2022-2023学年河南省郑州市郑州枫杨外国语学校数学九年级第一学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在4×4的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上，则的值为（ ）

A． B． C． D．3
2．等腰直角△ABC内有一点P，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA，若∠BAC=90°，AP=1.则CP的长等于（ ）

A． B．2 C．2 D．3
3．如图，点，分别在反比例函数，的图象上．若，，则的值为（ ）

A． B． C． D．
4．若点A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）三点在抛物线y＝x2﹣4x﹣m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
5．如图1，图2是甲、乙两位同学设置的“数值转换机”的示意图，若输入的，则输出的结果分别为（ ）

A．9，23 B．23，9 C．9，29 D．29，9
6．如图所示，是的中线，是上一点，，的延长线交于，（ ）

A． B． C． D．
7．已知两个相似三角形的面积比为 4：9，则周长的比为 ( )
A．2：3 B．4：9
C．3：2 D．
8．在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ）
A．m=,n= B．m=5，n= -6 C．m= -1，n=6 D．m=1，n= -2
9．如图，O为原点，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），⊙D过A、B、O三点，点C为上一点（不与O、A两点重合），则cosC的值为（　　）

A． B． C． D．
10．如图，AB、CD相交于点O，AD∥CB，若AO=2，BO=3，CD=6，则CO等于（ ）

A．2.4 B．3 C．3.6 D．4
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，如果将半径为的圆形纸片剪去一个圆心角为的扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面圆半径为______．

12．如图，在平面直角坐标系中，已知经过点，且点O为坐标原点，点C在y轴上，点E在x轴上，A(-3，2)，则__________．

13．已知正六边形的边长为10，那么它的外接圆的半径为_____．
14．图甲是小张同学设计的带图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案设计拼接面成（不重叠，无缝隙）．图乙中，点E、F、G、H分别为矩形AB、BC、CD、DA的中点，若AB＝4，BC＝6，则图乙中阴影部分的面积为
_____．

15．已知关于x的一元二次方程的常数项为零，则k的值为_____．
16．如图，甲、乙两楼之间的距离为30米，从甲楼测得乙楼顶仰角为α＝30°，观测乙楼的底部俯角为β＝45°，乙楼的高h＝_____米（结果保留整数≈1.7，≈1.4）．

17．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6，以A为圆心，AC长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分面积为__________．（结果保留π）

18．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，已知反比例函数的图像与一次函数的图象相交于点A（1，4）和点B（m，-2）．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求ΔAOC的面积；
（3）直接写出时的x的取值范围　 （只写答案）
20．（6分）（1）如图①，在△ABC中，AB＝m，AC＝n（n＞m），点P在边AC上．当AP＝ 时，△APB∽△ABC；
（2）如图②，已知△DEF（DE＞DF），请用直尺和圆规在直线DF上求作一点Q，使DE是线段DF和DQ的比例项．（保留作图痕迹，不写作法）

21．（6分）如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数 （k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．

（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；
（2）若点P在直线y＝﹣x+2上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标；
（3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．
22．（8分）假期期间，甲、乙两位同学到某影城看电影，影城有《我和我的祖国》（记为）、《中国机长》（记为）、《攀登者》（记为）三部电影，甲、乙两位同学分别从中任选一部观看，每部被选中的可能性相同．用树状图或列表法求甲、乙两位同学选择同一部电影的概率．
23．（8分）如图1，在中，，以为直径的交于点．

（1）求证：点是的中点；
（2）如图2，过点作于点，求证：是的切线．

24．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=，以点A为圆心，AD为半径的圆与BC相切于点E，交AB于点F．
（1）求∠ABE的大小及的长度；
（2）在BE的延长线上取一点G，使得上的一个动点P到点G的最短距离为，求BG的长．

25．（10分）从甲、乙两台包装机包装的质量为300g的袋装食品中各抽取10袋，测得其实际质量如下（单位：g）
甲：301，300，305，302，303，302，300，300，298，299
乙：305，302，300，300，300，300，298，299，301，305
（1）分别计算甲、乙这两个样本的平均数和方差；
（2）比较这两台包装机包装质量的稳定性．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣2与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象在第一象限内交于点A，点A的横坐标为1．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设直线y＝x﹣2与y轴交于点C，过点A作AE⊥x轴于点E，连接OA，CE．求四边形OCEA的面积．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据勾股定理求出和的各边长，由三边对应成比例的两个三角形相似可得，所以可得，求值即可.
【详解】解：由勾股定理，得，，，，
，，，
，
，，
.
故选：B
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质及解直角三角形，灵活利用正方形方格的特点是解题的关键.
2、B
【分析】先利用定理求得，再证得，利用对应边成比例，即可求得答案.
【详解】如图，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴，，
设，则，如图，

