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人教版八年级上册期末数学试题含答案
一、选择题
1．下列图形中是轴对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
2．2020年6月23日上午9时43分，北斗三号系统第30颗卫星，同时也是整个北斗系统的第55颗卫星成功发射，北斗三号全球卫星导航系统星座部署全面完成．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．1纳米＝0.000000001米，将22纳米用科学记数法表示为（       ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（       ）
A． B． C． D．且
5．下列因式分解正确的是（       ）
A． B．
C． D．
6．下列分式的变形正确的是（       ）
A．＝ B．＝x+y C．＝ D．＝（a≠b）
7．如图，点E，点F在直线AC上，，AD∥BC，若想利用“”说明，需要添加的条件是（       ）

A． B． C． D．
8．若关于x的一次函数的图象不经过第二象限，且关于x的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数m的和是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．5
9．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，O是三条高AD，BE，CF的交点，则以下结论中不一定成立的是（     ）

A．∠BOC＝120° B．AB＝2AE
C．∠BOD＝60° D．OE＋OF＝
10．如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论正确的有(     )个
①；②；③；④是等腰三角形；⑤.

A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
11．若分式 的值为0，则x的值是_________．
12．点P（1，-2）关于x轴的对称点的坐标为__________．
13．已知：，则A+B＝_____．
14．已知，则_________．
15．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的一动点，则PA+PB的最小值是 ___．

16．多项式是完全平方式，则________．
17．实数，满足，则分式的值是 __．
18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，AX⊥AC，点P和点Q从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB=PQ，当AP=________时，△ABC与△APQ全等．

三、解答题
19．分解因式：
(1)．
(2)．
20．解分式方程：．
21．如图，AB⊥CB，DC⊥CB，E、F在BC上，∠A=∠D，BE=CF，求证：AF=DE．

22．阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】
“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】
探索一：如图1，在八字形中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ；
探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 ；
探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为 ．
【模型应用】
应用一：如图4，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P．则∠A＝ （用含有α和β的代数式表示），∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
【拓展延伸】
拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 ．（用x、y表示∠P）
拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 ．

23．某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
设每个乙商品的进价为x元．
(1)每个甲商品的进价为_______元（用含x的式子表示）；
(2)求每个甲、乙商品的进价分别是多少？
24．材料：数学兴趣一小组的同学对完全平方公式进行研究：因，将左边展开得到，移项可得：.
数学兴趣二小组受兴趣一小组的启示，继续研究发现：对于任意两个非负数、，都存在，并进一步发现，两个非负数、的和一定存在着一个最小值.
根据材料，解答下列问题：
（1）__________（，）；___________（）；
（2）求的最小值；
（3）已知，当为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值.
25．在Rt△中，，∠，点是上一点．

(1)如图，平分∠，求证；
(2)如图，点在线段上，且∠，∠，求证；
(3)如图3，BM⊥AM，M是△ABC的中线AD延长线上一点，N在AD上，AN＝BM，若DM＝2，则MN＝ （直接写出结果）．
26．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明；
（3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数．

【参考答案】
一、选择题
2．B
解析：B
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．C
解析：C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：22纳米＝22×0.000000001米＝2.2×10−8米．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．B
解析：B
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方来计算求解．
【详解】解：A．，故原选项计算错误，此项不符合题意；
B．，故原选项计算正确，此项符合题意；
C．，故原选项计算错误，此项不符合题意；
D．，故原选项计算错误，此项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，理解相关运算法则是解答关键．
5．C
解析：C
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不为0解答即可．
【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，且x≠0
解得：x≥1．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
6．D
解析：D
【分析】根据因式分解的概念以及方法逐项判断即可．
【详解】A、没有变为整式的积的形式，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、没有变为整式的积的形式，故C选项错误；
D、，故D选项正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的概念，把一个多项式在实数范围内化为几个整式的积，这种式子变形叫做多项式的因式分解，掌握因式分解的概念是解答本题的关键．
7．C
解析：C
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，逐项分析即可求出答案．
【详解】解：A、当c＝0时，等式不成立，故A不符合题意；
B、≠x＋y，故B不符合题意；
C、＝，变形正确，故C符合题意；
D、≠（a≠b），故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
8．A
解析：A
【分析】根据AD∥BC，可得∠A=∠C，再根据全等三角形的判定，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∵，
∴A、添加，可利用AAS说明，故本选项符合题意；
B、添加，不能说明，故本选项不符合题意；
C、添加，不能说明，故本选项不符合题意；
D、添加，可利用SAS说明，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
9．A
解析：A
【分析】先利用一次函数的性质列不等式组求解m的范围，再解分式方程可得结合分式方程的解为非负整数确定m的值，从而可得答案．
【详解】解：∵一次函数y=（m+3）x+m-5的图象不经过第二象限，
解得-3＜m≤5，
解分式方程
∴
整理得：
得，
∵关于x的分式方程有非负整数解，
∴是非负整数且不等于2，
∴m=-1，2，
∵（-1）+2=1，
∴满足条件的所有整数m的和为1，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的性质、分式方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出满足条件的m的值，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答．
10．C
解析：C
【分析】根据三角形的外角性质以及直角三角形两个锐角互余可判断A选项，根据含30度角的直角三角形的性质，即可判断B选项，只有时，C选项才成立，即可作出判断，根据含30度角的直角三角形的性质，设，，分别表示出即可判断D选项．
【详解】解：∠BAC＝60°，O是三条高AD，BE，CF的交点，
，

