八年级期末试卷同步检测(Word版含答案).doc

八年级期末试卷同步检测（Word版含答案）
一、选择题
1．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣3 B．x≥﹣3 C．x≤﹣3 D．x＞﹣3
2．以下列各组线段为边作三角形，不能作出直角三角形的是（ ）
A．1，2， B．6，8，10 C．3，7，8 D．0.3，0.4，0.5
3．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠B＝∠C；∠A＝∠D
C．AB＝CD，CB＝AD D．AB＝AD，CD＝BC
4．小明和小兵两人参加了5次体育项目训练，其中小明5次训练测试的成绩分别为11、13、11、12、13；小兵5次训练测试成绩的平均分为12，方差为7.6．关于小明和小兵5次训练测试的成绩，则下列说法不正确的是（ ）
A．两人测试成绩的平均分相等 B．小兵测试成绩的方差大
C．小兵测试的成绩更稳定些 D．小明测试的成绩更稳定些
5．如图, 的每个顶点都在边长为的正方形格点上，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
6．如图，在菱形ABCD中，，则（ ）

A． B． C． D．
7．如图，边长为的正方形，剪去四个角后成为一个正八边形，则这个正八边形的边长为（ ）

A．0 B． C．1 D．
8．正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点，…和点，…分别在直线和轴上．则点的纵坐标是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________．
10．如图，菱形中，为对角线，，，点为边上一点，则阴影部分的面积为______．

11．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝4，大正方形的面积为16，则小正方形的边长为______．

12．如图，在矩形中，对角线、BD交于点O，已知，，则该矩形的周长是______．

13．在平面直角坐标系，，，点M在直线上，M在第一象限，且，则点M的坐标为____．

14．如图，在中，，，当________时，四边形是菱形．

15．如图①，在平面直角坐标系中，等腰在第一象限，且轴．直线从原点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图②所示，那么的面积为__________．

16．一条笔直的公路上顺次有三地，小军早晨从地出发沿这条公路骑自行车前往地，同时小林从地出发沿这条公路骑摩托车前往地，小林到地后休息了 个小时， 然后掉头原路原速返回追赶小军，经过一段时间后两人同时到达地，设两人行驶的时间为 (小时)，两人之间的距离为 (千米)， 与之间的函数图像如图所示，下列说法：①小林与小军的速度之比为；②时，小林到达地；③时，小林与小军同时到达C地；④两地相距千米，其中正确的有_________（只填序号）

三、解答题
17．计算：
（1）（1＋）（2﹣）；
（2）（＋）×；
（3）＋3＋；
（4）＋．
18．一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行千米，接着它又掉头向正东方向航行千米．
（1）此时轮船离出发点多少千米？
（2）若轮船每航行千米需耗油升，那么在此过程中轮船共耗油多少升？
19．如图①，图②，图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B两点均在格点上，在给定的网格中，按下列要求画图：

（1）在图①中，画出以AB为底边的等腰△ABC，并且点C为格点．
（2）在图②中，画出以AB为腰的等腰△ABD，并且点D为格点．
（3）在图③中，画出以AB为腰的等腰△ABE，并且点E为格点，所画的△ABE与图②中所画的△ABD不全等．
20．如图，∠A=∠B=40°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α．

（1）求证：APMBPN；
（2）当α等于多少度时，以A、M、B、N为顶点的四边形是菱形？
21．在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：
∵，
∴．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：
（1）试化简和；
（2）化简；
（3）若，求4a2﹣8a+1的值．
22．某学校欲购置一批标价为4800元的某种型号电脑，需求数量在6至15台之间．经与两个专卖店商谈，优惠方法如下：
甲店：购买电脑打八折；
乙店：先赠一台电脑，其余电脑打九折优惠．
设学校欲购置x台电脑，甲店购买费用为y甲（元），乙店购买费用为y乙（元）．
（1）分别写出购买费用y甲、y乙与所购电脑x（台）之间的函数关系式；
（2）对x的取值情况进行分析，说明这所学校购买哪家电脑更合算？
23．如图，正方形ABCD的顶点C处有一等腰直角三角形CEP，∠PEC＝90°，连接AP，BE．
（1）若点E在BC上时，如图1，线段AP和BE之间的数量关系是 　 　；
（2）若将图1中的△CEP顺时针旋转使P点落在CD上，如图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）在（2）的基础上延长AP，BE交于F点，若DP＝PC＝2，求BF的长．

24．如图所示，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点、．以为边在第一象限内作等腰，且，．过作轴于．的垂直平分线交与点，交轴于点．

（1）求点的坐标；
（2）在直线上有点，且点与点位于直线的同侧，使得，求点的坐标．
（3）在（2）的条件下，连接，判断的形状，并给予证明．
25．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点C、E、F、G按逆时针排列），连接BF.