∴，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．
3、A
【分析】分别过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，根据点A所在的图象可设点A的坐标为（），根据相似三角形的判定证出△BDO∽△OCA，列出比例式即可求出点B的坐标，然后代入中即可求出的值．
【详解】解：分别过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，

∵点在反比例函数，
设点A的坐标为（），则OC=x，AC=，
∴∠BDO=∠OCA=90°
∵
∴∠BOD＋∠AOC=180°－∠AOB=90°，∠OAC＋∠AOC=90°
∴∠BOD=∠OAC
∴△BDO∽△OCA
∴
解得：OD=2AC=，BD=2OC=2x，
∵点B在第二象限
∴点B的坐标为（）
将点B坐标代入中，解得
故选A．
【点睛】
此题考查的是求反比例函数解析式相似三角形的判定及性质，掌握用待定系数法求反比例函数的解析式和构造相似三角形的方法是解决此题的关键．
4、C
【分析】先求出二次函数的图象的对称轴，然后判断出，，在抛物线上的位置，再根据二次函数的增减性求解．
【详解】解：∵二次函数中，
∴开口向上，对称轴为，
∵中，∴最小，
又∵，都在对称轴的左侧，
而在对称轴的左侧，随得增大而减小，故．
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质,特别是对称轴与其两侧的增减性,熟练掌握图象与性质是解答关键.
5、D
【分析】根据题意分别把m=-2代入甲、乙两位同学设置的“数值转换机”求值即可．
【详解】解：甲的“数值转换机”：
当时，(-2)2+52=4+25=29，
乙的“数值转换机”:
当时，[(-2)+5]2=32=9，
故选D.
【点睛】
本题考查了求代数式的值.解题关键是根据数值转换机的图示分清运算顺序.
6、D
【分析】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH=HC，根据平行线分线段成比例定理得到，据此计算得到答案．
【详解】解：作DH∥BF交AC于H，

∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴FH=HC，
∴FC=2FH，
∵DH∥BF，，
，
∴AF：FC=1：6，
∴AF：AC=1：7，
故选：D．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，作出平行辅助线，灵活运用定理、找准比例关系是解题的关键．
7、A
【分析】由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知了两个相似三角形的面积比，即可求出它们的相似比；再根据相似三角形的周长比等于相似比即可得解．
【详解】∵两个相似三角形的面积之比为4：9，
∴两个相似三角形的相似比为2：1，
∴这两个相似三角形的周长之比为2：1．
故选A
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
8、D
【解析】由两抛物线关于y轴对称，可知两抛物线的对称轴也关于y轴对称，与y轴交于同一点，由此可得二次项系数与常数项相同，一次项系数互为相反数，由此可得关于m、n的方程组，解方程组即可得.
【详解】关于y轴对称，二次项系数与常数项相同，一次项系数互为相反数，
∴，
解之得，
故选D.
【点睛】
本题考查了关于y轴对称的抛物线的解析式间的关系，弄清系数间的关系是解题的关键.
9、D
【详解】如图，连接AB，

由圆周角定理，得∠C=∠ABO，
在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，由勾股定理，得AB=5，
∴．
故选D．
10、C
【分析】由平行线分线段成比例定理，得到 ；利用AO、BO、CD的长度，求出CO的长度，即可解决问题．
【详解】如图，∵AD∥CB，
∴；
∵AO=2，BO=3，CD=6，
∴ ，解得：CO=3.6，
故选C．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题．掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例是解题的关键．．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、cm
【分析】设这个圆锥的底面圆半径为rcm，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解方程即可．
【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为rcm，
根据题意得
解得：,
即这个圆锥的底面圆半径为cm
故答案为：cm
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
12、
【解析】分别过A点作x轴和y轴的垂线，连接EC，由∠COE=90°，根据圆周角定理可得：EC是⊙A的直径、，由A点坐标及垂径定理可求出OE和OC，解直角三角形即可求得．
【详解】解：如图，过A作AM⊥x轴于M，AN⊥y轴于N，连接EC，

∵∠COE=90°，
∴EC是⊙A的直径，
∵A(−3，2)，
∴OM=3，ON=2，
∵AM⊥x轴，AN⊥y轴，
∴M为OE中点，N为OC中点，
∴OE=2OM=6，OC=2ON=4，
∴=．
【点睛】
本题主要考查了同弧所对的圆周角相等、垂径定理和锐角三角函数定义，熟练掌握定理是解本题的关键．
13、1
【分析】利用正六边形的概念以及正六边形外接圆的性质进而计算．
【详解】边长为1的正六边形可以分成六个边长为1的正三角形，
∴外接圆半径是1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了正六边形的概念以及正六边形外接圆的性质，掌握正六边形的外接圆的半径等于其边长是解题的关键．
14、
【分析】根据S阴＝S菱形PHQF﹣2S△HTN，再求出菱形PHQF的面积，△HTN的面积即可解决问题．
【详解】如图，设FM＝HN＝a．

