15.2-线段的垂直平分线.ppt

第第15章章 轴对轴对称称图图形与等腰三角形形与等腰三角形第第2节节 线段的垂直平分线线段的垂直平分线课堂讲解课堂讲解课时流程课时流程12u线线段垂直平分段垂直平分线线的画法的画法u线线段垂直平分段垂直平分线线的性的性质质u线线段垂直平分段垂直平分线线的判定的判定逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结课后课后作业作业1知识点线段垂直平分线的画法知知1 1讲讲怎样作出线段的垂直平分线怎样作出线段的垂直平分线?问问 题题知知1 1讲讲通过折纸可以作出线段的垂直平分线通过折纸可以作出线段的垂直平分线.在半透在半透明纸上画一条线段明纸上画一条线段AA，折纸，使，折纸，使A与与A重合，得重合，得到的折痕到的折痕l是线段是线段 AA的垂直平分线（如图的垂直平分线（如图).步骤步骤1步骤步骤2步骤步骤3知知1 1讲讲 也可以用刻度尺量出线段的中点，再也可以用刻度尺量出线段的中点，再用三角尺过中点画垂线的方法作出线段的用三角尺过中点画垂线的方法作出线段的垂直平分线垂直平分线.知知1 1讲讲下面介绍用尺规作图，作出线段下面介绍用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线的垂直平分线.作法：作法：1.分别以点分别以点A，B为圆心，大于为圆心，大于交于点交于点E，F.2.过点过点E，F作直线作直线.则直线则直线EF就是线段就是线段AB的垂直的垂直平分线（如图平分线（如图).2知识点线段垂直平分线的性质知知2 2讲讲思考思考 为什么这样作出的直线为什么这样作出的直线EF，就是线段，就是线段AB的垂的垂直平分线呢？设所作直线直平分线呢？设所作直线EF交交AB于点于点O，你能给你能给出证明吗？出证明吗？知知2 2讲讲线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线的性质：1.定理：定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；相等；条件：条件：点在线段的垂直平分线上；点在线段的垂直平分线上；结论：结论：这个点到线段这个点到线段两端两端的距离相等的距离相等 表达方式：如图，表达方式：如图，lAB，AOBO，点点P在在l上，则上，则APBP.2.作用：作用：可用来证明两线段相等可用来证明两线段相等（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）例例1 (山东临沂山东临沂)如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，AC垂垂直平分直平分BD，垂足为垂足为E，下列结论不一定成，下列结论不一定成立的是立的是()AABADBCA平分平分BCDCABBD DBECDECC知知2 2讲讲导引：导引：根据线段垂直平分线的性质得出根据线段垂直平分线的性质得出AB与与AD的的关系，结合三角形全等对四个选项进行逐一关系，结合三角形全等对四个选项进行逐一验证验证AC垂直平分垂直平分BD，ABAD，BCDC，又又ACAC，ABCADC，BCADCA.又又BCDC，CECE，BECDEC，选项选项A，B，D成立成立知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）总 结平面几何图形问题的解决方法：平面几何图形问题的解决方法：分析图形，结分析图形，结合已知条件对基本图形的形状进行判定是常用的方合已知条件对基本图形的形状进行判定是常用的方法，然后再根据具体图形的性质作出判断即可法，然后再根据具体图形的性质作出判断即可 知知2 2讲讲例例2 如图，在如图，在ABC中，中，AC5，AB的垂直平分线的垂直平分线DE交交AB，AC于点于点E，D，(1)若若BCD的周长为的周长为8，求，求BC的长；的长；(2)若若BC4，求，求BCD的周长的周长知知2 2讲讲导引：导引：由由DE是是AB的垂直平分线，得的垂直平分线，得ADBD，所以所以BD与与CD的长度和等于的长度和等于AC的长，所的长，所以由以由BCD的周长可求的周长可求BC的长，同样由的长，同样由BC的长也可求的长也可求BCD的周长的周长知知2 2讲讲解：解：DE是是AB的垂直平分线，的垂直平分线，ADBD，BDCDADCDAC5.(1)BCD的周长为的周长为8，BCBCD的周长的周长(BDCD)853.(2)BC4，BCD的周长的周长BCBDCD549.（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）总 结本题运用了本题运用了转化思想转化思想，用线段垂直平分线的，用线段垂直平分线的性质把性质把BD的长转化成的长转化成AD的长，从而把未知的的长，从而把未知的BD与与CD的长度和转化成已知的线段的长度和转化成已知的线段AC的长本题中的长本题中AC的长、的长、BC的长及的长及BCD的周长三者可互相转的周长三者可互相转化，知其二可求第三者化，知其二可求第三者 知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）例例3 如图，在如图，在ABC中，中，A40，B90，线，线段段AC的垂直平分线的垂直平分线MN与与AB交于点交于点D，与，与AC交交于点于点E，则，则BCD的度数是的度数是_10知知2 2讲讲导引：导引：在在ABC中，中，B90，A40，ACB50.MN是线段是线段AC的垂直平分线，的垂直平分线，DCDA，AECE.