，则该命题的否命题是“若¬p，则¬q”；命题的否定为“若p，则¬q”．
2．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．
如“a＝0”是“a·b＝0”的充分不必要条件，“a·b＝0”是“a＝0”的必要不充分条件．
3．注意常见逻辑联结词的否定
一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．

　四种命题及其关系[学生用书P76]
　设命题为“若k＞0，则关于x的方程x2－x－k＝0有实数根”，该命题的否定、逆命题、否命题和逆否命题中假命题的个数为________．
【解析】　命题的否定：若k＞0，则关于x的方程x2－x－k＝0没有实数根．假命题；
逆命题：若关于x的方程x2－x－k＝0有实数根，则k＞0.假命题；
否命题：若k≤0，则关于x的方程x2－x－k＝0没有实数根．假命题；
逆否命题：若关于x的方程x2－x－k＝0没有实数根，则k≤0.真命题．
【答案】　3

四种命题的写法及其真假的判断方法
(1)四种命题的写法
①明确条件和结论：认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出命题的逆命题、否命题、逆否命题；
②应注意：原命题中的前提不能作为命题的条件．
(2)简单命题真假的判断方法
①直接法：判断简单命题的真假，通常用直接法判断．用直接法判断时，应先分清条件和结论，运用命题所涉及的知识进行推理论证；　
②间接法：当命题的真假不易判断时，还可以用间接法，转化为等价命题或举反例．用转化法判断时，需要准确地写出所给命题的等价命题．
　写出命题“若＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解：逆命题：若x＝2且y＝－1，则＋(y＋1)2＝0，真命题．
否命题：若＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1，真命题．
逆否命题：若x≠2或y≠－1，则＋(y＋1)2≠0，真命题．
　充分、必要条件的判断及应用[学生用书P77]
　(1)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的(　　)
A．充要条件　 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
(2)已知集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x＜a}，则“a＞5”是“A⊆B”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】　(1)由正弦定理，知a≤b⇔2Rsin A≤2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)⇔sin A≤sin B．故选A.
(2)A＝{x||x|≤4，x∈R}⇒A＝{x|－4≤x≤4}，所以A⊆B⇔a＞4，而a＞5⇒a＞4，且a＞4a＞5，所以“a＞5”是“A⊆B”的充分不必要条件．
【答案】　(1)A　(2)A

判断充分、必要条件的方法
集合法：即看集合A和B的包含关系．
①若A⊆B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件．　
②若AB，则A是B的充分不必要条件；
③若AB，则A是B的必要不充分条件；
④若A＝B，则A，B互为充要条件；
⑤若AB，且AB，则A是B的既不充分也不必要条件．
　已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围．
解：设A＝{x|x2－8x－20>0}＝{x|x<－2或x>10}，
B＝{x|x2－2x＋1－a2>0}＝{x|x<1－a或x>1＋a}，
由于p是q的充分而不必要条件，
可知AB.
从而或
解得0<a≤3.
故所求正实数a的取值范围为(0，3]．
　含有逻辑联结词的命题[学生用书P77]
　(1)命题p：正数的对数都是负数；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是(　　)
A．“p或q”是真命题　　 B．“p或q”是假命题
C．¬p为假命题 D．¬q为假命题
(2)设集合A＝{x|－2－a＜x＜a，a＞0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则a的取值范围是________．
【解析】　(1)例如∃x0>1，logax0＞0(a>1)，
所以命题p是假命题；命题q是假命题，
例如f(x)＝
综上可知，“p或q”是假命题，故选B.
(2)若p为真命题，则－2－a＜1＜a，解得a＞1.
若q为真命题，则－2－a＜2＜a，解得a＞2.
依题意得p与q一真一假，若p真q假，
则
即1＜a≤2.
若p假q真，
则a不存在．
综上1＜a≤2.
【答案】　(1)B　(2)(1，2]

判断含有逻辑联结词的命题真假的方法
(1)先确定简单命题p，q.
(2)分别确定简单命题p，q的真假．
(3)利用真值表判断所给命题的真假．　
　1.已知命题p：若a>1，则ax>logax恒成立；命题q：在等差数列{an}中(其中公差d≠0)，“m＋n＝p＋q”是“am＋an＝ap＋aq”的充分不必要条件(m，n，p，q∈N*)，则下面选项中真命题是(　　)
A．¬p∧¬q B．¬p∨¬q
C．¬p∨q D．p∧q
解析：选B.对于命题p，如图所示作出函数y＝ax(a>1)与y＝logax(a>1)在(0，＋∞)上的图象，显然当a>1时，函数y＝ax的图象在函数y＝logax图象的上方，即a>1时，ax>logax恒成立，故命题p为真命题．

