2022-2023学年四川省德阳市广汉市西高镇学校九年级数学第一学期期末教学质量检测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为（ ）
A．65 B．65 C．2 D．
2．如图，一根6m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（ ）

A．9πm2 B．πm2 C．15πm2 D．πm2
3．如图，在中，点在边上，连接，点在线段上，，且交于点，，且交于点，则下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
4．已知y关于x的函数表达式是，下列结论不正确的是（ ）
A．若，函数的最大值是5
B．若，当时，y随x的增大而增大
C．无论a为何值时，函数图象一定经过点
D．无论a为何值时，函数图象与x轴都有两个交点
5．如图，点，，均在⊙上，当时，的度数是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点0）20米的A处，则小明的影长为（　　）米．

A．4 B．5 C．6 D．7
7．已知线段，是线段的黄金分割点，则的长度为（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
8．已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．−2 B．2 C．−4 D．4
9．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图的几何体由6个相同的小正方体搭成，它的主视图是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣9）与坐标轴交于A、B、C三点，D为顶点，连结AC，BC．点P是该抛物线在第一象限内上的一点．过点P作y轴的平行线交BC于点E，连结AP交BC于点F，则的最大值为_______．

12．为了某小区居民的用水情况，随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表：
月用水量（吨）

4

5

6

9

户数

3

4

2

1

则关于这10户家庭的约用水量，下列说法错误的是（ ）
A．中位数是5吨 B．极差是3吨 C．平均数是5.3吨 D．众数是5吨
13．已知﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是_____
14．圆锥侧面展开图的圆心角的度数为，母线长为5，该圆锥的底面半径为________．
15．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：_____，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）

16．若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是_____________．
17．已知扇形半径为5cm，圆心角为60°，则该扇形的弧长为________cm．
18．已知是方程 的两个实数根，则的值是____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+1．
（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；
（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．
20．（6分）用一段长为28m的铁丝网与一面长为8m的墙面围成一个矩形菜园，为了使菜园面积尽可能的大，给出了甲、乙两种围法，请通过计算来说明这个菜园长、宽各为多少时，面积最大？最大面积是多少？

21．（6分）抛物线的顶点为，且过点，求它的函数解析式.
22．（8分）如图，在中，，分别是，上的点，且，连接，，.

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，，，，求的长．
23．（8分）综合与探究
如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，顶点为.
(1)求抛物线的解析式及点坐标；
(2)在直线上是否存在一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)在轴上取一动点，，过点作轴的垂线，分别交抛物线，，于点，，.
①判断线段与的数量关系，并说明理由
②连接，，，当为何值时，四边形的面积最大？最大值为多少？

24．（8分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且为正整数，求的值.
25．（10分）为进一步深化基教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了A书法、B阅读，C足球，D器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．
（1）学生小红计划选修两门课程，请写出所有可能的选法；
（2）若学生小明和小刚各计划送修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？
26．（10分）一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1、﹣2、3、﹣4，这些卡片除数字外都相同．王兴从口袋中随机抽取一张卡片，钟华从剩余的三张卡片中随机抽取一张，求两张卡片上数字之积．
（1）请你用画树状图或列表的方法，列出两人抽到的数字之积所有可能的结果．
（2）求两人抽到的数字之积为正数的概率．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】由样本平均值的计算公式列出关于a的方程，解出a，再利用样本方差的计算公式求解即可．
【详解】由题意知
（a+0+1+2+3）÷5=1，解得a=-1，
∴样本方差为
故选：C．
【点睛】
本题考查样本的平均数、方差求法，属基础题，熟记样本的平均数、方差公式是解答本题的关键
2、B
【解析】小羊的最大活动区域是一个半径为6、圆心角为90°和一个半径为2、圆心角为60°的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围．
【详解】大扇形的圆心角是90度，半径是6，如图，

所以面积==9πm2；
小扇形的圆心角是180°-120°=60°，半径是2m，
则面积=π（m2），
则小羊A在草地上的最大活动区域面积=9π+π=π（m2）．
故选B．
【点睛】
本题考查了扇形的面积的计算，本题的关键是从图中找到小羊的活动区域是由哪几个图形组成的，然后分别计算即可．
3、C
【分析】根据平行线截得的线段对应成比例以及相似三角形的性质定理，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】∵，，
∴，
∴A正确，
∵，
∴，
∴B正确，
∵∆DFG~∆DCA， ∆AEG~∆ABD，
∴，，
∴，
∴C错误，
∵，，
∴，
∴D正确，
故选C．
【点睛】
本题主要考查平行线截线段定理以及相似三角形的性质定理，掌握平行线截得的线段对应成比例是解题的关键．
4、D
【分析】将a的值代入函数表达式，根据二次函数的图象与性质可判断A、B，将x=1代入函数表达式可判断C，当a=0时，y=-4x是一次函数，与x轴只有一个交点，可判断D错误.
【详解】当时，，
∴当时，函数取得最大值5，故A正确；
当时，，
∴函数图象开口向上，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而增大，故B正确；
当x=1时，，
∴无论a为何值，函数图象一定经过(1,-4)，故C正确；
当a=0时，y=-4x，此时函数为一次函数，与x轴只有一个交点，故D错误；
故选D.
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，以及一次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
5、A
【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出的度数，然后根据圆周角定理可得到的度数．
【详解】，
，
，
．
故选A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6、B
【分析】直接利用相似三角形的性质得出，故，进而得出AM的长即可得出答案．
【详解】解：由题意可得：