，
故A成立，不符合题意，
中，，
，
故B成立，不符合题意，
若，
则，
但不一定相等，
故C不一定成立，符合题意，
中，，则，
中，，则，
设，，
，
，
，，
OE＋OF＝，
故D选项成立，不符题意，
故选C
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
11．B
解析：B
【分析】只要证明△BDF≌△CDA，△BAC是等腰三角形，∠DGF＝∠DFG＝67.5°，即可判断①②③④正确，作GM⊥BD于M，只要证明GH＜DG即可判断⑤错误．
【详解】∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC＝∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠A＋∠ABE＝90°，∠ABE＋∠DFB＝90°，
∴∠A＝∠DFB，
∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°，
∴∠DCB＝90°−45°＝45°＝∠DBC，
∴BD＝DC，
在△BDF和△CDA中
，
∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF＝AC，故①正确．
∵∠ABE＝∠EBC＝22.5°，BE⊥AC，
∴∠A＝∠BCA＝67.5°，故③正确，
∴BA＝BC，
∵BE⊥AC，
∴AE＝EC＝AC＝BF，故②正确，
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝45°，
∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，
∵∠BDF＝∠BHG＝90°，
∴∠BGH＝∠BFD＝67.5°，
∴∠DGF＝∠DFG＝67.5°，
∴DG＝DF，故④正确．
作GM⊥AB于M．
∵∠GBM＝∠GBH，GH⊥BC，
∴GH＝GM＜DG，
∴S△DGB＞S△GHB，
∵S△ABE＝S△BCE，
∴S四边形ADGE＜S四边形GHCE．故⑤错误，
∴①②③④正确，
故选B．

【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题
12．1
【分析】根据分式的值为零的条件得到且，解方程即可．
【详解】解：根据分式的值为零的条件得到且，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．
13．（1，2）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【详解】解：点P（1，-2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2）．
故答案为:（1，2）．
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14．A
解析：3
【分析】根据分式的加减运算将右边的分式合并之后，运用待定系数法建立关于A，B的方程组求解即可．
【详解】解：，

，解得：．
故答案为：3．
【点睛】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
15．3
【分析】逆用同底数幂的除法公式即可．
【详解】∵，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查同底数幂的除法逆用，熟记同底数幂相除，底数不变，指数相减是解题的关键．
16．4
【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P为EF和AC的交点时，AP+BP值最小为AC的长为4．
【详解】解：如图：连结BP，CP，
∵EF垂直平分BC，
∴B、C关
解析：4
【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P为EF和AC的交点时，AP+BP值最小为AC的长为4．
【详解】解：如图：连结BP，CP，

∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
∴BP=CP，
∴AP+BP=AP+CP，
根据两点之间相等最短AP+PC≥AC，
∴当点P在AC与EF交点时，AP+BP最小=AC，最小值等于AC的长为4．
故答案为4．
【点睛】本题考查轴对称——最短路线问题的应用，解决此题的关键是能根据想到垂直平分线的性质和两点之间线段最短找出P点的位置．
17．25
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】解：∵多项式是完全平方式，
∴m=25．
故答案为：25．
【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题
解析：25
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】解：∵多项式是完全平方式，
∴m=25．
故答案为：25．
【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
18．【分析】先把已知等式的两边去括号，移项变形，化成 ，利用非负性得到，代入分式即可求值．
【详解】解：，
．
．
，．
，．
原式
．
故答案为：
【点睛】本题考查了分式
解析：
【分析】先把已知等式的两边去括号，移项变形，化成 ，利用非负性得到，代入分式即可求值．
【详解】解：，
．
．
，．
，．
原式

