教育学相关与回归分析全.pptx

不要过于教条地对待研究的结果，尤其当数据的质量受到怀疑时。Damodar N.Gujarati统计名言统计名言第八章 相关与回归分析8.1 相关分析相关分析8.2 一元线性回归分析一元线性回归分析8.3 多元线性回归分析多元线性回归分析8.4 非线性回归分析非线性回归分析 学习目标l相关关系的分析相关关系的分析l参数的最小二乘估计参数的最小二乘估计l回归直线的拟合优度回归直线的拟合优度l回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验l利用回归方程进行预测利用回归方程进行预测l用用 Excel 和和SPSS进行回归进行回归子代与父代一样吗？Galton被誉为现代回归和相关技术的创始人。1875年，Galton利用豌豆实验来确定尺寸的遗传规律。他挑选了7组不同尺寸的豌豆，并说服他在英国不同地区的朋友每一组种植10粒种子，最后把原始的豌豆种子(父代)与新长的豌豆种子(子代)进行尺寸比较。当结果被绘制出来之后，他发现并非每一个子代都与父代一样，不同的是，尺寸小的豌豆会得到更大的子代，而尺寸大的豌豆却得到较小的子代。Galton把这一现象叫做“返祖”(趋向于祖先的某种平均类型)，后来又称之为“向平均回归”。一个总体中在某一时期具有某一极端特征(低于或高于总体均值)的个体在未来的某一时期将减弱它的极端性(或者是单个个体或者是整个子代)，这一趋势现在被称作“回归效应”。人们发现它的应用很广，而不仅限于从一代到下一代豌豆大小问题子代与父代一样吗？正如Galton进一步发现的那样，平均来说，非常矮小的父辈倾向于有偏高的子代；而非常高大的父辈则倾向于有偏矮的子代。在第一次考试中成绩最差的那些学生在第二次考试中倾向于有更好的成绩(比较接近所有学生的平均成绩)，而第一次考试中成绩最好的那些学生在第二次考试中则倾向于有较差的成绩(同样比较接近所有学生的平均成绩)。同样，平均来说，第一年利润最低的公司第二年不会最差，而第一年利润最高的公司第二年则不会是最好的如果把父代和子代看作两个变量，找出这两个变量的关系，并根据这种关系建立适当的数学模型，就可以根据父代的数值预测子代的取值，这就是经典的回归方法要解决的问题。学完本章的内容你会对回归问题有更深入的理解 8.1 变量间的关系变量间的关系 8.1.1 变量间是什么样的关系？变量间是什么样的关系？8.1.2 用散点图描述相关关系用散点图描述相关关系 8.1.3 用相关系数度量关系强度用相关系数度量关系强度第 8 章 相关与回归分析怎样分析变量间的关系？l建立回归模型时，首先需要弄清楚变量之间的关系。分析变量之间的关系需要解决下面的问题1.变量之间是否存在关系？2.如果存在，它们之间是什么样的关系？3.变量之间的关系强度如何？4.样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系？8.1.1 变量间是什么样的关系？8.1 变量间的关系变量间的关系 x xy y函数关系1.是一一对应的确定关系2.设有两个变量 x 和 y，变量 y 随变量 x 一起变化，并完全依赖于 x，当变量 x 取某个数值时，y 依确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y=f(x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量3.各观测点落在一条线上 函数关系函数关系(几个例子几个例子)函数关系的例子函数关系的例子某某种种商商品品的的销销售售额额y与与销销售售量量x之之间间的的关关系系可可表表示为示为 y=px(p 为单价为单价)圆的面积圆的面积S与半径之间的关系可表示为与半径之间的关系可表示为S=R2 企企业业的的原原材材料料消消耗耗额额y与与产产量量x1、单单位位产产量量消消耗耗x2、原材料价格、原材料价格x3之间的关系可表示为之间的关系可表示为 y=x1 x2 x3 相关关系(几个例子)l子女的身高与其父母身高的关系子女的身高与其父母身高的关系u从遗传学角度看，父母身高较高时，其子女的身高一般也比较高。但实际情况并不完全是这样，因为子女的身高并不完全是由父母身高一个因素所决定的，还有其他许多因素的影响l一个人的收入水平同他受教育程度的关系一个人的收入水平同他受教育程度的关系u收入水平相同的人，他们受教育的程度也可能不同，而受教育程度相同的人，他们的收入水平也往往不同。因为收入水平虽然与受教育程度有关系，但它并不是决定收入的惟一因素，还有职业、工作年限等诸多因素的影响l农作物的单位面积产量与降雨量之间的关系农作物的单位面积产量与降雨量之间的关系u在一定条件下，降雨量越多，单位面积产量就越高。