对于命题q，由等差数列的性质，可知当公差不为0时，“m＋n＝p＋q”是“am＋an＝ap＋aq”的充要条件，故命题q为假命题．
所以¬p为假，¬q为真，所以p∧q为假，
¬p∨q为假，¬p∧¬q为假，¬p∨¬q为真．
2．设命题p：c2＜c和命题q：∀x∈R，x2＋4cx＋1＞0，且p∨q为真，p∧q为假，则实数c的取值范围是________．
解析：解不等式c2＜c，得0＜c＜1，即命题p：0＜c＜1，
所以命题¬p：c≤0或c≥1.
又由(4c)2－4＜0，得－＜c＜，
即命题q：－＜c＜，
所以命题¬q：c≤－或c≥，
由p∨q为真，知p与q中至少有一个为真，
由p∧q为假，知p与q中至少有一个为假，
所以p与q中一个为真命题，一个为假命题．
当p真q假时，实数c的取值范围是≤c＜1.
当p假q真时，实数c的取值范围是－＜c≤0.
综上所述，实数c的取值范围是－＜c≤0或≤c＜1.
答案：∪
　全称命题与特称命题[学生用书P78]
　(1)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是(　　)
A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1
C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1
D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
(2)若命题“∃x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】　(1)改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1，故选A.
(2)因为∃x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜0是真命题，所以方程x＋(a－1)x0＋1＝0有两个不等实根，所以Δ＝(a－1)2－4＞0，解得a＞3或a＜－1.
【答案】　(1)A　(2)(－∞，－1)∪(3，＋∞)

全称命题、特称命题真假判断
(1)全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．
(2)特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题为假．　
　1.已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则¬p为(　　)
A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1
B．∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1
C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1
D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1
解析：选B.全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1的否定是¬p：∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1.
2．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，若∀x1∈[－1，2]，∃x2∈[－1，2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是(　　)
A．
B．
C．(0，3]
D．[3，＋∞)
解析：选D.由函数的性质可得函数f(x)＝x2－2x的值域为[－1，3]，g(x)＝ax＋2的值域是[2－a，2＋2a]．因为∀x1∈[－1，2]，∃x2∈[－1，2]，使得f(x1)＝g(x2)，所以[－1，3]⊆[2－a，2＋2a]，所以解得a≥3.