OC∥AB，
则△MBA∽△MCO，
∴，
即
解得：AM＝1．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出△MBA∽△MCO是解题关键．
7、C
【分析】根据黄金分割公式即可求出.
【详解】∵线段，是线段的黄金分割点，
当，
∴；
当，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
此题考查黄金分割的公式，熟记公式是解题的关键.
8、B
【解析】分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可．
详解：把x=1代入方程得1+k-3=0，
解得k=1．
故选B．
点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9、A
【解析】试题分析：A．∵△=25﹣4×2×4=﹣7＜0，∴方程没有实数根，故本选项正确；
B．∵△=36﹣4×1×4=0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
C．∵△=16﹣4×5×（﹣1）=36＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
D．∵△=16﹣4×1×3=4＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
故选A．
考点：根的判别式．
10、A
【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
【详解】从正面看有三列，从左起第一列有两个正方形，第二列有两个正方形，第三列有一个正方形，故A符合题意，
故选A．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据抛物线的解析式求得A、B、C的坐标，进而求得AB、BC、AC的长，根据待定系数法求得直线BC的解析式，作PN⊥BC，垂足为N．先证明△PNE∽△BOC，由相似三角形的性质可知PN=PE，然后再证明△PFN∽△AFC，由相似三角形的性质可得到PF:AF与m的函数关系式，从而可求得的最大值．
【详解】∵抛物线y=﹣(x+1)(x﹣9)与坐标轴交于A、B、C三点，
∴A(﹣1，0)，B(9，0)，
令x=0，则y=1，
∴C(0，1)，
∴BC，
设直线BC的解析式为y=kx+b．
∵将B、C的坐标代入得：，解得k=﹣，b=1，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+1．
设点P的横坐标为m，则纵坐标为﹣(m+1)(m﹣9)，点E(m，﹣m+1)，
∴PE=﹣(m+1)(m﹣9)﹣(﹣m+1)=﹣m2+1m．
作PN⊥BC，垂足为N．

∵PE∥y轴，PN⊥BC，
∴∠PNE=∠COB=90°，∠PEN=∠BCO．
∴△PNE∽△BOC．
∴===．
∴PN=PE=(-m2+1m)．
∵AB2=(9+1)2=100，AC2=12+12=10，BC2=90，
∴AC2+BC2=AB2．
∴∠BCA=90°，
又∵∠PFN=∠CFA，
∴△PFN∽△AFC．
∴===﹣m2+m=﹣(m﹣)2+．
∵，
∴当m时，的最大值为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及相似三角形的证明与性质，求得与m的函数关系式是解题的关键．
12、B
【详解】解∵这10个数据是：4，4，4，5，5，5，5，6，6，9；
∴中位数是：（5+5）÷2=5吨，故A正确；
∴众数是：5吨，故D正确；
∴极差是：9﹣4=5吨，故B错误；
∴平均数是：（3×4+4×5+2×6+9）÷10=5.3吨，故C正确．
故选B．
13、2．
【解析】设另一个根为t，根据根与系数的关系得到3+t=4，然后解一次方程即可．
【详解】设另一个根为t，
根据题意得3+t=4，
解得t=2，
则方程的另一个根为2．
故答案为2．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x2，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x2+x2=-，x2x2=．
14、1
【分析】设该圆锥的底面半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于r的方程即可．
【详解】设该圆锥的底面半径为r，根据题意得，解得．故答案为1．
【点睛】
本题考查圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15、∠B=∠1或
【解析】此题答案不唯一，注意此题的已知条件是：∠A=∠A，可以根据有两角对应相等的三角形相似或有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可.
【详解】此题答案不唯一，如∠B=∠1或．
∵∠B=∠1，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
∵，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
故答案为∠B=∠1或
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定：有两角对应相等的三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，根据判定定理解题.
16、y1>y3>y1
【分析】由题意可把用k表示出来，然后根据不等式的性质可以得到的大小．
【详解】由题意得：,
∵-1<<,k<0
∴-k>>即y1>y3>y1．
故答案为y1>y3>y1．
【点睛】
本题考查反比例函数的知识，根据反比例函数图象上点的横坐标得到其纵坐标是解题关键．
17、
【分析】直接利用弧长公式进行计算．
【详解】解：由题意得：=,
故答案是：
【点睛】
本题考查了弧长公式，考查了计算能力，熟练掌握弧长公式是关键．
18、1
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，再代入中计算即可．
【详解】解：∵是方程 的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知：若是一元二次方程的两个根，则，．