但产量并不是由降雨量一个因素决定的，还有施肥量、温度、管理水平等其他许多因素的影响相关关系(correlation)1.一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定2.当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值对应着一个分分布布3.各观测点分布在直线周围 4.变量之间存在非严格确定的依存关系y y x x 相关关系相关关系(几个例子几个例子)相关关系的例子相关关系的例子父亲身高父亲身高y与子女身高与子女身高x之间的关系之间的关系收入水平收入水平y与受教育程度与受教育程度x之间的关系之间的关系粮粮食食亩亩产产量量y与与施施肥肥量量x1、降降雨雨量量x2、温温度度x3之间的关系之间的关系商品的消费量商品的消费量y与居民收入与居民收入x之间的关系之间的关系商品销售额商品销售额y与广告费支出与广告费支出x之间的关系之间的关系相关关系的分类按变量的多少分为:单相关、复相关和偏相关按相关程度分为:完全相关、不完全相关和不相关按相关形式分为：线性相关和非线性相关按相关方向分为:正相关和负相关按相关性质分为：真实相关和虚假相关8.1.2 用相关表、相关图描述相关关系8.1 变量间的关系变量间的关系相关表和相关图相关表是一种反映变量之间相关关系的统计表。将相关表是一种反映变量之间相关关系的统计表。将某一变量按其取值的大小排列，然后再将与其相关某一变量按其取值的大小排列，然后再将与其相关的另一变量的对应值平行排列，便可得到简单的相的另一变量的对应值平行排列，便可得到简单的相关表。如前表关表。如前表8.1所示所示相关图又称散点图。它是以直角坐标系的横轴代表相关图又称散点图。它是以直角坐标系的横轴代表变量变量x，纵轴代表变量，纵轴代表变量Y，将两个变量间相对应的，将两个变量间相对应的变量值用坐标点的形式描绘出来，用来反映两变量变量值用坐标点的形式描绘出来，用来反映两变量之间的相关关系的图形。之间的相关关系的图形。缺点：二者是研究相关关系的直观工具，它们只能缺点：二者是研究相关关系的直观工具，它们只能对现象之间存在的相关关系的方向、形式、密切程对现象之间存在的相关关系的方向、形式、密切程度作大致判断，不能说明具体相关关系的密切程度。度作大致判断，不能说明具体相关关系的密切程度。因此需要计算相关系数。因此需要计算相关系数。8.1.2 用散点图描述相关关系8.1 变量间的关系变量间的关系 完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关 散点图(scatter diagram)不相关不相关不相关不相关不相关不相关 负线性相关负线性相关负线性相关负线性相关负线性相关负线性相关 正线性相关正线性相关正线性相关正线性相关正线性相关正线性相关 非线性相关非线性相关非线性相关非线性相关非线性相关非线性相关 完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关（散点图举例）从下图可以看出，居民的（散点图举例）从下图可以看出，居民的消费支出和可支配收入之间呈现正线性相消费支出和可支配收入之间呈现正线性相关关系关关系 8.1.3 用相关系数度量关系强度8.1 变量间的关系变量间的关系2）相关系数相关系数(correlation coefficient)1.对变量之间关系密切程度的度量对变量之间关系密切程度的度量2.对对两两个个变变量量之之间间线线性性相相关关程程度度的的度度量量称称为为简简单单相相关系数关系数3.反反映映一一个个因因变变量量与与两两个个及及两两个个以以上上变变量量之之间间相相关关程度的统计分析指标称为程度的统计分析指标称为复相关系数。复相关系数。4.偏偏相相关关系系数数是是指指在在多多元元相相关关分分析析中中考考虑虑其其他他变变量量但但假假定定其其保保持持不不变变的的情情况况下下计计算算出出来来的的反反映映两两个个变量之间相关程度的统计分析方法。变量之间相关程度的统计分析方法。5.若若相相关关系系数数是是根根据据总总体体全全部部数数据据计计算算的的，称称为为总总体相关系数，记为体相关系数，记为 6.