（1）如图1,当点E与点D重合时，BF的长为 ；
（2）如图2，当点E在线段AD上时，若AE=1，求BF的长；（提示：过点F作BC的垂线，交BC的延长线于点M，交AD的延长线于点N.）
（3）当点E在直线AD上时，若AE=4，请直接写出BF的长.
【参考答案】
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件结合分式有意义的条件分析得出答案．
【详解】
解：二次根式在实数范围内有意义，则且，
解得：．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，解题的关键是正确把握相关有意义的条件．
2．C
解析：C
【分析】
先求出两小边的平方和，再求出最大边的平方，看看是否相等即可．
【详解】
解：A、∵，
∴以1，2，为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵62+82=36+64=100=102，
∴以6，8，10为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵32+72=9+49=58≠82，
∴以3，7，8为边的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵0.32+0.42=0.09+0,16=0.25=0.52，
∴以0.3，0.4，0.5为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
平行四边形的判定定理①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，判断即可．
【详解】
解：A、根据AD∥CD，AD＝BC不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
B、根据∠B＝∠C，∠A＝∠D不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
C、根据AB＝CD，AD＝BC，得出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；
D、根据AB＝AD，BC＝CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，关键是能熟练地运用平行四边形的判定定理进行推理，此题是一道比较容易出错的题目．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
先计算出小明5次训练测试成绩的平均分和方差，再与小兵5次训练测试成绩的平均分和方差进行比较即可得出结论．
【详解】
解：小明5次训练测试成绩的平均分为（分）；
小明5次训练测试成绩的方差为：(分2)
∴
∴两人的平均成绩一样好，小兵的方差大，
∴小明测试的成绩更稳定些
故选：C．
【点睛】
本题考查了方差的意义．方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
5．B
解析：B
【分析】
直接根据格点，运用勾股定理求出三边长，再根据勾股定理的逆定理确定△ABC的形状，即可求解.
【详解】
解：根据勾股定理可得：

∴AB=AC，AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°,
∴∠ABC=45°.
故选：B.
【点睛】
本题考查正方形格点中勾股定理及逆定理的运用，勾股定理及逆定理是解答此题的关键知识点.
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据菱形的四条边都相等可得AB=BC，然后判断出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质解答．
【详解】
解：在菱形ABCD中，AB=BC，
∵AC=AB，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，主要利用了菱形的四条边都相等的性质，熟记性质并判断出△ABC是等边三角形是解题的关键．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
设正八边形的边长为x，表示出剪掉的等腰直角三角形的直角边，再根据正方形的边长列出方程求解即可．
【详解】
解：设正八边形的边长为x，
则剪掉的等腰直角三角形的直角边为x，
∵正方形的边长为2＋，
∴x＋x＋x＝2＋，
解得x＝=，
∴正八边形的边长为，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，读懂题目信息，根据正方形的边长列出方程是解题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
先根据一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质确定点A1，A 2，A3，A4，A5进而确定C1，C 2，C3，C4，C5的坐标并总结出点Cn的纵坐标的规律为2n-1（n为正整数），将n=2030代入即可解答．
【详解】
解：由题意可知，A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8， A1和C1，A2和C2，A3和C3，A4和C4的纵坐标相同，
∴C1，C2，C3，C4，,C5,…Cn的纵坐标分别为1，2，4，8，16，…2n-1
∴的纵坐标为22020-1=22019．
故答案为B．
【点睛】
本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、正方形的性质以及找规律，找出Cn点纵坐标的规律为2n-1（n为正整数）是解答本题的关键．
二、填空题
9．
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】
解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
10．A
解析：
【解析】
【分析】
取对角线的交点为，根据菱形的性质及三角形面积的计算公式可知阴影部分的面积为面积的两倍．
【详解】
解：取对角线的交点为，过点作的垂线，交分别于点，如图所示：

