勾股定理专题练习.docx

勾股定理专题练习
题型一：定理及其逆定理的简单应用
1．下列长度的3条线段能构成直角三角形的是（　　）
①8，15，17；②4，5，6；③7.5，4，8.5；④24，25，7；⑤5，8，17．
　 A．①②④ B． ②④⑤ C． ①③⑤ D． ①③④
2．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（　　）
①a=，b=，c=②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25 ⑤a=2，b=2，c=4
　 A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
4．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，AB＝8，BC＝15，CA＝17，则下列结论不正确的是（ ）
A：△ABC是直角三角形，且AC为斜边 B：△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°
C：△ABC的面积是60 D：△ABC是直角三角形，且∠A＝60°
5．在△ABC中，若a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1，则△ABC是（　　）
　 A．锐角三角形 B． 钝角三角形 C． 等腰三角形 D． 直角三角形
6.已知三角形的三边a、b、c满足，则三角形的形状是（ ）
A：底与边不相等的等腰三角形 B：等边三角形 C：钝角三角形 D：直角三角形
7．直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是（　　）
　 A．15° B．30° C．45° D． 60°
8.将直角三角形的三边均扩大为原来的3倍，得到的新三角形是 （ ）
A：锐角三角形 B：等边三角形 C：钝角三角形 D：直角三角形
9. 将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形   (     )
A. 可能是锐角三角形 B. 不可能是直角三角形 C. 仍然是直角三角形 D. 可能是钝角三角形
10．一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（　　）
　 A． 4 B． 8 C． 10 D． 12
11．直角三角形两直角边的长为8和6，则斜边长为　　　　，斜边上的高为　　　．
12.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面 （填“合格”或“不合格”）；
13．等腰△ABC的腰长AB=AC=10，底边上的高AD=6，则底边BC=　 　．
14．有一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有　　 　米高．
15．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为　　　　　　m．
16．如图，∠ABC=90°，CB=15，AC=17，则阴影部分的面积是　 　．（结果保留两位小数）

15题图 16题图 17题图
17．如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了　 　米．
18．将一根长为15㎝的筷子置于底面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围是________________。
19. △ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（　　）
A .42 B.32 C．42或32 D.37或33
20．小东拿一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果秆比城门高1米，当他把秆斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？

题型二：勾股树、赵爽弦图
1．如图，中字母A所代表的正方形的面积为（　　） A． 4 B． 8 C． 16 D． 64

1题图 2题图 3题图
2．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=　　　　　　．
3．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（　　）
A． 4 B． 6 C． 8 D． 10
题型三：利用勾股定理求线段长
1．如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，求EF的长．

2．如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2.求证：AB＝BC.

3．如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P.求证：BP2＝BC2＋AP2.

题型四：求最短距离的问题
平面：1．如图，△ABC的面积等于6，边AC=3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，点P在直线AD上，则线段BP的长不可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短，求EP＋BP的最短长度．

3．高速公路的同一侧有A、B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km.要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B两城镇到P的距离之和最小．求这个最短距离．

展开图：1．如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号)．

1题 2题 3题 4题 5题
2．如图，一个底面圆周长为24m，高为5m的圆柱体，一只蚂蚁沿表面从点A到点B所经过的最短路线长为（　　）A． 12m B． 15m C． 13m D． 9.13m
3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬(　　)A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm
4．如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是　　　　　　　　．
5．如图，一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．问：(1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
(2)当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．

(第6题) (第7题) (第8题)
6．如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程．

7．如图，长方体的长为15厘米，宽为10厘米，高为20厘米，点B到点C的距离是5厘米，自A至B在长方体表面的连线距离最短是多少？

8．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm．

题型五：折叠问题
A
B
C
D
E
F
第4题图
1．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）A． 3cm2 B． 4cm2 C． 6cm2 D． 12cm2

1图 2图 3图
2．（2016•乌鲁木齐）如图，在Rt△ABC中，点E在AB上，把这个直角三角形沿CE折叠后，使点B恰好落到斜边AC的中点O处，若BC=3，则折痕CE的长为（　　）A． B．2 C．3 D．6
3．（2014•新疆）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处．若AD=3，BC=5，则EF的值是（　　）
A． B．2 C． D．2
4．如图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8,则BF=___________。
5.某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离了欲到达点B，结果
离欲到达点B 240米，已知他在水中游了510米，求该河的宽度.
6.如图，为修通铁路凿通隧道AC，量出∠A=40°∠B＝50°，AB＝5公里，BC＝4公里，
若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道AB凿通？

题型六：实际问题
1.如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？

2.有一艘渔轮在海上C处作业时，发生故障，立即向搜救中心发出救援信号，此时搜救中心的两艘救助轮救助一号和救助二号分别位于海上A处和B处，B在A的正东方向，且相距100里，测得地点C在A的南偏东60°，在B的南偏东30°方向上，如图所示，若救助一号和救助二号的速度分别为40里/小时和30里/小时，问搜救中心应派那艘救助轮才能尽早赶到C处救援？（≈1.7）

其他：
1．在数轴上分别画出表示5、的点（不写作法，但要保留画图痕迹）