函数与导数问题的转化--探析2022年浙江高考数学第22题的多种解法.pdf
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1、讲题比赛特等奖获奖论文之五:函数与导数问题的转化 探析 年浙江高考数学第 题的多种解法杭州第七中学王浩宇试题呈现(年浙江卷第 题)设函数f(x)exl nx(x)()求f(x)的单调区间()已知a,bR,曲线f(x)上不同的三点(x,f(x),(x,f(x),(x,f(x)处的切线都经过点(a,b)证明:()若ae,则bf(a)ae;()若ae,xxx,则ee a exxae a e(注:e 是自然对数的底数)思路分析本题第()小题求导即可,较为简单下面主要对第()小题进行思路分析第()小题第()问思路分析分析题干,发现命题者在题干中给出了曲线过点(a,b)的三条切线,题干中的信息可转化为方程
2、bf(x)ax()f(x)有三个正根思路一:函数零点个数由于方程bf(x)(ax)f(x)无法直接求解,故将其等价转化为函数零点个数问题,画出函数的草图,数形结合分析,可知a,b需满足的条件此时不等式左侧已经得证,而右侧不等式的证明则可通过分析法,放缩b的范围得证,此为方法 思路二:两个函数图象交点个数进一步研究发现,可将b单独分离,减少函数中参数的数量,便于计算将问题转化为两个函数图象交点个数的问题,该方法与方法类似,在计算上略有简化,此为方法思路三:换元法简化计算过程方法中函数有较多分式,在求导时计算量较大,故对该函数使用换元法(取倒数),将分式转化为整式简化计算,其余做法与方法类似,此为
3、方法第()问具体思维导图如图所示图第()小题第()问思路分析分析题干,由思路分析可知h(x)的单调性,可得条件由于所证结论中存在x,x,因此大胆进行尝试,写出h x()和h x()的具体表达式;由于所证结论中未出现参数b,故将h(x)与h(x)两式相减消去参数b,可得条件此处是该题的一个难点,在没有思路时,可大胆猜测,小心求证为了缩小已知和求证之间的差距,尝试对所证的结论进行转化参考axbxa()xb(),可将所证结论转化为两式相乘的形式思路一:单向放缩化简观察化简后的式子,发现条件与该不等式有类似结 构,化 简 后 均 可 得 类 似 l nxxxxxxe a eeaae的结构由于不等式左右
4、两侧 年 月上半月 试题研究命题考试变量完全不相干,使用放缩法,将左侧式子转化为关于a和e的表达式将化简后的不等式看成函数,通过求导计算,使用分析法可证明结论,此为方法和方法思路二:双向放缩化简反思思路一的计算过程,发现对右侧不等式求导,计算量较大文卫星老师曾说过“想多算少是本领”,结合方法中所求的函数零点 和 拐 点 为,将ae看成整体,结合高阶无穷小相关思想,尝试构建关于ae的二次幂的式子,对不等式右侧式子进行放缩,此为方法和方法但是该方法较难想到,且需要一定的高等数学知识的积累思路三:函数单调性证明在方法构造函数的过程中,发现可以利用函数p(x)的单调性证明,此为方法该过程可以避免构造函
5、数和对不等式进行放缩,只需利用p(x)的单调性在具体计算过程中发现该方法计算量非常大且非常繁琐,构造的函数也较难想到,故并不推荐思路四:极限法消参对要证结论消参,将x,x中的一个用e和a表示,之后证明极端情况成立所得式子与一元二次不等式有非常类似的结构,故考虑以求解一元二次不等式方式进行证明,该过程需要使用泰勒公式将对数函数进行转化,此为方法第()问思维导图如图所示:图具体解答方法第()小题解答方法对函数f(x)求导,当x时,f(x)的单调递减区间是,e,单调递增区间是e,第()小题第()问的解答方法分析题干:f(x)上不同的三点处的切线为yf(xi)(xxi)f(xi)(i,)由于点(a,b
6、)满足上面三个方程,因此bf(x)ax()f(x)有三个正实根x,x,x方法:函数的零点个数构造函数h(x)f(x)bf(x)(xa),要满足题目条件,需要h(x)有三个正零点画出h(x)的草图,如图所示图结合图分析,当h(x)有三个 零 点 时,满 足h(a)且h(e)即可不等式左侧得证又因为h(e),所以ba e两 边 同 减f(a),可 得bf(a)a eeal na放缩后,只需证a eeal naae,即 证eal na,即 证f(a)由第()问知f(a)f(e)显然成立方法:两个函数图象的交点设g(x)f(x)f(x)(ax),则g(x)的图象与yb有三个交点g(x)草图,如图所示图
7、分析图象可得只需g(a)bg(e),即f(a)ba e之后的证明同方法方法是方法的变式,计算量与方法接近,分别从两函数图象的交点和函数的零点角度分析问题但以上两种解法均有分式出现,可否一开始就进行换元达到化简运算的目的?由此得出方法,主要考查学生直观想象的数学核心素养图方法:换元法化简计算使用 换 元 法,设mixii,(),G(m)ae()maeml nm,为满足题目条件需要G(m)与yb有三个交点对G(m)求导,画出图象,如图所示分析图象发现,要满足题目 条 件,只 需Gab命题考试试题研究 年 月上半月Ge,化简可得f(a)ba e之后的证明同方法第()小题第()问的解答方法方法:不等式
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