根据菱形的性质及三角形面积的计算知，
阴影部分的面积为，∠AOB=90°，
，
，
，
，
即，
故阴影部分的面积为，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、勾股定理、三角形面积求法，解题的关键是：利用转换的思想来解答．
11．
【解析】
【分析】
由题意可知：中间小正方形的边长为a-b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【详解】
解：由题意可知：中间小正方形的边长为a-b，
∵每一个直角三角形的面积为:ab=×4=2,
∴4ab+ =16，
∴=16-8=8，
∴a-b=2，
故答案为:2．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式,本题属于基础题型．
12．B
解析：28
【分析】
先求出BD，再根据勾股定理求出AB，即可求矩形的周长．
【详解】
解：∵四边形是矩形，
∴∠BAD=90°，OD=OB=5，即BD=10，
∴，
矩形的周长为，
故答案为：28．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和勾股定理，解题关键是熟练运用勾股定理求出矩形的边长．
13．
【分析】
过点 作 于点 交直线 于点 ，可求出直线的解析式为 ，然后设点 的坐标为 ，其中 ，则 ，从而得到，最后根据，可得到，解出 ，即可求解．
【详解】
解：如图，过点 作 于点 交直线 于点 ，

设直线的解析式为 ，
把，，代入得：
，解得： ，
∴直线的解析式为 ，
∵点M在直线上，M在第一象限，
设点 的坐标为 ，其中 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，求一次函数解析式，运用数形结合思想，通过设点的坐标利用三角形的面积构造方程是解题的关键．
14．A
解析：16
【分析】
当四边形ABCD为菱形时，则有AC⊥BD，设AC、BD交于点O，结合平行四边形的性质可得AO＝6，AB＝10，利用勾股定理可求得BO，则可求得BD的长．
【详解】
解：如图，设AC、BD交于点O，

当四边形ABCD为菱形时，则AC⊥BD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝AC＝6，且AB＝10，
∴在Rt△AOB中，BO，
∴BD＝2BO＝16，
故答案为：16．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解题的关键．
15．2
【分析】
过点作于，设经过点时，与的交点为，根据函数图像，找到经过点和经过点的函数值分别求得，由与轴的夹角为45°，根据勾股定理求得，根据等腰三角的性质求得，进而求得三角形的面积．
【详解】
如
解析：2
【分析】
过点作于，设经过点时，与的交点为，根据函数图像，找到经过点和经过点的函数值分别求得，由与轴的夹角为45°，根据勾股定理求得，根据等腰三角的性质求得，进而求得三角形的面积．
【详解】
如图①，过点作于