,　　　　　　　　[学生用书P147(单独成册)])
[A　基础达标]
1．命题“若a>0，则a2>0”的逆命题是(　　)
A．若a>0，则a2≤0　　 B．若a2>0，则a>0
C．若a≤0，则a2>0 D．若a≤0，则a2≤0
解析：选B.交换原命题的条件和结论即可得其逆命题．
2．若命题p：x＝2且y＝3，则¬p为(　　)
A．x≠2或y≠3 B．x≠2且y≠3
C．x＝2或y≠3 D．x≠2或y＝3
解析：选A.由于“且”的否定为“或”，所以¬p：x≠2或y≠3.故选A.
3．下列表述错误的是(　　)
A．存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β
B．命题“若a∈M，则b∉M”的等价命题是“若b∈M，则a∉M”
C．“x>2”是“x2>4”的充分不必要条件
D．对任意的φ∈R，函数y＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
解析：选D.当α＝0，β＝时，tan＝tan 0＋tan成立，故选项A正确．
对于选项B、C，显然正确．
在D中，存在φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝sin(2x＋φ)是偶函数，D错误．
4．设p：log2x<0，q：>1，则p是q的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.p：log2x<0⇔0<x<1；q：>1⇔x<1，所以p⇒q但qp，所以p是q的充分不必要条件，故选B.
5．已知命题p：∃x0∈R，x0－2>lg x0，命题q：∀x∈R，x2>0，则(　　)
A．命题p∨q是假命题
B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧(¬q)是真命题
D．命题p∨(¬q)是假命题
解析：选C.当x＝10时，x－2＝8，lg x＝lg 10＝1，故命题p为真命题，令x＝0，则x2＝0，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，可知命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，¬q是真命题，进而得到命题p∧(¬q)是真命题，命题p∨(¬q)是真命题．故选C.
6．写出命题“若方程ax2－bx＋c＝0的两根均大于0，则ac＞0”的一个等价命题：________________．
解析：一个命题与其逆否命题是等价命题．
答案：若ac≤0，则方程ax2－bx＋c＝0的两根不均大于0
7．给出下列三个命题：
①当m＝0时，函数f(x)＝mx2＋2x是奇函数；
②若b2＝ac，则a，b，c成等比数列；
③已知x，y是实数，若x＋y≠2，则x≠1或y≠1.
其中为真命题的是________(填序号)．
解析：①中，当m＝0时，f(x)＝mx2＋2x＝2x是奇函数，故①是真命题；②中，取a＝b＝0，c＝1，满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列，故②不是真命题；③的逆否命题为“已知x，y是实数，若x＝1且y＝1，则x＋y＝2”是真命题，所以原命题也是真命题，即③是真命题．
答案：①③
8．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(3－x)＞0.若¬p是¬q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析：p：－4＜x－a＜4，即a－4＜x＜a＋4；q：(x－2)(3－x)＞0，即2＜x＜3，所以¬p：x≤a－4或x≥a＋4，¬q：x≤2或x≥3；而¬p是¬q的充分条件，所以解得－1≤a≤6.
答案：[－1，6]
9．指出下列命题中，p是q的什么条件：
(1)p：{x|x>－2或x<3}；q：{x|x2－x－6<0}；
(2)p：a与b都是奇数；q：a＋b是偶数；
(3)p：0<m<；q：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根．
解：(1)因为{x|x>－2或x<3}＝R，{x|x2－x－6<0}＝{x|－2<x<3}，所以{x|x>－2或x<3}⃘ {x|－2<x<3}，而{x|－2<x<3}{x|x>－2或x<3}．
所以p是q的必要不充分条件．
(2)因为a、b都是奇数⇒a＋b为偶数，而a＋b为偶数 a、b都是奇数，所以p是q的充分不必要条件．
(3)mx2－2x＋3＝0有两个同号不等实根⇔
⇔⇔⇔0<m<.
所以p是q的充要条件．
10．设有两个命题：
p：关于x的不等式sin xcos x>m2＋－1的解集是R；
q：幂函数f(x)＝x7－3m在(0，＋∞)上是减函数．
若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求m的取值范围．
解：因为“p且q”是假命题，所以p，q中至少有一个是假命题．
因为“p或q”是真命题，所以p，q中至少有一个是真命题．
故p和q两个命题一真一假．
若p真，则2m2＋m－2<－1，即2m2＋m－1<0，所以－1<m<.
若q真，则7－3m<0，所以m>.
p真q假时，－1<m<；p假q真时，m>.
所以m的取值范围是∪.
[B　能力提升]
11．设f(x)＝x2－4x(x∈R)，则f(x)＞0的一个必要不充分条件是(　　)
A．x＜0 B．x＜0或x＞4
C．|x－1|＞1 D．|x－2|＞3
解析：选C.由x2－4x＞0有x＞4或x＜0，故f(x)＞0的必要不充分条件中x的取值范围应包含集合{x|x＞4或x＜0}，验证可知，只有C选项符合．
12．下列选项中叙述错误的是(　　)
A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为假命题
B．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件
C．若“p∨q”为假命题，则“(¬p)∧(¬q)”也为假命题
D．若命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则¬p：∃x0∈R，x＋x0＋1＝0
解析：选C.对于A，命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”是假命题，因此该命题的逆否命题也是假命题；对于B，由x＞2可得x2－3x＋2＝(x－1)·(x－2)＞0，反过来，由x2－3x＋2＞0不能得知x＞2，因此“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件；对于C，若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题，所以“(¬p)∧(¬q)”是真命题；对于D，命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则¬p：∃x0∈R，x＋x0＋1＝0，综上所述，选C.
13．已知a＞0，函数f(x)＝ax－bx2.
(1)当b＞0时，若对任意x∈R，都有f(x)≤1，证明：a≤2；
(2)当b＞1时，证明：对任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2.
证明：(1)此题等价于对所有x∈R有ax－bx2≤1，即bx2－ax＋1≥0，
因为b＞0，所以Δ＝a2－4b≤0.
又因为a＞0，所以a≤2.
(2)①必要性：设对所有x∈[0，1]，有|f(x)|≤1，即－1≤ax－bx2≤1.
令x＝1∈[0，1]，则有－1≤a－b≤1，即b－1≤a≤b＋1.
因为b＞1，所以－≤≤＋.
这说明∈[0，1]．
所以f≤1，即－b·≤1.
所以a2≤4b，a≤2.
综上所述，有b－1≤a≤2.
②充分性：设b－1≤a≤2.
因为b＞1，
所以＝·＜1.
所以当x∈[0，1]时f(x)的最大值为f(x)max＝f＝a·－b·＝＜1.
又因为f(x)的图像是开口向下的抛物线，
所以当x∈[0，1]时，f(x)的最小值f(x)min＝
min{f(0)，f(1)}＝min{0，a－b}≥－1.
所以当x∈[0，1]时，|f(x)|≤1.
综合①②可知，当b＞1时，对任意x∈[0，1]有|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2.
14．(选做题)已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若同时满足条件：①对任意x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②存在x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，求m的取值范围．
解：将①转化为g(x)<0的解集的补集是f(x)<0解集的子集求解；②转化为f(x)>0的解集与(－∞，－4)的交集非空．
若g(x)＝2x－2<0，则x<1.
又因为对任意x∈R，g(x)<0或f(x)<0，
所以[1，＋∞)是f(x)<0的解集的子集．
又由f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)<0知，m不可能大于或等于0，因此m<0.
当m<0时，f(x)<0，即(x－2m)(x＋m＋3)>0.
当2m＝－m－3，即m＝－1时，f(x)<0的解集为{x|x≠－1}，满足条件．
当2m>－m－3，即－1<m<0时，f(x)<0的解集为{x|x>2m或x<－m－3}．依题意2m<1，即m<，所以－1<m<0.
当2m<－m－3，即m<－1时，f(x)<0的解集为{x|x<2m或x>－m－3}．依题意－m－3<1，即m>－4，
所以－4<m<－1.
因此满足①的m的取值范围是－4<m<0.
②中，因为当x∈(－∞，－4)时，g(x)＝2x－2<0，所以问题转化为存在x∈(－∞，－4)，f(x)>0，即f(x)>0的解集与(－∞，－4)的交集非空．又m<0，则(x－2m)(x＋m＋3)<0.
由①的解法知，当－1<m<0时，2m>－m－3，即－m－3<－4，
所以m>1，此时无解．
当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2恒小于或等于0，此时无解．
当m<－1时，2m<－m－3，即2m<－4，所以m<－2.
综合①②可知满足条件的m的取值范围是－4<m<－2.