若若是是根根据据样样本本数数据据计计算算的的，则则称称为为样样本本相相关关系系数数，记为记为 r相关系数的计算公式（记住）相关系数的计算公式（记住）样本相关系数的计算公式或化简为相关系数的性质性质性质1：r 的取值范围是-1,1|r|=1，为完全相关lr=1，为完全正相关lr=-1，为完全负正相关r=0，不存在线线性性相关关系（并不说明不存在关系）-1r0，为负相关0r1，为正相关|r|越趋于1表示关系越强；|r|越趋于0表示关系越弱相关系数的性质性性质质2：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与x之间的相关系数相等，即rxy=ryx性性质质3：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变x和y的数据原点及计量尺度，并不改变r数值大小性性质质4：仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不能用于描述非线性关系。这意为着，r=0只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有任何关系性性质质5：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不一定意味着x与y一定有因果关系取值及其意义-1.0+1.00-0.5+0.5完全负相关完全负相关完全负相关完全负相关无线性相关无线性相关无线性相关无线性相关完全正相关完全正相关完全正相关完全正相关负相关程度增加负相关程度增加负相关程度增加负相关程度增加r正相关程度增加正相关程度增加正相关程度增加正相关程度增加相关系数的经验解释1.|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关2.0.5|r|0.8时，可视为中度相关3.0.3|r|0.5时，视为低度相关4.|r|t，拒绝，拒绝H0 若若tt，不能拒绝，不能拒绝H0 8.2 一元线性回归的估计和检验一元线性回归的估计和检验 8.2.1 一元线性回归模型一元线性回归模型 8.2.2 参数的最小二乘估计参数的最小二乘估计 8.2.3 回归直线的拟合优度回归直线的拟合优度 8.2.4 显著性检验显著性检验第 8 章 一元线性回归分析8.2.1 一元线性回归分析8.2 一元线性回归的估计和检验一元线性回归的估计和检验什么是回归分析？什么是回归分析？(regression analysis)回归分析回归分析是指根据相关关系的具体形态，选择合是指根据相关关系的具体形态，选择合适的数学模型（回归方程），近似地描述变量间适的数学模型（回归方程），近似地描述变量间的平均变化关系的一种统计分析方法。的平均变化关系的一种统计分析方法。回归分析实际上是相关现象间不确定、不规则的回归分析实际上是相关现象间不确定、不规则的数量关系的一般化、规律化。回归分析采用的方数量关系的一般化、规律化。回归分析采用的方法是配合直线或曲线来反映现象之间的一般数量法是配合直线或曲线来反映现象之间的一般数量关系。这条直线或曲线叫关系。这条直线或曲线叫回归直线或回归曲线回归直线或回归曲线，它们的方程称为它们的方程称为回归直线方程或回归曲线方程回归直线方程或回归曲线方程。回归的古典和现代意义1.回归的古典意义回归的古典意义：高尔顿遗传学的回归概念高尔顿遗传学的回归概念父母身高与子女身高的关系父母身高与子女身高的关系:无论高个子或低个子的子女都有向人的平均身高无论高个子或低个子的子女都有向人的平均身高回归的趋势回归的趋势2.回归的现代意义回归的现代意义：一个因变量对若干解释变一个因变量对若干解释变量依存关系的研究量依存关系的研究回归的目的（实质）：回归的目的（实质）：由固定的自变量去估计因变量的平均值由固定的自变量去估计因变量的平均值相关分析与回归分析的联系简简单单说说：(1)(1)相相关关分分析析是是回回归归分分析析的的基基础础和和前前提提。如如果果缺缺少少相相关关分分析析，没没有有从从定定性性上上说说明明现现象象间间是是否否存存在在相相关关关关系系及及相相关关关关系系的的密密切切程程度度，就就无无法法进进行行回回归分析。归分析。(2)(2)回回归归分分析析是是相相关关分分析析的的深深入入和和继继续续。仅仅仅仅说说明明现现象象间间具具有有密密切切的的相相关关关关系系是是不不够够的的，只只有有进进行行回回归归分分析析，拟拟合合回回归归方方程程，才才可可能能进进行行深深入入分分析和回归预测，相关分析才有实际应用价值。析和回归预测，相关分析才有实际应用价值。回归分析与相关分析的区别回归分析与相关分析的区别1.相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化2.相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量3.