13.2.4--三角形的外角性质.ppt

第第13章章 三角形中的三角形中的边边角关系、命角关系、命题题与与证证明明第第2节节 命题与证明命题与证明第第4课时课时 三角形的外角性质三角形的外角性质课堂讲解课堂讲解课时流程课时流程12u三角形外角的定义三角形外角的定义 u三角形外角的性质三角形外角的性质 u三角形的外角和三角形的外角和逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结课后课后作业作业1知识点三角形外角的定义知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）1三角形外角的定义：三角形外角的定义：三角形的一边三角形的一边 与另一边的延长线组成的角如图与另一边的延长线组成的角如图 中的中的ACD的一边是的一边是ABC的边的边AC，另一边是，另一边是ABC的边的边BC的延长线的延长线2易错警示：易错警示：虽然三角形的外角在三角形外部，但不应虽然三角形的外角在三角形外部，但不应错误地理解为三角形外部的角就是三角形的外角错误地理解为三角形外部的角就是三角形的外角知知1 1讲讲例例1 如图，如图，CEF的外角为的外角为_AFC，BEF导导引引：图图中中CEF的的三三边边的的延延长长线线只只有有EF的的延延长长线线FA，CE的的延延长长线线EB，延延长长线线FA与与边边CF构构成成的的角角为为AFC；延延长长线线EB与与边边EF构构成成的的角角为为BEF.由由三三角角形形外外角角的的概概念念可可以以判判断断AFC，BEF是是CEF的外角的外角（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲总 结（来自（来自点拨点拨）判判定定一一个个角角是是三三角角形形的的外外角角的的三三个个条条件件：一一是是顶顶点点在在三三角角形形的的一一个个顶顶点点上上；二二是是一一边边是是三三角角形形的的一一条条边边；三三是是一一边边是是三三角角形形的的另另一一条条边的延长线边的延长线知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）1 如图，下列关于如图，下列关于ABC的外角的说法正确的的外角的说法正确的 是是()AHBA是是ABC的外角的外角 BHBG是是ABC的外角的外角 CDCE是是ABC的外角的外角 DGBA是是ABC的外角的外角D2知识点三角形外角的性质知知2 2讲讲交流交流在图中，在图中，ABC的外角的外角ACD与它不相邻与它不相邻的内角的内角A，B有怎样的关系？尝试给出有怎样的关系？尝试给出证明，并与同学交流证明，并与同学交流.知知2 2讲讲三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论(三角形外角的性质三角形外角的性质)：1.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 作用：作用：(1)此性质反映了三角形的外角与不相邻内角此性质反映了三角形的外角与不相邻内角 之间的数量关系，利用它可以求相关的角；之间的数量关系，利用它可以求相关的角；(2)利用它可以证明一个角等于另两个角的和利用它可以证明一个角等于另两个角的和 或差；或差；(3)利用它作为中间关系证明两个角相等利用它作为中间关系证明两个角相等知知2 2讲讲2.三角形的一个外角大于与它三角形的一个外角大于与它不相邻不相邻的任一内角；的任一内角；作用：用来证明角的不等关系作用：用来证明角的不等关系（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲例例2浙浙江江温温州州如如图图，直直线线AB，CD被被BC所所截截，若若ABCD，145，235，则，则3_度度导引：导引：根据平行线的性质求出根据平行线的性质求出C，根据三角形外角性质，根据三角形外角性质求出即可求出即可ABCD，145，C145，235，32C354580.80知知2 2讲讲总 结 本本题题考考查查了了平平行行线线的的性性质质，三三角角形形的的外外角角性性质质的的应应用用，解解此此题题的的关关键键是是求求出出C的的度度数和得出数和得出32C.（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲例例3山东威海山东威海将一副直角三角板如图摆放，点将一副直角三角板如图摆放，点C在在EF上，上，AC经过点经过点D.