由图②可知，当直线平移经过点时，；
随着平移，的值增大；
如图，当经过点时，与的交点为，如图

此时，则，
，与轴的夹角为45°，

为等腰直角三角形，
即

是等腰三角形
，

故答案为：2．
【点睛】
本题考查了一次函数图像的平移，等腰三角形的性质，勾股定理，从函数图像上获取信息，及掌握与轴的夹角为45°是解题的关键．
16．②④
【分析】
根据第一段图像可求得两人的速度和，结合第二段图像可求得小林的速度，进而可得小军的速度，由此可判断①；根据“时间＝路程÷速度”可判断②；根据“时间＝路程差÷速度差”可判断③、④．
【详
解析：②④
【分析】
根据第一段图像可求得两人的速度和，结合第二段图像可求得小林的速度，进而可得小军的速度，由此可判断①；根据“时间＝路程÷速度”可判断②；根据“时间＝路程差÷速度差”可判断③、④．
【详解】
解：由题意可得v林＋v军＝300÷3＝100（千米/小时）
200÷100＝2（小时）
则v林＝300÷（2＋3）＝60（千米/小时）
v军＝100－60＝40（千米/小时）
∴v林:v军＝60:40＝3:2，
∴①错误；
∵300÷60＝5（小时）
5＋5＝10，
∴②正确；
∵40×（3＋2＋1）＝240（千米）
240÷（60－40）＝12（小时）
5＋3＋2＋1＋12＝23
∴小林和小军在23:00到达C地，
∴③错误；
∵12×60－300＝420，
∴④正确．
故答案为：②④．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，理解函数图象上点的实际意义是解决本题的关键．
三、解答题
17．（1）－1+（2）（3）（4）0
【分析】
(1)利用多项式乘以多项式展开，然后合并即可；
(2)把二次根式相乘化为最简二次根式即可；
(3)把二次根式化为最简二次根式即可；
(4)先把二次根式化为
解析：（1）－1+（2）（3）（4）0
【分析】
(1)利用多项式乘以多项式展开，然后合并即可；
(2)把二次根式相乘化为最简二次根式即可；
(3)把二次根式化为最简二次根式即可；
(4)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【详解】
解：（1）（1＋）（2﹣）
=2-+2-3，
=－1+
（2）（＋）×
=，
=
（3）
=
（4）
=
=
=0
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，要结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．
18．（1）17千米；（2）9.2升
【分析】
（1）根据题意画出航行图，然后利用勾股定理求解即可；
（2）根据轮船航行的距离以及轮船每航行1千米需耗油0.4升进行求解即可．
【详解】
解：（1）如图所示
解析：（1）17千米；（2）9.2升
【分析】
（1）根据题意画出航行图，然后利用勾股定理求解即可；
（2）根据轮船航行的距离以及轮船每航行1千米需耗油0.4升进行求解即可．
【详解】
解：（1）如图所示，O为轮船出发点，A为轮船掉头的地点，B是轮船掉头后向正东方向航行15千米后的地点
∵一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8千米，接着它又掉头向正东方向航行15千米，
∴OA=8千米，AB=15千米，∠BAO=90°，
∴千米，
∴此时轮船离出发点17千米，
答：此时轮船离出发点17千米；
（2）由题意得在此过程中轮船共耗油升，
答：在此过程中轮船共耗油9.2升．

【点睛】
本题主要考查了勾股定理在航海中的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理．
19．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理AB=，以AB为底等腰直角三角形，两直角边为x, 根据勾股定理求出,找横1竖2个格，或横2竖1个格画线即可；
（2）
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理AB=，以AB为底等腰直角三角形，两直角边为x, 根据勾股定理求出,找横1竖2个格，或横2竖1个格画线即可；
（2）以AB=为腰的等腰△ABD，AB=AD,以点A为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格画线；如图△ABD； AB=BD,以点B为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格画线；如图△ABD．
（3）以AB=为腰的等腰△ABD，AB=BE,以点B为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格；如图△ABE．AB=AE,以点A为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格；所画的△ABE与图②中所画的△ABD不同即可．
【详解】
解：（1）∵根据勾股定理AB=，以AB为底等腰直角三角形，两直角边为x, 根据勾股定理，解得,横1竖2，或横2竖1个画线；如图△ABC；

（2）以AB=为腰的等腰△ABD，AB=AD,以点A为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格画线；如图△ABD；AB=BD,以点B为起点找横1竖3个格画线，或横3竖1个格；如图△ABD；

（3）以AB=为腰的等腰△ABD，AB=BE,以点B为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格；如图△ABE．AB=AE,以点A为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格；所画的△ABE与图②中所画的△ABD不全等．

【点睛】
本题考查网格作图，掌握网格作图方法与勾股定理，利用勾股定理确定腰长构造直角三角形是解题关键．
20．（1）见解析；（2）90°
【分析】
（1）利用判定定理进行证明即可；
（2）根据（1）能得出对角线互相平分，得出是平行四边形，即当∠BPN=90°时，AB⊥MN，以A、M、B、N为顶点的四边形是菱
解析：（1）见解析；（2）90°
【分析】
（1）利用判定定理进行证明即可；
（2）根据（1）能得出对角线互相平分，得出是平行四边形，即当∠BPN=90°时，AB⊥MN，以A、M、B、N为顶点的四边形是菱形．
【详解】
（1）证明：P为AB中点，
PA=PB，
在△APM和△BPN中，，
△APM△BPN；
(2)连接MB、NA，