二　圆锥曲线与方程

,　　　　　　　　

1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质

椭圆
双曲线
抛物线
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹
标准方程
＋＝1或＋＝1(a>b>0)
－＝1或－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py(p>0)
关系式
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2

图形
封闭图形
无限延展，但有渐近线y＝±x或y＝±x
无限延展，没有渐近线，有准线
变量范围
|x|≤a，|y|≤b或|y|≤a，|x|≤b
|x|≥a或|y|≥a
x≥0或x≤0或y≥0或y≤0
对称性
对称中心为原点
无对称中心
两条对称轴
一条对称轴
顶点
四个
两个
一个
离心率
e＝，
且0<e<1
e＝，且e>1
e＝1
决定形状的因素
e决定扁平程度
e决定开口大小
2p决定开口
大小

2．椭圆的焦点三角形

设P为椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且∠F1PF2＝α，则△PF1F2为焦点三角形(如图)．
(1)焦点三角形的面积S＝b2tan.
(2)焦点三角形的周长L＝2a＋2c.
3．双曲线及渐近线的设法技巧
(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程．如双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为－＝0(a>0，b>0)，即y＝±x；双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为－＝0(a>0，b>0)，即y＝±x.
(2)如果双曲线的渐近线为±＝0时，它的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
4．特殊的两个双曲线
(1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线．与－＝1具有相同渐近线的双曲线系方程为－＝k(k≠0)．
(2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距．
(3)等轴双曲线方程一般设为x2－y2＝a2(或y2－x2＝a2)．
5．抛物线方程的设法
对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程，一般可设为y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)．
6．抛物线的焦点弦问题
抛物线过焦点F的弦长|AB|的一个重要结论．
(1)y2＝2px(p>0)中，|AB|＝x1＋x2＋p.
(2)y2＝－2px(p>0)中，|AB|＝－x1－x2＋p.
(3)x2＝2py(p>0)中，|AB|＝y1＋y2＋p
(4)x2＝－2py(p>0)中，|AB|＝－y1－y2＋p.