已知已知AEDF90，E30，BCE40，则，则CDF_.25导导引引：要要求求CDF，则则需需求求其其余余角角2的的度度数数21801ACB，其其中中1可可利利用用三三角角形形外外角角的的性性质质求求出出，ACB为为三三角角板板内内角角已已知知如如图图，由由三三角角形形外外角角的的性性质质，知知1EBCE304070，由由三三角角形形内内角角和和定定理理知知21801ACB180704565，CDFEDF2906525.（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲总 结（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲 本本题题是是以以三三角角板板为为背背景景考考查查三三角角形形外外角角的的性性质质，是是考考试试的的一一个个热热点点；它它主主要要是是利利用用了了三三角角板板位位置置变变换换过过程程中中其其内内角角的的度度数数不不变变的的原原理理；解解题题时时注注意意数数形形结结合合思思想想的的应应用用，能能从从实实物物中中抽抽象象出所需的角是解题的关键出所需的角是解题的关键知知2 2讲讲导引：导引：要判断要判断1与与2的大小关系，而这的大小关系，而这两个角间没有直接关系，则需找出两个角间没有直接关系，则需找出一个角作为桥梁将这两个角联系起一个角作为桥梁将这两个角联系起来来，观观察察题题图图知知3能能担担当当这这种种角角色色；用用三三角角形形外外角角的的性性质质，先先判判断断3与与2的的大大小小关关系系，再再判判断断1与与3的的大大小小关关系系，然然后后用用不不等等式式的的传传递递性性判判断断1与与2的大小关系的大小关系例例4 如图，请确定如图，请确定1与与2的大小关系，并说明为什么的大小关系，并说明为什么知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）解：解：12.理由如下：理由如下：1是是ABC的一个外角，的一个外角，13.3是是FGC的一个外角，的一个外角，32.12.知知2 2讲讲总 结“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角个内角”是证明有关角的不等关系的一条重要定理，是证明有关角的不等关系的一条重要定理，它常常结合不等式的性质它常常结合不等式的性质(如本例中不等式的传递性如本例中不等式的传递性)来解决有关角的不等关系；用它可判断与三角形有来解决有关角的不等关系；用它可判断与三角形有关的角的大小问题本题通过关的角的大小问题本题通过3把属于两个三角形把属于两个三角形的的1和和2联系在一起是关键联系在一起是关键（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲例例5 青海，改编青海，改编下面是有关三角形内外角平分线下面是有关三角形内外角平分线的探究，阅读后按要求作答：的探究，阅读后按要求作答：探究探究1：如图：如图，在，在ABC中，中，O是是ABC与与ACB的平分线的平分线BO和和CO的交点，通过分析的交点，通过分析发现：发现：BOC90 A.(不要求证明不要求证明)图图知知2 2讲讲探究探究2：如图：如图，O是是ABC与外角与外角ACD的平分线的平分线BO 和和CO的交点，试分析的交点，试分析BOC与与A有怎样的数有怎样的数量关系？请说明理由量关系？请说明理由图图知知2 2讲讲探究探究3：如图：如图，O是外角是外角DBC与外角与外角ECB的平分的平分线线BO和和CO的交点，则的交点，则BOC与与A有怎样的有怎样的数量关系？数量关系？图图知知2 2讲讲导导引引：探探究究2：如如图图，根根据据三三角角形形的的一一个个外外角角等等于于与与它它不不相相邻邻的的两两个个内内角角的的和和，用用A与与1表表示示出出2，再再利利用用BOC与与1表表示示出出2，然然后后整整理理即即可可得得到到BOC与与A的的关关系系；探探究究3：根根据据三三角角形形的的一一个个外外角角等等于于与与它它不不相相邻邻的的两两个个内内角角的的和和以以及及角角平平分分线线的的定定义义表表示示出出OBC与与OCB，然然后后再再根根据据三角形的内角和定理列式整理即可得解三角形的内角和定理列式整理即可得解知知2 2讲讲解：解：探究探究2结论：结论：BOC A.理由如下：如图，理由如下：如图，BO和和CO分别是分别是ABC和和ACD 的平分线，的平分线，1 ABC，2 ACD.又又ACD是是ABC的一个外角，的一个外角，ACDAABC.2 (AABC)A1.2是是BOC的一个外角，的一个外角，BOC21 A11 A.