相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制 二、回归分析的种类二、回归分析的种类（一）按回归分析中自变量的个数不同（一）按回归分析中自变量的个数不同 1.1.简简单单回回归归/一一元元回回归归:在在回回归归关关系系中中包包含含两两个个变变量量，一一个是具有确定性的自变量；另一个称因变量个是具有确定性的自变量；另一个称因变量,是随机变量。是随机变量。2.2.多多元元回回归归:在在回回归归关关系系中中包包含含三三个个或或以以上上的的变变量量，一一个个是是因因变变量量,是是随随机机变变量量；其其他他变变量量是是具具有有确确定定性性的的自自变变量。量。（二）（二）按回归线的形状按回归线的形状 1.1.直直线线回回归归:变变量量间间变变化化的的规规律律近近似似于于线线性性关关系系，从从散散点图看，表示变量关系的点接近于点图看，表示变量关系的点接近于一条直线一条直线。2.2.非非直直线线回回归归:变变量量间间变变化化的的规规律律不不是是线线性性关关系系，从从散散点图看，表示变量关系的点接近于点图看，表示变量关系的点接近于一条曲线一条曲线。一元线性回归1.涉及一个自变量的回归2.因变量y与自变量x之间为线性关系被 预 测 或 被 解 释 的 变 量 称 为 因 变 量(dependent variable)，用y表示用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independent variable)，用x表示 3.因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示一元线性回归模型(linear regression model)1.描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型回归模型2.一元线性回归模型可表示为 y=+1 1 x +ny 是 x 的线性函数(部分)加上误差项n线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化n误差项 是随机变量l反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响l是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性n0 和 1 称为模型的参数一元线性回归模型(基本假定)1.因变量y与自变量x之间具有线性关系2.在重复抽样中，自变量x的取值是固定的，即假定x是非随机的3.误差项 满足l正态性正态性。是一个服从正态分布的随机变量，且期望值为0，即 N(0,2)。对于一个给定的 x 值，y 的期望值为E(y)=0+1xl方差齐性方差齐性。对于所有的 x 值，的方差是一个特定的值，的方差也都等于 2 ，都相同。同样，一个特定的x 值，y 的方差也都等于2l独立性独立性。独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的与其他 x 值所对应的不相关；对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关估计的回归方程(estimated regression equation)1.总总体体回回归归参参数数 和和 是是未未知知的的，必必须须利利用用样样本本数数据去估计据去估计2.用用样样本本统统计计量量 和和 代代替替回回归归方方程程中中的的未未知知参参数数 和和 ，就得到了，就得到了估计的回归方程估计的回归方程估计的回归方程估计的回归方程3.一一元元线线性性回回归归中中估估计计的的回回归归方方程程（经经验验回回归归方方程）为程）为其其其中中中：是是是估估估计计计的的的回回回归归归直直直线线线在在在 y y y 轴轴轴上上上的的的截截截距距距，是是是直直直线线线的的的斜斜斜率率率，它它它表表表示示示对对对于于于一一一个个个给给给定定定的的的 x x x 的的的值值值，是是是 y y y 的的的估估估计计计值，也表示值，也表示值，也表示 x x x 每变动一个单位时，每变动一个单位时，每变动一个单位时，y y y 的平均变动值的平均变动值的平均变动值 8.2.2 参数的最小二乘估计8.2 一元线性回归的估计和检验一元线性回归的估计和检验参数的最小二乘估计1.德国科学家Karl Gauss(17771855)提出用最小化图中垂直方向的误差平方和来估计参数 2.使因变量的观察值与估计值之间的误差平方和达到最小来求得 和 的方法。即3.