1．椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a中，应有2a>|F1F2|，双曲线定义||PF1|－|PF2||＝2a中，应有2a<|F1F2|，抛物线定义中，定点F不在定直线l上．
2．求圆锥曲线的标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上，选取合适的形式．
3．由标准方程判断椭圆、双曲线的焦点位置时，椭圆看分母的大小，双曲线看x2，y2系数的符号．
4．直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．

　轨迹问题[学生用书P79]
　(1)已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·.则动点P的轨迹C的方程为________．
(2)如图所示，椭圆C0：＋＝1(a>b>0，a，b为常数)，动圆O：x2＋y2＝t，b<t1<a.点A1、A2分别为C0的左、右顶点，圆O与椭圆C0相交于A，B，C，D四点，求直线AA1与直线A2B的交点M的轨迹方程．

【解】　(1)设P(x，y)，则Q(x，－1)．
因为·＝·，
所以(0，y＋1)·(－x，2)＝(x，y－1)·(x，－2)，
即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，
即x2＝4y，
所以动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.故填x2＝4y.
(2)设A(x1，y1)，则B(x1，－y1)，
又知A1(－a，0)，A2(a，0)，则
直线AA1的方程为y＝(x＋a)，①
直线A2B的方程为y＝(x－a)，②
由①×②，得y2＝(x2－a2)，③
又点A(x1，y1)在椭圆C0上，
故＋＝1，
从而y＝b2.④
把④代入③，得－＝1(x<－a，y<0)，即为点M的轨迹方程．

求曲线方程的常用方法及特点
(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程．
(2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量．
(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．
(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数．　
　已知动点M到定点A(1，0)与到定直线l：x＝3的距离之和等于4，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？
解：设M(x，y)是轨迹上的任意一点，作MN⊥l于N，

由|MA|＋|MN|＝4得
＋|x－3|＝4.
当x≥3时，上式化简为y2＝－12(x－4)；
当x<3时，上式化简为y2＝4x.
所以点M的轨迹方程为y2＝－12(x－4)(x≥3)和y2＝4x(x<3)，其轨迹是两条抛物线段．
　圆锥曲线的定义及应用[学生用书P80]
　(1)设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．
(2)已知双曲线－＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________．
【解析】　(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1.由抛物线的定义，知点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为求点P到点A(－1，1)的距离与点P到点F(1，0)的距离之和的最小值．显然，A，P，F三点共线时，所求的距离之和取得最小值，且AF的长为所求的最小值，故最小值为，即为.

(2)设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)．因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝|PF′|，又|FN|＝＝5，且由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－|PF′|＝(|PF|－|PF′|)－|FN|＝×8－5＝－1.
【答案】　(1)　(2)－1

圆锥曲线定义的应用技巧
(1)在求点的轨迹问题时，若所求轨迹符合圆锥曲线的定义，则根据定义直接写出圆锥曲线的轨迹方程．
(2)焦点三角形问题，在椭圆和双曲线中，常涉及曲线上的点与两焦点连接而成的“焦点三角形”，处理时常结合圆锥曲线的定义及解三角形的知识解决．
(3)在抛物线中，常利用定义，以达到“到焦点的距离”和“到准线的距离”的相互转化．　
　已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　)
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．以上都不对
解析：选C.把轨迹方程5＝|3x＋4y－12|写成＝.
所以动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．
所以动点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．
　圆锥曲线的方程与几何性质[学生用书P80]
　(1)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若△ABO的面积是c2，则这一椭圆的离心率是(　　)
A．　 B．
C． D．
(2)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
【解析】　(1)ab＝c2，即a2(a2－c2)＝12c4，所以(a2＋3c2)(a2－4c2)＝0，所以a2＝4c2，a＝2c，故e＝＝.
(2)双曲线的一条渐近线方程为－＝0，即bx－ay＝0，焦点(c，0)到该渐近线的距离为＝＝，故b＝，结合＝2，c2＝a2＋b2得c＝2，则双曲线C的焦距为2c＝4.
【答案】　(1)A　(2)C

