勾股定理中的动点题.doc
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1、勾股定理中的动点题动点题是近年来中考的的一个热点问题,解这类题目要“以静制动”,即把动态问题,变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”,以不变应万变,首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量,第二,按照图形中的几何性质及相互关系,找出一个基本关系式,把相关的量用一个自变量的表达式表达出来,然后再根据题目的要求,依据几何、代数知识解出。第三,确定自变量的取值范围,画出相应的图象。 这类题目难度较大从数学知识点来看,一般考察几何图像的判定和性质(如梯形,相似三角形,直角三角形等)以及函数和方程的知识等综合性很强. 从数学思想方法看有:数形结合的思想方法,转化的思想方法
2、,分类讨论的思想方法,方程的数学,函数的思想方法等关键:动点中的分类讨论:抓住运动中的关键点,动中求静.1、如图,在梯形ABCD中,ADBC,AB=AD=DC=4,A=120动点P、E、M分别从B、A、D三点同时出发,其中点P沿BA向终点A运动,点E沿AD向终点D运动,点M沿DC向终点C运动,且它们的速度都为每秒2个单位连接PE、PM、EM,设动点P、E、M运动时间为t(单位:秒),PEM的面积为S(1)判断PAE与EDM是否全等,说明理由;(2)连接BD,求证:EPMABD;(3)求S与t的函数关系式,并求出PEM的面积的最小值考点:相似三角形的判定与性质;二次函数的最值;全等三角形的判定;
3、勾股定理;梯形。解答:解:(1)PAEEDM,理由如下:根据题意,得BP=AE=DM=2t,AB=AD=DC=4,AP=DE=42t(1分)在梯形ABCD中,AB=DC,PAE=EDM;(2分) 又AP=DE,AE=DM, PAEEDM(3分)(2)证明:PAEEDM, PE=EM,1=2(4分)3+2=1+BAD, 3=BAD;(5分)AB=AD,;(6分) EPMABD(7分)(3)过B点作BFAD,交DA的延长线于F,过P点作PGAD交于G;在RtAFB中,4=180BAD=180120=60,BF=ABsin4=4sin60=SABD= (8分)在RtAPG中,PG=APsin4=(4
4、2t)sin60= (2t) AG=APcos4=(42t)cos60=2t,GE=AG+AE=2t+2t=2+tPE2= PG2+ GE2 (2t)2+(2+t)2=4t28t+16 EPMABD, = (9分)SEPM=4 =;S与t的函数关系式为S= (0t2)(10分)即S=当t=1,S有最小值,最小值为 (12分)另一解法(略解)在RtAPG中,PG=APsin4=(42t)sin60=(2t)AG=APcos4=(42t)cos60=2t在RtMFD中,FM=DMsinMDF=2tsin60=,DF=DMcosMDF=2tcos60=tGF=AG+AD+DF=2t+4+t=6,GE
5、=AG+AE=2t+2t=2+t,EF=ED+DF=42t+t=4t;SEPM=S梯形PGFMSPEGSEFM=(0t2) 2、(2010湘潭)如图,在直角梯形ABCD中,ABDC,D=90,ACBC,AB=10cm,BC=6cm,F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动,E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动,设运动时间为t秒(0t5)(1)求证:ACDBAC;(2)求DC的长;(3)设四边形AFEC的面积为y,求y关于t的函数关系式,并求出y的最小值考点:二次函数的最值;勾股定理;相似三角形的判定与性质。解答:解:(1)CDAB,BAC=DCA(1分)又ACBC,
6、ACB=90,D=ACB=90,(2分)ACDBAC(3分)(2) 4分 ACDBAC 5分即 解得: 6分(3) 过点E作AB的垂线,垂足为G, ACBEGB 7分 即 故 8分 = 故当t=时,y的最小值为193、(2007河北)如图,在等腰梯形ABCD中,ADBC,AB=DC=50,AD=75,BC=135点P从点B出发沿折线段BAADDC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动;点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动,过点Q向上作射线QKBC,交折线段CDDAAB于点E点P、Q同时开始运动,当点P与点C重合时停止运动,点Q也随之停止设点P、Q运动的时间是t秒(t0)(1
7、)当点P到达终点C时,求t的值,并指出此时BQ的长;(2)当点P运动到AD上时,t为何值能使PQDC;(3)设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S,分别求出点E运动到CD、DA上时,S与t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)(4)PQE能否成为直角三角形?若能,写出t的取值范围;若不能,请说明理由考点:等腰梯形的性质;全等三角形的判定与性质;直角三角形的性质;平行四边形的判定。解:(1)t =(507550)5=35(秒)时,点P到达终点C(1分)此时,QC=353=105,BQ的长为135105=30(2分)(2)如图8,若PQDC,又ADBC,则四边形PQCD为平行四边形,从而PD=QC,