．
故答案为：
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是把已知的等式变性后利用非负性质求得，．
19．5或10##10或5
【分析】分两种情况：①当AP=BC=5时；②当AP=CA=10时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果．
【详解】解：∵AX⊥AC，
∴∠PAQ=9
解析：5或10##10或5
【分析】分两种情况：①当AP=BC=5时；②当AP=CA=10时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果．
【详解】解：∵AX⊥AC，
∴∠PAQ=90°，
∴∠C=∠PAQ=90°，
分两种情况：
①当AP=BC=5时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当AP=CA=10时，
在△ABC和△PQA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；
综上所述：当点P运动到AP=5或10时，△ABC与△APQ全等；
故答案为：5或10．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨论．
三、解答题
20．(1)
(2)
【分析】（1）提取公因数，利用完全平方和公式即可求得；
（2）提取公因数，利用平方差公式即可求得．
(1)
解：
；
(2)
解：
．
【点睛】本题
解析：(1)
(2)
【分析】（1）提取公因数，利用完全平方和公式即可求得；
（2）提取公因数，利用平方差公式即可求得．
(1)
解：

；
(2)
解：

．
【点睛】本题主要考查利用公式以及提取公因数法因式分解，掌握因式分解的方法是解决问题的关键．
2【分析】根据分式方程的解法去分母化为整式方程即可求解．
【详解】，
，
，
，
，
，
．
检验：当时，，
∴原方程的解是．
【点睛】此题主要考查解分式方程，解题的关键是熟知
解析：
【分析】根据分式方程的解法去分母化为整式方程即可求解．
【详解】，
，
，
，
，
，
．
检验：当时，，
∴原方程的解是．
【点睛】此题主要考查解分式方程，解题的关键是熟知分式方程的解法．
22．见解析
【分析】由题意可得∠B=∠C=90°，BF=CE，由“AAS”可证△ABF≌△DCE，可得AF=DE．
【详解】证明：∵AB⊥CB，DC⊥CB，
∴∠B=∠C=90°，
∵BE=CF
解析：见解析
【分析】由题意可得∠B=∠C=90°，BF=CE，由“AAS”可证△ABF≌△DCE，可得AF=DE．
【详解】证明：∵AB⊥CB，DC⊥CB，
∴∠B=∠C=90°，
∵BE=CF，
∴BF=CE，且∠A=∠D，∠B=∠C=90°，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AF=DE，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
23．∠A+∠B＝∠C+∠D； 25°；∠P＝；α+β﹣180°，∠P＝； ；∠P＝；2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
【分析】探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
探索二：根据角平
解析：∠A+∠B＝∠C+∠D； 25°；∠P＝；α+β﹣180°，∠P＝； ；∠P＝；2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
【分析】探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
探索二：根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，结合（1）的结论可得2∠P＝∠B+∠D，再代入计算可求解；
探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案；
应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，利用三角形内角和定理可得∠A＝α+β﹣180°，再运用角平分线定义及三角形外角性质即可求得答案；
应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，利用应用一的结论即可求得答案；
拓展一：运用探索一的结论可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，再结合已知条件即可求得答案；
拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案．
【详解】解：探索一：如图1，

∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；
探索二：如图2，

∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
即2∠P＝∠B+∠D，
∵∠B＝36°，∠D＝14°，
∴∠P＝25°，
故答案为25°；
探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，

由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1，
①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1
∠D+2∠B＝2∠P+∠B．
∴∠P＝．
故答案为：∠P＝．
应用一：如图4，

延长BM、CN，交于点A，
∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，
∴∠AMN＝180°﹣α，∠ANM＝180°﹣β，
∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°；
∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，
∵∠PCD＝∠P+∠PBC，
∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝，
故答案为：α+β﹣180°，；
应用二：如图5，

延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，
∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，
∴∠A＝180°﹣α﹣β，
∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR，
∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，
由应用一得：∠P＝∠A＝，
故答案为：；
拓展一：如图6，

由探索一可得：
∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，
∵∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，
∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y，
∠PAB＝∠CAB，∠PDB＝∠CDB，
∴∠P+∠CAB＝∠B+∠CDB，∠P+∠CDB＝∠C+∠CAB，
∴2∠P＝∠C+∠B+（∠CDB﹣∠CAB）＝x+y+（x﹣y）＝，
∴∠P＝，
故答案为：∠P＝；
拓展二：如图7，

∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，
∴∠PAD＝∠BAD，∠PCD＝90°+∠BCD，
由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD，
③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°，
∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，
故答案为：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
【点睛】本题是探究性题目，考查了三角形的相关计算、三角形内角和定理、角平分线性质、三角形外角的性质等，此类题目遵循题目顺序，结合相关性质和定理，逐步证明求解即可．
24．(1)x-2；
(2)甲商品的进价每个8元，乙商品的进价每个10元．
【分析】（1）根据数量关系：每个甲商品的进价=每个乙商品的进价-2即可表示甲商品的进价；
（2）根据等量关系用80元购进甲
解析：(1)x-2；
(2)甲商品的进价每个8元，乙商品的进价每个10元．
【分析】（1）根据数量关系：每个甲商品的进价=每个乙商品的进价-2即可表示甲商品的进价；
（2）根据等量关系用80元购进甲商品的数量=用100元购进乙商品的数量列分式方程求解即可．
（1）解：∵每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，∴每个甲商品的进价=每个乙商品的进价-2即可表示甲商品的进价，∵设每个乙商品的进价为x元，∴每个甲商品的进价为（x-2）元，故答案为：x-2；
（2）解：由每个乙商品的进价为x元，得每个甲商品的进价为（x-2）元，则， ，∴，经检验x=10是原方程的解，∴原方程的解为x=10，当x=10时，x-2=8，答：甲商品的进价每个8元，乙商品的进价每个10元．
【点睛】本题主要考查了列代数式及分式方程的应用，找出等量关系列分式方程求解是解本题的关键．
25．（1），2；（2）；（3）当时，代数式的最小值为2019.
【分析】（1）根据阅读材料即可得出结论；
（2）根据阅读材料介绍的方法即可得出结论；
（3）把已知代数式变为，再利用阅读材料介绍的方
解析：（1），2；（2）；（3）当时，代数式的最小值为2019.
【分析】（1）根据阅读材料即可得出结论；
（2）根据阅读材料介绍的方法即可得出结论；
（3）把已知代数式变为，再利用阅读材料介绍的方法，即可得到结论．
【详解】（1）∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）当x时，，均为正数，
∴
所以，的最小值为．
（3）当x时，，，2x-6均为正数，
∴

由可知，当且仅当时，取最小值，
∴当，即时，有最小值．
∵x
故当时，代数式的最小值为2019．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，解答本题的关键是理解阅读材料所介绍的方法．
26．(1)见解析
(2)见解析
(3)8
【分析】（1）如图1中，作DH⊥AB于H．证明△ADC≌△ADH即可解决问题．
（2）如图2中，过点C作CM⊥CE交AD的延长线于M，连接BM．证明△A
解析：(1)见解析
(2)见解析
(3)8
【分析】（1）如图1中，作DH⊥AB于H．证明△ADC≌△ADH即可解决问题．
（2）如图2中，过点C作CM⊥CE交AD的延长线于M，连接BM．证明△ACE≌△BCM（SAS），推出AE=BM，再利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．
（3）如图3中，作CH⊥MN于H．证明得到，进一步证明即可解决问题．
(1)
证明：如图1中，作DH⊥AB于H．

∵∠ACD＝∠AHD＝90°，AD＝AD，∠DAC＝∠DAH，
∴△ADC≌△ADH（ASA），
∴AC＝AH，DC＝DH，
∵CA＝CB，∠C＝90°，
∴∠B＝45°，
∵∠DHB＝90°，
∴∠HDB＝∠B＝45°，
∴HD＝HB，
∴BH＝CD，
∴AB＝AH+BH＝AC+CD．
(2)
如图2中，作CM⊥CE交AD的延长线于M，连接BM．

，
，
，
，
，
∵∠ACB＝∠ECM＝90°，
，
，
∵CA＝CB，CE＝CM，
∴△ACE≌△BCM（SAS），
∴AE＝BM，
∵在Rt△EMB中，∠MEB＝30°，
∴BE＝2BM＝2AE．
(3)
解：如图3中，作CH⊥MN于H．

，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
是的中线，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
27．（1）， ；（2）， ；（3）．
【分析】（1）先判断出，再判定，再判断，
（2）先判断出，再得到同理（1）可得结论；
（3）先判断出，再判断出，最后计算即可．
【详解】解：（1）与的位置关
解析：（1）， ；（2）， ；（3）．
【分析】（1）先判断出，再判定，再判断，
（2）先判断出，再得到同理（1）可得结论；
（3）先判断出，再判断出，最后计算即可．
【详解】解：（1）与的位置关系是：，数量关系是．
理由如下：
如图1，延长交于点．

于，
．
，，
，
，，．
，
．
AE⊥BC
∴，
，
．
（2）与的位置关系是：，数量关系是．
如图，线段AC与线段BD交于点F，线段AE与线段BD交于点G，

，
，
即．
，，
，
，．
AE⊥BC
∴，
又∵
，
．
（3）如图，线段AC与线段BD交于点F，

和是等边三角形，
，，，，
，
，
在和中，

，
∴，
，

与的夹角度数为．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，判断垂直的方法，解本题的关键是判断．