圆锥曲线大题题型归纳.doc

圆锥曲线大题题型归纳
基本方法：
1． 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数、、、、等等；
2． 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；
3． 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；
4． 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；
5． 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；
基本思想：
1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；
2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；
3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；
4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；
5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；
6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。
题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题
例1、 已知F1，F2为椭圆+=1的两个焦点，P在椭圆上，且∠F1 PF2=60°，则△F1 PF2的面积为多少？

点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。
变式1-1 已知分别是双曲线的左右焦点，是双曲线右支上的一点，且
=120，求的面积。

变式1-2 （2011•孝感模拟）已知F1，F2为椭圆 (0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．
（1）求|PF1|•|PF2|的最大值；
（2）若∠F1PF2=60°且△F1PF2的面积为 ，求b的值

题型二 过定点、定值问题
例2、（2007秋•青羊区校级期中）如图，抛物线S的顶点在原点O，焦点在x轴上，△ABC三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线方程为4x+y-20=0，
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）是否存在定点M，使过M的动直线与抛物线S交于P、Q两点，且 ，证明你的结论

处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。
变式2-1 （2012秋•香坊区校级期中）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为
直线与抛物线在x轴上方的交点为M，过M作y轴的垂线，垂足为N，O为坐标原点，若四边形OFMN的面积为
（1）求抛物线的方程；
（2）若P，Q是抛物线上异于原点O的两动点，且以线段PQ为直径的圆恒过原点O，求证：直线PQ过定点，并指出定点坐标．

例3、（2014秋•市中区校级月考）已知椭圆C： （a＞b＞0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点Q（-1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=-4于点E，

判断λ+μ是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由

点评：证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明
变式3-1 （2012秋•沙坪坝区校级月考）已知椭圆 (a＞b＞0)的离心率为焦距为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，C，D为椭圆上位于直线PQ异侧的两个动点，满足
∠CPQ=∠DPQ，求证：直线CD的斜率为定值，并求出此定值．

例4、过抛物线（>0）的焦点F作任意一条直线分别交抛物线于A、B两点，如果（O为原点）的面积是S，求证：为定值。

变式4-1 （2014•天津校级二模）设椭圆C： （a＞b＞0）的一个顶点与抛物线C：x2=4y
的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e= 且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，使得 若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由

（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证： 为定值．

题型三 “是否存在”问题
例5、（2012秋•昔阳县校级月考）已知定点A（-2，-4），过点A作倾斜角为45°的直线l，交抛物线y2=2px（p＞0）于B、C两点，且|BC|=2 ．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）中的抛物线上是否存在点D，使得|DB|=|DC|成立？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由

变式5-1 （2013•柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由

变式5-2 （2010•北京）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

题型四 最值问题
例6、（2012•洛阳模拟）在平面直角坐标系中xOy中，O为坐标原点，A（-2，0），B（2，0），点P为动点，且直线AP与直线BP的斜率之积为
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点D（1，0）的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，△MON的面积是否存在最大值？若存在，求出△MON的面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由．

点评：最值问题的方法：几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等。
变式6-1 （2015•高安市校级一模）已知方向向量为 （1，）的直线l过点（0，-2）

和椭圆C： （a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点P（-8，0）的直线与椭圆相交于不同两点A、B，F为椭圆C的左焦点，求三角形ABF面积的最大值．

变式6-2 （2014•蚌埠三模）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C： 的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=-2分别交于点M、N；
（Ⅰ）设直线AP、BP的斜率分别为k1，k2求证：k1•k2为定值；
（Ⅱ）求线段MN长的最小值；
（Ⅲ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论

题型五 求参数的取值范围
例7、（2012春•荔湾区校级期中）如图，已知椭圆 =1（a＞b＞0）的离心率为 ，且经过点M（2，1）平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l与椭圆有A、B两个不同的交点
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形

变式7-1 （2006秋•宁波期末）已知动圆过定点P（0，1），且与定直线y=-1相切．
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点Q（0，-1）且以 为方向向量的直线l与轨迹M相交于A、B两点．若∠APB为钝角，求直线l斜率的取值范围．

变式7-2 （2014•苍南县校级模拟）已知抛物线C：y2=4x焦点为F，过F的直线交抛物线C于A，B两点，l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点．
（1）求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；
（2）设C、D为直线l1、l2与直线x=4的交点，△PCD面积为S1，△PAB面积为S2，求 的取值范围

小结
解析几何在高考中经常是两小题一大题：两小题经常是常规求值类型，一大题中的第一小题也经常是常规求值问题，故常用方程思想先设后求即可。解决第二小题时常用韦达定理法结合以上各种题型进行处理，常按照以下七步骤：
一设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=mmy+n的区别）二设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）
三则联立方程组；四则消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五根据条件重转化；常有以下类型：
①“以弦AB为直径的圆过点0” （提醒：需讨论K是否存在）
②“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”
“向量的数量积大于、等于、小于0问题”>0；
③“等角、角平分、角互补问题”斜率关系（或）；
④“共线问题”（如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；
（如：A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等）；
⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”
转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；六则化简与计算；
七则细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.

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