8、由QC=3t,BA+AP=5t得50755t=3t,解得t=经检验,当t=时,有PQDC(4分)(3)当点E在CD上运动时,如图9分别过点A、D作AFBC于点F,DHBC于点H,则四边形ADHF为矩形,且ABFDCH,从而FH= AD=75,于是BF=CH=30DH=AF=40又QC=3t,从而QE=QCtanC=3t=4t(注:用相似三角形求解亦可)S=SQCE =QEQC=6t2;(6分)当点E在DA上运动时,如图8过点D作DHBC于点H,由知DH=40,CH=30,又QC=3t,从而ED=QH=QCCH=3t30S= S梯形QCDE =(EDQC)DH =120t600(8分)(4)PQ
9、E能成为直角三角形(9分)当PQE为直角三角形时,t的取值范围是0t25且t或t=35(12分)(注:(4)问中没有答出t或t=35者各扣1分,其余写法酌情给分)下面是第(4)问的解法,仅供教师参考:当点P在BA(包括点A)上,即0t10时,如图9过点P作PGBC于点G ,则PG=PBsinB=4t,又有QE=4t = PG,易得四边形PGQE为矩形,此时PQE总能成为直角三角形当点P、E都在AD(不包括点A但包括点D)上,即10t25时,如图8由QKBC和ADBC可知,此时,PQE为直角三角形,但点P、E不能重合,即5t503t3075,解得t当点P在DC上(不包括点D但包括点C),即25t
10、35时,如图10由ED25330=45,可知,点P在以QE=40为直径的圆的外部,故EPQ不会是直角由PEQDEQ,可知PEQ一定是锐角对于PQE,PQECQE,只有当点P与C重合,即t=35时,如图11,PQE=90,PQE为直角三角形综上所述,当PQE为直角三角形时,t的取值范围是0t25且t或t=354、(2009青岛)如图,在梯形ABCD中,点由B出发沿BD方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动,速度为1cm/s,交于Q,连接PE若设运动时间为(s)()解答下列问题:(1)当为何值时,?(2)设的面积为(cm2),求与之间的函数关系式;(3)是否存在
11、某一时刻,使?若存在,求出此时的值;若不存在,说明理由(4)连接,在上述运动过程中,五边形的面积是否发生变化?说明理由考点:平行线的判定;根据实际问题列二次函数关系式;三角形的面积;勾股定理;相似三角形的判定与性质。解:(1) 而, , 当 2分(2)平行且等于,四边形是平行四边形 , 过B作,交于,过作,交于, 又, , , 6分(3)若,则有, 解得(4)在和中, 在运动过程中,五边形的面积不变 12分5、如图1,在直角梯形ABCD中,ADBC,D=90,AD=9cm,CD=12cm,BC=15cm点P由点C出发沿CA方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,线段EF由AB出发沿AD方向匀速运
12、动,速度为1cm/s,且与AC交于Q点,连接PE,PF当点P与点Q相遇时,所有运动停止若设运动时间为t(s)(1)求AB的长度;(2)当PECD时,求出t的值;(3)设PEF的面积为S,求S关于t的函数关系式;如图2,当PEF的外接圆圆心O恰在EF的中点时,则t的值是多少?(直接写出答案)考点:相似三角形的判定与性质;三角形的面积;等腰三角形的判定;勾股定理;直角梯形;三角形的外接圆与外心。解:(1)过A作AMBC于M,则四边形AMCD是矩形;AD=MC=9cm,AM=CD=12cm;RtABM中,AM=12cm,BM=BCMC=6cm;由勾股定理,得:AB=6cm(只写答案给1分)(3分)(
13、2)D=90,AD=9cm,CD=12cm,AC=15cmAP=15t 当PECD时AEPADC= 即 解得 (符合题意) 当PECD时,t=45/8(3)过点E,F作EGAC于G,FHAC于H因为AC=BC;EFAB易证AQ=AE=t(1分)在RTADC中,sinDAC=DC/AC=12/15 EG=AEsinDAC=12/15t;ADBC ACB =DAC FH=CFsinACB=CFsinDAC=12/15(15-t)=12-12/15tPQ=15-2t EG+FH=12SPEF=SPQE+SPQF=+= = 12t+90;易知:AE=CP=t,AP=CF=CQ=15t,EAP=FCP,
14、AEPCPF,EP=PF;EF是O的直径 EPF=90;EPF是等腰直角三角形;易知EF=AB=6cm;S=1/263=45cm2;代入的函数关系式,得:12t+90=45,解得t=(3分)点评:此题考查了直角梯形的性质、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形和相似三角形的判定和性质等知识的综合应用能力 6、如图,在直角梯形中OABC,已知B、C两点的坐标分别为B(8,6)、C(10,0),动点M由原点O出发沿OB方向匀速运动,速度为1单位/秒;同时,线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动,速度为1单位/秒,交OB于点N,连接DM若设运动时间为t(s)(0t8)(1)当t为何值时,以B、D、M为顶点的
15、三角形OAB与相似?(2)设DMN的面积为y,求y与t之间的函数关系式;(3)连接ME,在上述运动过程中,五边形MECBD的面积是否总为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由 考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定;直角梯形。专题:综合题;动点型;分类讨论。解:(1)分类讨论。 若BAOBDM,则,(1分)在直角梯形中OABC由B(8,6)、C(10,0)可知AB=8,OA=6:OB=OC=108/t=10/10-t 解得t=40/9 (2分)若BAOBMD,(3分)即8/10-t=,解得t=;(4分)所以当t= 40/9 t=50/9,以B,D,M为顶点的三角形与OAB相似(2)
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