又又DEDE，ADECDE(SSS)，DCEA40.BCDACBDCA504010.知知2 2讲讲总 结利用线段的垂直平分线的性质和定义得出边利用线段的垂直平分线的性质和定义得出边相等，从而得出三角形全等，再利用全等三角形相等，从而得出三角形全等，再利用全等三角形中对应角相等确定中对应角相等确定DCA的度数，根据角度差解的度数，根据角度差解决问题决问题（来自（来自点拨点拨）知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）1(中考中考义乌义乌)如图，直线如图，直线CD是线段是线段AB的垂直平分线，的垂直平分线，P为直线为直线CD上的一点，已知线段上的一点，已知线段PA5，则线段，则线段PB的长度为的长度为()A6 B5 C4 D3B知知2 2练练(中考中考临沂临沂)如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，AC垂直平垂直平分分BD，垂足为，垂足为E，下列结论不一定成立的是，下列结论不一定成立的是()AABAD BCA平分平分BCD CABBD DBECDEC2（来自（来自典中点典中点）C知知2 2练练3(中考中考遂宁遂宁)如图，在如图，在ABC中，中，AC4 cm，线段，线段AB的垂直平分线交的垂直平分线交AC于点于点N，若，若BCN的周长是的周长是7 cm，则，则BC的长为的长为()A1 cm B2 cm C3 cm D4 cm（来自（来自典中点典中点）C知知2 2练练(中考中考荆州荆州)如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，AB的垂直平分线交边的垂直平分线交边AB于于D点，交边点，交边AC于于E点，若点，若ABC与与EBC的周长分别是的周长分别是40 cm，24 cm，则，则AB_4（来自（来自典中点典中点）16cm3知识点线段垂直平分线的判定知知3 3讲讲思考思考 你能写出上面定理的逆命题吗？它是真你能写出上面定理的逆命题吗？它是真命题命题 吗？如果是真命题，请给出证明吗？如果是真命题，请给出证明.知知3 3讲讲线段的垂直平分线的判定：线段的垂直平分线的判定：1定理：定理：到线段两端到线段两端距离相等距离相等的点在线段的垂直平的点在线段的垂直平分线上分线上 (1)条件：条件：点到线段两端距离相等；点到线段两端距离相等；结论：结论：点在线段垂直平分线上点在线段垂直平分线上 (2)表达方式：表达方式：如图，如图，PAPB，点点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上知知3 3讲讲 (3)作用：作用：作线段的垂直平分线的依据；作线段的垂直平分线的依据；可用来证线段垂直、相等可用来证线段垂直、相等2拓展：拓展：三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三角形的三个顶点的距离相等，这个点叫三角形的三个顶点的距离相等，这个点叫这个三角形的外心这个三角形的外心（来自（来自点拨点拨）知知3 3讲讲例例4 如图，在如图，在ABC中，中，ACB90，AD平分平分BAC，DEAB于于E.求证：直线求证：直线AD是是CE的垂直的垂直平分线平分线导引：导引：根据角平分线的定义可得根据角平分线的定义可得BADCAD，结合已知条件可证，结合已知条件可证ADEADC，所以，所以DEDC，AEAC，所以，所以点点D、A都在都在CE的垂直平分线上，从而就能证明的垂直平分线上，从而就能证明结论结论知知3 3讲讲证明：证明：AD平分平分BAC，BADCAD.ACB90，DEAB，AEDACB90.又又ADAD，ADEADC，CDDE，ACAE，点点D、A都在都在CE的垂直平分线上，的垂直平分线上，直线直线AD是是CE的垂直平分线的垂直平分线（来自（来自点拨点拨）知知3 3讲讲总 结利用判定定理证一条直线是线段的垂直平分线，必须证利用判定定理证一条直线是线段的垂直平分线，必须证明这条直线上有两点到线段两端的距离相等明这条直线上有两点到线段两端的距离相等(即证有两点在即证有两点在线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上)易错之处：只证明一个点在线段的易错之处：只证明一个点在线段的垂直平分线上，就说过该点的直线是线段的垂直平分线因垂直平分线上，就说过该点的直线是线段的垂直平分线因为过该点的直线有无穷多条，其中只有一条是线段的垂直平为过该点的直线有无穷多条，其中只有一条是线段的垂直平分线注意：证线段的垂直平分线也可以利用定义分线注意：证线段的垂直平分线也可以利用定义 知知3 3讲讲例例5 已知：如图，已知：如图，ABC的边的边AB,AC的垂直平分线的垂直平分线相交于点相交于点P.