由题意点E、F、G、H分别为矩形AB、BC、CD、DA的中点，
∴四边形DFBH和四边形CFAH为平行四边形，
∴DF∥BH,CH∥AF，
∴四边形HQFP是平行四边形
又HP=CH=DP=PF，
∴平行四边形HQFP是菱形，它的面积＝S矩形ABCD＝×4×6＝6，
∵FM∥BJ，CF＝FB，
∴CM＝MJ，
∴BJ＝2FM＝2a，
∵EJ∥AN，AE＝EB，
∴BJ＝JN＝2a，
∵S△HBC＝•6•4＝12，HJ＝BH，
∴S△HCJ＝×12＝，
∵TN∥CJ，
∴△HTN∽△HCJ，
∴＝（）2＝，
∴S△HTN＝×＝，
∴S阴＝S菱形PHQF﹣2S△HTN＝6﹣＝，
故答案为．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质、菱形的判定与性质及相似三角形的性质.
15、1
【分析】由一元二次方程（k﹣1）x1+6x+k1﹣3k+1＝0的常数项为零，即可得 ，继而求得答案．
【详解】解：∵一元二次方程（k﹣1）x1+6x+k1﹣3k+1＝0的常数项为零，
∴，
由①得：（k﹣1）（k﹣1）＝0，
解得：k＝1或k＝1，
由②得：k≠1，
∴k的值为1，
故答案为：1．
【点睛】
本题是对一元二次方程根的考查，熟练掌握一元二次方程知识是解决本题的关键.
16、1
【分析】根据正切的定义求出CD，根据等腰直角三角形的性质求出BD，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：在Rt△ACD中，tan∠CAD＝，
∴CD＝AD•tan∠CAD＝30×tan30°＝10≈17，
在Rt△ABD中，∠DAB＝45°，
∴BD＝AD＝30，
∴h＝CD+BD≈1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，要注意利用已知线段和角通过三角关系求解.
17、9﹣3π
【解析】试题解析：连结AD．

∵直角△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6，
∴∠C=60°，AB=6，
∵AD=AC，
∴三角形ACD是等边三角形，
∴∠CAD=60°，
∴∠DAE=30°，
∴图中阴影部分的面积=
18、1
【分析】设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系得出a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，求出即可．
【详解】设方程的另一个根为a，
则根据根与系数的关系得：a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，
解得：a=1，
故答案为1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．

三、解答题(共66分)
19、（1），；（2）C（-3，0）， S=6；（3）或
【分析】（1）根据题意把A的坐标代入反比例函数的图像与一次函数，分别求出k和b，从而即可确定反比例函数和一次函数的解析式；
（2）由题意先求出C的坐标，再利用三角形面积公式求出ΔAOC的面积；
（3）根据函数的图象即可得出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【详解】解：（1）将点A（1，4）代入反比例函数的图像与一次函数，求得以及，
所以反比例函数和一次函数的解析式分别为：和；
（2）因为C在一次函数的图象上以及x轴上，所以求得C坐标为（-3，0），
则有OC=3, ΔAOC以OC为底的高为4，所以ΔAOC的面积为：；
（3）由可知一次函数的值大于反比例函数的值，
把B（m，-2）代入，得出m=-2，即B（-2，-2），
此时当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．
【点睛】
本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式及利用图象比较函数值的大小，解题的关键是确定交点的坐标．
20、（1）；（2）见解析.
【分析】（1）根据相似三角形的判定方法进行分析即可;
（2）直接利用相似三角形的判定方法以及结合做一角等于已知角进而得出答案．
【详解】（1）解：要使△APB∽△ABC成立，∠A是公共角，则,即,∴AP=.
（2）解：作∠DEQ＝∠F,
如图点Q就是所求作的点