三、解答题(共66分)
19、（1）W1=﹣x2+32x﹣2；（2）该产品第一年的售价是16元；（3）该公司第二年的利润W2至少为18万元．
【解析】（1）根据总利润=每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可；
（2）构建方程即可解决问题；
（3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数，利用而学会设的性质即可解决问题.
【详解】（1）W1=（x﹣6）（﹣x+1）﹣80=﹣x2+32x﹣2．
（2）由题意：20=﹣x2+32x﹣2．
解得：x=16，
答：该产品第一年的售价是16元．
（3）由题意：7≤x≤16，
W2=（x﹣5）（﹣x+1）﹣20=﹣x2+31x﹣150，
∵7≤x≤16，
∴x=7时，W2有最小值，最小值=18（万元），
答：该公司第二年的利润W2至少为18万元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题.
20、当矩形的长、宽分别为9m、9m时，面积最大，最大面积为81m1．
【分析】根据矩形的面积公式甲图列出算式可以直接求面积，乙图设垂直于墙的一边为x，则另一边为（18﹣x）（包括墙长）列出二次函数解析式即可求解．
【详解】解：如图甲：设矩形的面积为S，
则S＝8×（18﹣8）＝2．
所以当菜园的长、宽分别为10m、8m时，面积为2；
如图乙：设垂直于墙的一边长为xm，则另一边为（18﹣1x﹣8）+8＝（18﹣x）m．
所以S＝x（18﹣x）＝﹣x1+18x＝﹣（x﹣9）1+81
因为﹣1＜0，
当x＝9时，S有最大值为81，
所以当矩形的长、宽分别为9m、9m时，面积最大，最大面积为81m1．
综上：当矩形的长、宽分别为9m、9m时，面积最大，最大面积为81m1．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，难度一般，关键在于找到等量关系列出方程求解，另外注意配方法求最大值在实际中的应用
21、
【分析】已知抛物线的顶点，故可设顶点式，由顶点可知，将点代入即可.
【详解】解：设
将点代入得
解得
所以
【点睛】
本题考查了抛物线的解析式，由题中所给点的特征选择合适的抛物线的解析式的设法是解题的关键.
22、（1）见解析；（2）．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，AD=CB，根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DAF=∠AFD，求得AD=DF，根据勾股定理的逆定理和勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴且．
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
23、 (1)，点坐标为；(2)点的坐标为；(3)①；②当为-2时，四边形的面积最大，最大值为4.
【分析】（1）用待定系数法即可求出抛物线解析式，然后化为顶点式求出点D的坐标即可；
（2）利用轴对称-最短路径方法确定点M，然后用待定系数法求出直线AC的解析式，进而可求出点M的坐标；
（3）①先求出直线AD的解析式，表示出点F、G、P的坐标，进而表示出FG和FP的长度，然后即可判断出线段与的数量关系；
②根据割补法分别求出△AED和△ACD的面积，然后根据列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】解：(1)由抛物线与轴交于，两点得，
解得，
故抛物线解析式为，
由得点坐标为；
(2)在直线上存在一点，到点的距离与到点的距离之和最小.
根据抛物线对称性，
∴，
∴使的值最小的点应为直线与对称轴的交点，
当时，，
∴，
设直线解析式为直线，
把、分别代入得
，解之得：，
∴直线解析式为，
把代入得，，
∴，
即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为；
(3)①，
理由为：
设直线解析式为，
把、分别代入直线得
，解之得：，
∴直线解析式为，
则点的坐标为，
同理的坐标为，
则，，
∴；
②∵， ，，
∴AO=3，DM=2，
∴S△ACD=S△ADM+S△CDM=.
设点的坐标为，
，
∴

，
∴当为-2时，的最大值为1.
∴，
∴当为-2时，四边形的面积最大，最大值为4.

【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，一般式与顶点式的互化，轴对称最短的性质，坐标与图形的性质，三角形的面积公式，割补法求图形的面积，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解答本题的关键.
24、
【解析】根据方程有两个不相等的实数根知△＞0，据此列出关于m的不等式，求出m的范围；
再根据m为正整数得出m的值即可。
【详解】解：∵一元二次方程+3x+m=0有两个不相等的实数根，
，
∴ ，
∵为正整数，
∴.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
25、（1）答案见解析；（2）
【解析】分析：（1）直接列举出所有可能的结果即可.
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解．
详解：（1）学生小红计划选修两门课程，她所有可能的选法有：A书法、B阅读；A书法、C足球；A书法、D器乐；B阅读，C足球；B阅读，D器乐；C足球，D器乐.
共有6种等可能的结果数；
（2）画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4，
所以他们两人恰好选修同一门课程的概率
点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
26、（1）详见解析；（2）．
【分析】（1）根据题意可以画出树状图，即可列出两人抽到的数字之积所有可能的结果；（2）根据概率公式，结合（1）中的结果即可求得两人抽到的数字之积为正数的概率．
【详解】解：（1）如下图所示，
；
（2）由（1）可知，一共有12种可能性，两人抽到的数字之积为正数的可能性有4种，
∴两人抽到的数字之积为正数的概率是： =，
即两人抽到的数字之积为正数的概率是．
【点睛】
本题考查了用列表法（或树状图法）求概率：当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法；当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率.