由(1)知△APM△BPN，
PM=PN，
PA=PB，
四边形MBNA为平行四边形，
当∠BPN=90°时，AB⊥MN，
四边形AMBN为菱形．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定及性质、菱形的判定，解题的关键是掌握相关的判定定理．
21．（1），；（2）；（3）5
【解析】
【分析】
（1）利用分母有理化计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先将a的值化简为，进而可得到，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解
解析：（1），；（2）；（3）5
【解析】
【分析】
（1）利用分母有理化计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先将a的值化简为，进而可得到，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：（1），
，
故答案为：，；
（2）原式

；
（3），
，
，
即．
．

．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
22．（1），y甲＝3840x（6≤x≤15）；y乙＝4320x﹣4320（6≤x≤15）；（2）当购买9台电脑时，到两家商店购买费用相同；当10≤x≤15时，到甲商店更合算；当6≤x≤8时，到乙商店更合
解析：（1），y甲＝3840x（6≤x≤15）；y乙＝4320x﹣4320（6≤x≤15）；（2）当购买9台电脑时，到两家商店购买费用相同；当10≤x≤15时，到甲商店更合算；当6≤x≤8时，到乙商店更合算
【分析】
（1）根据两家电脑商的优惠方法可得y甲（元），乙店购买费用为y乙（元）；
（2）根据（1）的结论列方程或不等式解答即可．
【详解】
解：（1）由题意可得：y甲＝4800×0.8x＝3840x（6≤x≤15）；
y乙＝4800×0.9（x﹣1）＝4320x﹣4320（6≤x≤15）；
（2）当3840x＝4320x﹣4320时，
解得x＝9，
即当购买9台电脑时，到两家商店购买费用相同；
当3840x＜4320x﹣4320时，
解得x＞9，
即当10≤x≤15时，到甲商店更合算；
当3840x＞4320x﹣4320时，
解得x＜9，
即当6≤x≤8时，到乙商店更合算．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家电脑商的优惠方法并表示出y甲、y乙与所购电脑x（台）之间的函数关系式是解题的关键．
23．（1）AP=BE；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】
（1）首先说明A，P，C三点共线，设正方形ABCD的边长为1，CE=x，根据正方形和等腰直角三角形的性质求出AP和BE的长，即可判断；
（
解析：（1）AP=BE；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】
（1）首先说明A，P，C三点共线，设正方形ABCD的边长为1，CE=x，根据正方形和等腰直角三角形的性质求出AP和BE的长，即可判断；
（2）过点B作BH⊥BE，且BH=BE，连接AH，EH，证明△ABH≌△BEC，得到AH=EC=PE，∠AHB=∠CEB，从而证明四边形AHEP是平行四边形，同理可得AP=EH=BE；
（3）过B，D分别作AF的垂线，垂足为K，M，证明△ABK≌△DAM，得到BK=AM，求出AP，在△ADP中利用面积法求出DM，可得AM和BK，再利用勾股定理求出BF即可．
【详解】
解：（1）∵点E在BC上，△PEC为等腰直角三角形，
∴PE=CE，∠PCE=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
∴A，P，C三点共线，设正方形ABCD的边长为1，CE=x，
∴PE=x，PC=x，AC=，
∴AP=AC-PC=，BE=BC-CE=1-x，
∴AP=BE；
（2）成立，
如图，过点B作BH⊥BE，且BH=BE，连接AH，EH，

∵∠ABC=∠EBH=90°，
∴∠CBE+∠ABE=∠ABH+∠ABE=90°，
∴∠CBE=∠ABH，
又∵BH=BE，AB=BC，
∴△ABH≌△BEC（SAS），
∴AH=EC=PE，∠AHB=∠CEB，
∴∠AHE=∠AHB-∠EHB=∠CEB-45°，
∵∠HEP=360°-∠CEB-∠HEB-∠CEP
=360°-∠CEB-45°-90°
=225°-∠CEB，
∴∠AHE+∠HEP=∠CEB-45°+225°-∠CEB=180°，
∴AH∥PE，
∴四边形AHEP是平行四边形，
∴AP=EH=BE；
（3）如图，过B，D分别作AF的垂线，垂足为K，M，