【点睛】
本题考查了相似变换，正确掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
21、（1）y＝；（2）P（0，2）或（－3，5）；（3）M（，0）或（，0）．
【解析】（1）利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a，b，最后用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）设出点P坐标，用三角形的面积公式求出S△ACP＝×3×|n＋1|，S△BDP＝×1×|3−n|，进而建立方程求解即可得出结论；
（3）设出点M坐标，表示出MA2＝（m＋1）2＋9，MB2＝（m−3）2＋1，AB2＝32，再三种情况建立方程求解即可得出结论．
【详解】（1）∵直线y＝－x＋2与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，∴－a＋2＝3，－3＋2＝b，
∴a＝－1，b＝－1，
∴A（－1，3），B（3，－1），
∵点A（－1，3）在反比例函数y＝上，
∴k＝－1×3＝－3，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）设点P（n，－n＋2），
∵A（－1，3），
∴C（－1，0），
∵B（3，－1），
∴D（3，0），
∴S△ACP＝AC×|xP−xA|＝×3×|n＋1|，S△BDP＝BD×|xB−xP|＝×1×|3−n|，
∵S△ACP＝S△BDP，
∴×3×|n＋1|＝×1×|3−n|，
∴n＝0或n＝−3，
∴P（0，2）或（−3，5）；
（3）设M（m，0）（m＞0），
∵A（−1，3），B（3，−1），
∴MA2＝（m＋1）2＋9，MB2＝（m−3）2＋1，AB2＝（3＋1）2＋（−1−3）2＝32，
∵△MAB是等腰三角形，
∴①当MA＝MB时，
∴（m＋1）2＋9＝（m−3）2＋1，
∴m＝0，（舍）
②当MA＝AB时，
∴（m＋1）2＋9＝32，
∴m＝−1＋或m＝−1−（舍），
∴M（−1＋，0）
③当MB＝AB时，（m−3）2＋1＝32，
∴m＝3＋或m＝3−（舍），
∴M（3＋，0）
即：满足条件的M（−1＋，0）或（3＋，0）．
【点睛】
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的求法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
22、，见解析
【分析】列表法展示所有等可能的结果数，找出甲、乙选择同1部电影的结果数，然后利用概率公式求解．
【详解】解：列表如下：

由表可知，共有9种等可能结果，其中选择同一部电影的结果为3种，
∴（他们选择同一部电影）．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
23、（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）连结CD，如图，根据圆周角定理得到∠CDB=90°，然后根据等腰三角形的性质易得点D是BC的中点；
（2）连结OD，如图，先证明OD为△ABC的中位线，得到OD∥AC，由于DE⊥AC，则DE⊥OD，于是根据切线的判断定理得到DE是⊙O的切线
【详解】（1）连接

∵是的直径
∴
∴
∴
∴
∴点是的中点
（2）连接

∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴是的切线
【点睛】
本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等腰三角形的性质、三角形中位线性质．
24、（1）15°，；（2）1．
【解析】试题分析：（1）连接AE，如图1，根据圆的切线的性质可得AE⊥BC，解Rt△AEB可求出∠ABE，进而得到∠DAB，然后运用圆弧长公式就可求出的长度；
（2）如图2，根据两点之间线段最短可得：当A、P、G三点共线时PG最短，此时AG=AP+PG==AB，根据等腰三角形的性质可得BE=EG，只需运用勾股定理求出BE，就可求出BG的长．
试题解析：（1）连接AE，如图1，∵AD为半径的圆与BC相切于点E，∴AE⊥BC，AE=AD=2．
在Rt△AEB中，sin∠ABE===，∴∠ABE=15°．∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABE=180°，∴∠DAB=135°，∴的长度为=；
（2）如图2，根据两点之间线段最短可得：当A、P、G三点共线时PG最短，此时AG=AP+PG==，∴AG=AB．∵AE⊥BG，∴BE=EG．∵BE===2，∴EG=2，∴BG=1．

考点：切线的性质；弧长的计算；动点型；最值问题．
25、（1）甲平均数301，乙平均数301，甲方差3.2，乙方差4.2；（2）甲包装机包装质量的稳定性好，见解析
【分析】（1）根据平均数就是对每组数求和后除以数的个数；根据方差公式计算即可；
（2）方差大说明这组数据波动大，方差小则波动小，就比较稳定．依此判断即可．
【详解】解：（1）＝（1+0+5+2+3+2+0+0﹣2﹣1）+300＝301，
＝（5+2+0+0+0+0﹣2﹣1+1+5）+300＝301，
＝[（301﹣301）2+（301﹣300）2+（301﹣305）2+（301﹣302）2+（301﹣303）2+（301﹣302）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣298）2+（301﹣299）2]＝3.2；
＝[（301﹣305）2+（301﹣302）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣298）2+（301﹣299）2+（301﹣301）2+（301﹣305）2]＝4.2；
（2）∵＜，
∴甲包装机包装质量的稳定性好．
【点睛】
本题考查了平均数和方差，正确掌握平均数及方差的求解公式是解题的关键.
26、（1）y＝；（2）2．
【分析】（1）先求出点A的坐标，然后利用待定系数法即可求出结论；
（2）先求出点C的坐标，然后求出点E的坐标，最后利用四边形OCEA的面积＝+即可得出结论．
【详解】解：（1）当x＝1时，y＝x﹣2＝1﹣2＝2，
则A（1，2），
把A（1，2）代入y＝得
k＝1×2＝2，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）当x＝0时，y＝x﹣2＝﹣2，
则C（0，﹣2），
∵AE⊥x轴于点E，
∴E（1，0），
∴四边形OCEA的面积＝+＝×1×2+×1×2＝2．
【点睛】
此题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握利用待定系数法求反比例函数解析式和三角形的面积公式是解决此题的关键．