用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小Karl Gauss的最小化图x xy y(x xn n,y yn n)(x x1 1,y y1 1)(x x2 2,y y2 2)(x x xi i i,y y yi ii)e ei i=y yi i-y yi i参数的最小二乘估计(和 的计算公式)根据最小二乘法，可得求解 和 的公式如下参数的最小二乘估计8.2.3 回归直线的拟合优度8.2 一元线性回归的估计和检验一元线性回归的估计和检验变差1.因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面：由于自变量 x 的取值不同造成的除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响2.对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 来表示误差分解图x xy yy y误差平方和的分解(误差平方和的关系)SST=SSR+SSE总平方和总平方和总平方和总平方和(SSTSST)回归平方和回归平方和回归平方和回归平方和(SSRSSR)残差平方和残差平方和残差平方和残差平方和(SSESSE)误差平方和的分解(三个平方和的意义)1.总平方和(SSTtotal sum of squares)反映因变量的 n 个观察值与其均值的总误差2.回 归 平 方 和(SSRsum of squares of regression)反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和3.残差平方和(SSEsum of squares of error)反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和样本决定系数R2 (coefficient of determination)1.回归平方和占总误差平方和的比例反映回归直线的拟合程度反映回归直线的拟合程度取值范围在取值范围在 0,1 0,1 之间之间 R R2 2 1 1，说明回归方程拟合的越好；，说明回归方程拟合的越好；R R2 20 0，说明回归方程拟合的越差说明回归方程拟合的越差决定系数平方根等于相关系数决定系数平方根等于相关系数估计标准误差1.实际观察值与回归估计值误差平方和的均方根2.反映实际观察值在回归直线周围的分散状况3.对误差项的标准差的估计，是在排除了x对y的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量4.反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小 5.计算公式为6.回归标准差越小，表明实际观测值与所拟合的样本回归线的离差程度越小，即回归线具有较强的代表性。8.2.4 显著性检验8.2 一元线性回归的估计和检验一元线性回归的估计和检验回归方程的显著性检验1.检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著2.将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著回归均方：回归平方和SSR除以相应的自由度(自变量的个数k)残差均方：残差平方和SSE除以相应的自由度(n-k-1)回归方程的显著性检验(检验的步骤)1.提出假设H0：1=0 线性关系不显著2 2.计算计算检验统计量检验统计量F F3.确定确定显著性水平显著性水平，并根据分子自由度，并根据分子自由度1 1和分母自和分母自由度由度n n-2-2求统计量的求统计量的P P值值4.作作出决策：若出决策：若PPF,拒绝H0线性关系显著回归系数的检验和推断3.在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性检验4.采用t检验1.检验 x 与 y 之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量 x 对因变量 y 的影响是否显著2.理论基础是回归系数 的抽样分布回归系数的检验和推断1.提出假设H0:1=0(没有线性关系)H1:1 0(有线性关系)2.计算检验的统计量3 3.确确定定显显著著性性水水平平，计计算算出出统统计计量量的的P P值值，并并做做出决策出决策PPt(n-2)，拒绝H0；t F F ，拒绝，拒绝H H0 0 Excel Excel 输输输输出结果的分析出结果的分析出结果的分析出结果的分析回归系数检验和推断回归系数的检验1.