∵∠BAD=∠BAK+∠DAM=90°，∠ABK+∠BAK=90°，
∴∠ABK=∠DAM，
又∵AB=AD，∠AKB=∠AMD=90°，
∴△ABK≌△DAM（AAS），
∴BK=AM，
∵四边形ABCD是正方形，DP=PC=2，
∴AD=CD=4，∠AHE=90°，
∴AP=，
∴S△ADP=，
∴，
∴，
∴AM=，
由（2）可知：△EBH为等腰直角三角形，HE∥AP，
∴∠KBF=∠HBE=45°，
∴∠F=45°，
∴BF==．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
24．（1）；（2）；（3）等腰直角三角形，证明见详解.
【解析】
【分析】
（1）证，，.
（2）由可知作的一半的面积与相等，可作一条过AC的中点的平行于AB的直线将会交于M点，证， ，.
（3）E、G
解析：（1）；（2）；（3）等腰直角三角形，证明见详解.
【解析】
【分析】
（1）证，，.
（2）由可知作的一半的面积与相等，可作一条过AC的中点的平行于AB的直线将会交于M点，证， ，.
（3）E、G分别为的中点，知，，，为矩形，,，，可判断，即可得的形状.
【详解】
（1）∵的图象与轴、轴分别交于点、,
∴可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴；
∴，；
∴；
∴
（2）如下图作一条过AC的中点H点的平行于AB的直线将会交于一点，由A、C点可得H点坐标，
∵，
∴，
∴与的高相等，即过H点的平行于AB的直线将会交于M点
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
如下图过H点作的垂线交于I点，，得，，
在与中，
，
∴；
∴，
∴；
∴
（3）∵E、G分别为的中点，
∴，
∵，
∴为矩形；
∴，,
∵，，，
∴,，得，
∴为等腰直角三角形；

【点睛】
一次函数、三角形全等证明、矩形证明这些跨章节知识点的应用，需要对知识的
融会贯通.
25．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）利用勾股定理即可求出.
（2）过点F作FH⊥AD交AD于的延长线于点H，作FM⊥AB于点M，证出，进而求得MF，BM的长，再利用勾股定理，即可求得.
（3）分
解析：（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）利用勾股定理即可求出.
（2）过点F作FH⊥AD交AD于的延长线于点H，作FM⊥AB于点M，证出，进而求得MF，BM的长，再利用勾股定理，即可求得.
（3）分两种情况讨论，同（2）证得三角形全等，再利用勾股定理即可求得.
【详解】
（1）由勾股定理得：
（2）过点F作FH⊥AD交AD于的延长线于点H，作FM⊥AB于点M，如图2所示：

则FM=AH，AM=FH
∵四边形CEFG是正方形 ∴EC=EF,∠FEC=90° ∴∠DEC+∠FEH=90°，
又∵四边形是正方形 ∴∠ADC=90° ∴∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ECD=∠FEH
又∵∠EDC=∠FHE=90°，∴ ∴FH=ED EH=CD=3
∵AD=3,AE=1,ED=AD-AE=3-1=2,∴FH=ED=2
∴MF=AH=1+3=4，MB=FH+CD=2+3=5
在Rt△BFM中，BF=
（3）分两种情况：
①当点E在边AD的左侧时，过点F作FM⊥BC交BC的反向延长线于点M，交DE于点N.如图3所示：

同（2）得：
∴EN=CD=3，FN=ED=7
∵AE=4∴AN=AE-EN=4-3=1
∴MB=AN=1 FM=FN+NM=7+3=10
在中
由勾股定理得：
②当点E在边AD的右侧时，过点F作FN⊥AD交AD的延长线于点N，交BC延长线于M，如图4所示：

同理得：
∴NF=DE=1，EN=CD=3
∴FM=3-1=2，CM=DN=DE+EN=1+3=4
∴BM=CB+CM=3+4=7
在中
由勾股定理得：
故BF的长为
【点睛】
本题为考查三角形全等和勾股定理的综合题，难点在于根据E点位置的变化，画出图形，注意（3）分情况讨论，难度较大，属压轴题，熟练掌握三角形全等的性质和判定以及勾股定理的运用是解题关键.