求证：点求证：点P在在BC的垂直平分线上的垂直平分线上.（来自教材）（来自教材）知知3 3讲讲证明：证明：连接连接PA，PB，PC.点点P在在AB,AC的垂直平分线上的垂直平分线上,（已知）（已知）PA=PB,PA=PC.(线段垂直平分线线段垂直平分线 上的点到线段两端的距离相等）上的点到线段两端的距离相等）PB=PC.(等量代换）等量代换）点点P在在BC的垂直平分线上的垂直平分线上.（到线段两端距（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）离相等的点在线段的垂直平分线上）知知3 3讲讲例例6 如图，已知如图，已知ABAD，BCDC，E是是AC上一点，求证：上一点，求证：(1)BEDE；(2)ABEADE.知知3 3讲讲导引：导引：(1)连接连接BD，要证，要证BEDE，只要证明，只要证明E点是线段点是线段BD的垂直平分线上的点即可由的垂直平分线上的点即可由ABAD，说，说明明A点是线段点是线段BD的垂直平分线上的点，由的垂直平分线上的点，由BCDC，说明，说明C点也是线段点也是线段BD的垂直平分线上的点，的垂直平分线上的点，所以所以AC是线段是线段BD的垂直平分线，而已知的垂直平分线，而已知E是是AC上一点，问题得以解决上一点，问题得以解决(2)要证明角相等，只要证明角相等，只需证明需证明ABEADE即可即可知知3 3讲讲证明：证明：(1)连接连接BD，如图，如图，ABAD，BCCD，A，C两点均在线段两点均在线段BD的垂直平分线上的垂直平分线上 AC是线段是线段BD的垂直平分线的垂直平分线 又又E是是AC上一点，上一点，BEDE.知知3 3讲讲证明：证明：(2)在在ABE和和ADE中，中，ABAD，BEDE，AEAE，ABEADE(SSS)，ABEADE.（来自（来自点拨点拨）知知3 3讲讲总 结（来自（来自点拨点拨）由线段的垂直平分线的判定定理确定由线段的垂直平分线的判定定理确定AC是线是线段段BD的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质得得BEDE，这是线段垂直平分线的性质和判定定，这是线段垂直平分线的性质和判定定理的综合运用理的综合运用 知知3 3讲讲例例7 如图，某城市规划局为了方便居民的生活，如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购之间修建一个购物中心，试问：该购物中心物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？三个小区的距离相等？知知3 3讲讲导引：导引：本题转化为数学问题就是要找一个点，使它到本题转化为数学问题就是要找一个点，使它到三角形的三个顶点的距离相等首先考虑到三角形的三个顶点的距离相等首先考虑到A，B两点距离相等的点应该在线段两点距离相等的点应该在线段AB的垂直平分的垂直平分线上，到线上，到B，C两点距离相等的点应该在线段两点距离相等的点应该在线段BC的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点即为的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点即为所求的点所求的点知知3 3讲讲解：解：连接连接AB，BC，分别作，分别作AB，BC的垂直平分线的垂直平分线DE，GF，两直线交于点，两直线交于点M，则点，则点M就是所要就是所要确定的购物中心的位置如图确定的购物中心的位置如图.（来自（来自点拨点拨）知知3 3讲讲总 结（来自（来自点拨点拨）解决作图选点性问题：解决作图选点性问题：若要找到某两个点的若要找到某两个点的距离相等的点，一般在这两点所连线段的垂直平距离相等的点，一般在这两点所连线段的垂直平分线上去找分线上去找 知知3 3练练锐角三角形锐角三角形ABC内有一点内有一点P，满足，满足PAPBPC，则点，则点P是是ABC()A三条角平分线的交点三条角平分线的交点B三条中线的交点三条中线的交点C三条高的交点三条高的交点 D三边垂直平分线的交点三边垂直平分线的交点1（来自（来自典中点典中点）D知知3 3练练如图，点如图，点D在三角形在三角形ABC的的BC边上，且边上，且BCBDAD，则点，则点D在线段在线段()的垂直平分线上的垂直平分线上AAB BAC CBC D不确定不确定2（来自（来自典中点典中点）B1线段的垂直平分线的性质和判定的线段的垂直平分线的性质和判定的“两点作用两点作用”：(1)利用线段垂直平分线的性质可证明两线段相等，只需利用线段垂直平分线的性质可证明两线段相等，只需直线满足垂直、平分即可；直线满足垂直、平分即可；(2)利用线段垂直平分线的判定可证明垂直关系和线段的利用线段垂直平分线的判定可证明垂直关系和线段的相等关系相等关系2应用线段垂直平分线的性质要注意两点：应用线段垂直平分线的性质要注意两点：(1)点一定点一定在垂直平分线上；在垂直平分线上；(2)距离指的是点到线段两个端点距离指的是点到线段两个端点的距离的距离 请请完成完成点点拨训练拨训练P84-85对应习题对应习题。