线性关系检验通过后，对各个回归系数有选择地进行一次或多次检验2.究竟要对哪几个回归系数进行检验，通常需要在建立模型之前作出决定3.对回归系数检验的个数进行限制，以避免犯过多的第类错误(弃真错误)4.对每一个自变量都要单独进行检验5.应用 t 检验统计量回归系数的检验(步骤)1.提出假设H0：i=0 (自变量 xi 与 因变量 y 没有线性关系)H1：i 0 (自变量 xi 与 因变量 y有线性关系)2.计算检验的统计量 t3.确定显著性水平，并进行决策 t t t t（n-k-1)n-k-1)，拒绝，拒绝H H0 0；t t t t （n-k-1)，不拒绝，不拒绝H H0 0 Excel Excel 输输输输出结果的分析出结果的分析出结果的分析出结果的分析回归系数的推断(置信区间)回归系数在1-置信水平下的置信区间为 回归系数的回归系数的抽样标准差抽样标准差 Excel Excel 输出结果的分析输出结果的分析输出结果的分析输出结果的分析利用回归方程进行估计和预测软件应用第四节非线性回归分析一、非线性函数形式的确定 在对实际的客观现象进行定量分析时，选择回归方程的具体形式应遵循以下原则：首先，方程形式应与有关实质性科学的基本理论相一致。例如，采用幂函数的形式，能够较好地表现生产函数；采用多项式方程能够较好地反映总成本与总产量之间的关系等等。其次，方程有较高的拟合程度。因为只有这样，才能说明回归方程可以较好地反映现实经济的运行情况。最后，方程的数学形式要尽可能简单。如果几种形式都能基本符合上述两项要求，则应该选择其中数学形式较简单的一种。一般来说，数学形式越简单，其可操作性就越强。非线性回归1.因变量 y 与 x 之间不是线性关系2.可通过变量代换转换成线性关系3.用最小二乘法求出参数的估计值4.并非所有的非线性模型都可以化为线性模型非线性函数的主要形式（一）抛物线函数（二）双曲线函数（三）幂函数（四）指数函数（五）对数函数（六）形曲线函数（七）多项式方程双曲线 0 0 01.基本形式：2.线性化方法令：y=1/y，x=1/x,则有y=+x3.图像幂函数曲线1.基本形式：2.线性化方法两端取对数得：lg y=lg+lg x令：y=lgy，x=lg x，则y=lg+x3.图像00 1 1 1 1 =1=1-1-1 0 0 -1-1 =-1=-1 对数曲线1.基本形式：2.线性化方法x=lnx,则有y=+x3.图像 0 0 0 0 指数曲线1.基本形式：2.线性化方法两端取对数得：lny=ln+x令：y=lny，则有y=ln+x3.图像 S 型曲线1.基本形式：2.线性化方法令：y=1/y，x=e-x,则有y=+x3.图像多项式方程多项式方程在非线性回归分析中占有重要的位置。当所涉及的自变量只有一个时，所采用的多项式方程称为一元多项式。其一般形式如下：当所涉及的自变量在两个或者两个以上时，所采用的多项式称为多元多项式，例如二元二次多项式的形式为：非线性回归(例题分析)【例例】一种商品的需求量与其价格有一定的关系。现对一定时期内的商品价格x与需求量y进行观察，取得的样本数据如下表。试判断商品价格与需求量之间回归函数的类型，并求需求量对价格的回归方程商品价格与需求量的关系商品价格与需求量的关系价格价格(元元)x12345678910需求量需求量(kg)y58504438343029262524非线性回归(例题分析)价格与需求量的散点图价格与需求量的散点图非线性回归(例题分析)1.用双曲线模型：2.按线性回归的方法求解和，得非线性回归(例题分析)价格与需求量的散点图价格与需求量的散点图非线性回归（实例）【例例】为研究生产率与废品率之间的关系，记录数据如下表。试拟合适当的模型。废品率与生产率的关系生产率（周生产率（周/单位单位)x1000200030003500 4000 4500 5000废品率（废品率（%）y5.26.56.88.110.210.313.0非线性回归（实例）生产率与废品率的散点图生产率与废品率的散点图非线性回归（实例）1.用线性模型：y=01x+，有y=2.671+0.0018x2.用指数模型：y=x ，有y=4.05(1.0002)x3.比较直线的残差平方和5.3371指数模型的残差平方和6.11。直线模型略好于指数模型本章小结1.多元回归模型、回归方程、估计方程多元回归模型、回归方程、估计方程2.回归方程的拟合优度回归方程的拟合优度3.显著性检验显著性检验4.多重共线性多重共线性5.利用回归方程进行估计和预测利用回归方程进行估计和预测6.非线性非线性回归回归7.方方差分析的回归方法差分析的回归方法结结 束束