知知2 2讲讲探究探究3：OBC (AACB)，OCB (AABC)，BOC180OBCOCB180 (AACB)(AABC)180 A (A ABCACB)180 A 18090 A.结论：结论：BOC90 A.（来自（来自点拨点拨）总 结（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲 本题中掌握三角形外角的性质是解题的本题中掌握三角形外角的性质是解题的关键，题中的三个结论都与关键，题中的三个结论都与 A有关，可简有关，可简记为记为“内夹角：内夹角：90 A，内外夹角：，内外夹角：A，外夹角：，外夹角：90 A”记住这些结记住这些结论，可为解填空题、选择题带来很多方便论，可为解填空题、选择题带来很多方便（来自（来自典中点典中点）知知2 2练练1 (中考中考桂林桂林)如图，如图，A50，C70，则外角则外角ABD的度数是的度数是()A110 B120 C130 D140B（来自（来自典中点典中点）知知2 2练练2 (中考中考柳州柳州)图中图中1的大小等于的大小等于()A40 B50 C60 D70D（来自（来自典中点典中点）3 如图，如图，A，1，2的大小关系是的大小关系是()AA12 B21A CA21 D2A1知知2 2练练B3知识点三角形的外角和知知3 3讲讲 例例6 已知：如图，已知：如图，1，2，3是是 ABC的三个外角的三个外角.求证：求证：1+2+3=360.证明：证明：1=ABC+ACB，2=BAC+ACB，3=BAC+ABC，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）1+2+3=2（ABC+ACB+BAC）.（等式性质）（等式性质）ABC+ACB+BAC=180，（三角形内角和定理）（三角形内角和定理）1+2+3=360.（来自教材）（来自教材）知知3 3讲讲归 纳（来自（来自点拨点拨）三角形的三个外角的和等于三角形的三个外角的和等于360.知知3 3讲讲导导引引：A，B，C，D，E五五个个角角不不在在同同一一个个三三角角形形中中，需需要要利利用用“三三角角形形的的一一个个外外角角等等于于与与它它不不相相邻邻的的两两个个内内角角的的和和”转转化到一个三角形中化到一个三角形中例例7 如图，在五角星如图，在五角星ABCDE中，试说明中，试说明ABCDE180.知知3 3讲讲解：解：因为因为AGF是是GCE的外角，的外角，所以所以AGFCE.同理同理AFGBD.在在AFG中，中，AAFGAGF180，所以所以ABCDE180.（来自（来自点拨点拨）知知3 3讲讲总 结(1)本本例例的的说说明明过过程程，充充分分体体现现了了化化分分散散为为集集中中的的转转化化思思想想，即即把把分分散散在在不不同同三三角角形形中中的的五五个个角角运运用用三三角角形形外外角角的的性性质质将将其其集集中中到到同同一一个个三三角角形形中中去去，再再利利用用三三角角形形内内角角和和定定理理说说明明结结论论成成立立知知3 3讲讲总 结(2)解解答答本本例例的的关关键键是是找找基基础础三三角角形形；这这里里的的基基础础三三角角形形较较多多，解解法法也也多多样样，请请读读者者从从不不同同角角度去找度去找 基础三角形，说明结论的正确性基础三角形，说明结论的正确性（来自（来自点拨点拨）知知3 3讲讲1 下列对三角形的外角和叙述正确的是下列对三角形的外角和叙述正确的是()A三角形的外角和等于三角形的外角和等于180 B三角形的外角和就是所有外角的和三角形的外角和就是所有外角的和 C三角形的外角和等于所有外角和的一半三角形的外角和等于所有外角和的一半 D以上都不对以上都不对（来自（来自典中点典中点）知知3 3练练C2 如图，如图，1234_度度（来自（来自典中点典中点）知知3 3练练5401.三角形外角的定义三角形外角的定义：在上面证明三角形内角和定理时，曾经如图那在上面证明三角形内角和定理时，曾经如图那样把样把ABC的一边的一边BC延长至点延长至点D，得到，得到ACD.像像这样由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，这样由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的叫做三角形的外角外角.2.三角形外角的性质：三角形外角的性质：（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.（2）三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.3.三角形的外角和三角形的外角和.请请完成完成点点拨训练拨训练P55-P56对应习题对应习题。