求解离心率的方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．　
　1.过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．
解析：设直线方程为
y＝(x－c)，
由
得x＝，由＝2a，
e＝，解得e＝2＋(e＝2－舍去)．
答案：2＋
2．已知抛物线x2＝8y的焦点F到双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线的距离为，点P是抛物线x2＝8y上的一动点，P到双曲线C的右焦点F2的距离与到直线y＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的标准方程为__________．
解析：抛物线焦点为F(0，2)，准线为y＝－2，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，依题意可得＝，即＝，又P到双曲线C的右焦点F2的距离与到直线y＝－2的距离之和的最小值为3，所以|PF|＋|PF2|≥|FF2|＝3，在Rt△FOF2中，|OF2|＝＝，所以c＝，所以a＝2，b＝1，所以双曲线方程为－y2＝1.
答案：－y2＝1
　直线与圆锥曲线的位置关系[学生用书P81]
　已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的点P到左右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M满足|MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值．
【解】　(1)|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，
所以a＝，e＝＝，所以c＝×＝1，所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)由第一问知F2(1，0)，直线斜率显然存在，
设直线的方程为y＝k(x－1)，交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立直线与椭圆的方程
化简得：(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
所以x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝，
所以AB的中点坐标为，
①当k≠0时，AB的中垂线方程为
y－＝－，
因为|MA|＝|MB|，
所以点M在AB的中垂线上，
将点M的坐标代入直线方程得：
＋＝，
即2k2－7k＋＝0，
解得k＝或k＝.
②当k＝0时，AB的中垂线方程为x＝0，满足题意．
所以斜率k的取值为0，，.

直线与圆锥曲线关系问题的求解方法
(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有如下三种：
①相交：Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ>0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故“Δ>0”是“直线与双曲线相交”的充分不必要条件；Δ>0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．
②相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切．
③相离：Δ<0⇔直线与椭圆相离；Δ<0⇔直线与双曲线相离；Δ<0⇔直线与抛物线相离．
(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等许多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．
　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为(，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过原点O，求证：点O到直线AB的距离为定值；
(3)在(2)的条件下，求△OAB面积的最大值．
解：(1)因为椭圆的右焦点为(，0)，离心率为，
所以
所以a＝，b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB斜率存在时，直线AB的方程为y＝kx＋m，代入椭圆方程，
消元可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
因为以AB为直径的圆经过坐标原点，
所以·＝0.
所以x1x2＋y1y2＝0，
所以(1＋k2)－km×＋m2＝0，
所以4m2＝3(k2＋1)．
所以原点O到直线的距离为
d＝＝，
当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x1＝x2，y1＝－y2，
因为以AB为直径的圆经过坐标原点，
所以·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，所以x－y＝0，因为x＋3y＝3，
所以|x1|＝|y1|＝，
所以原点O到直线的距离为
d＝|x1|＝，
综上，点O到直线AB的距离为定值．
(3)当直线AB斜率存在时，
由弦长公式可得|AB|＝|x1－x2|
＝
＝≤＝2，
当且仅当k＝±时，等号成立，
所以|AB|≤2，
当直线AB斜率不存在时，
|AB|＝|y1－y2|＝<2，
所以△OAB面积＝|AB|d≤×2×＝，
所以△OAB面积的最大值为.
,　　　　　　　　[学生用书P149(单独成册)])
[A　基础达标]
1．已知抛物线的方程为y＝2ax2，且过点(1，4)，则焦点坐标为(　　)
A．(1，0)　 B．
C． D．(0，1)
解析：选C.因为抛物线过点(1，4)，所以4＝2a，所以a＝2，
所以抛物线方程为x2＝y，焦点坐标为.故选C.
2．设k<3，k≠0，则下列关于二次曲线－＝1与＋＝1的说法正确的是(　　)
A．它们表示的曲线一条为双曲线，另一条为椭圆
B．有相同的顶点
C．有相同的焦点
D．有相同的离心率
解析：选C.当0<k<3时，则0<3－k<3，所以－＝1表示实轴在x轴上的双曲线，a2＋b2＝3＝c2.
所以两曲线有相同焦点；
当k<0时，－k>0且3－k>－k，
所以＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆．
a2＝3－k，b2＝－k.
所以a2－b2＝3＝c2，
与已知椭圆有相同焦点．
3．设点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝|PF2|，则此双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C．＋1 D．3
解析：选C.由题知PF1⊥PF2，
则
得＝＋1.故选C.
4．已知点P是椭圆16x2＋25y2＝400上一点，且在