15.3.2--等腰三角形的判定.ppt

第第15章章 轴对轴对称称图图形与等腰三角形形与等腰三角形第第3节节 等腰三角形等腰三角形第第2课时课时 等腰三角形的判定等腰三角形的判定课堂讲解课堂讲解课时流程课时流程12u等腰三角形的判定等腰三角形的判定u等等边边三角形的判定三角形的判定逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结课后课后作业作业1知识点等腰三角形的判定知知1 1讲讲 思考思考 “等腰三角形两个底角相等等腰三角形两个底角相等”的逆命题的逆命题 是真命题吗？请与你的同学研究讨论后是真命题吗？请与你的同学研究讨论后 作出判断作出判断.知知1 1讲讲1.定理：定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形 (简称简称“等角对等边等角对等边”)应用格式：在应用格式：在ABC中，中，BC,ABAC.知知1 1讲讲2等腰三角形的判定与性质的异同等腰三角形的判定与性质的异同 相同点：都是在一个三角形中；相同点：都是在一个三角形中；区别：判定是由角到边，性质是由边到角区别：判定是由角到边，性质是由边到角 即：等边即：等边 等角等角（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲例例1 如图，在如图，在ABC中，中，P是是BC边上一点，过点边上一点，过点P作作BC的垂线，交的垂线，交AB于点于点Q，交，交CA的延长线于点的延长线于点R，若若AQAR，则，则ABC是是等腰三角形吗？请说明等腰三角形吗？请说明 理由理由知知1 1讲讲 导引：导引：要说明要说明ABC为等腰三角形，由图可知只为等腰三角形，由图可知只要说明要说明BC即可，而即可，而B，C分别在分别在两个直角三角形中，因此只要说明两个直角三角形中，因此只要说明B，C的余角的余角BQP，R相等即可相等即可 知知1 1讲讲解：解：ABC是等腰三角形理由如下：是等腰三角形理由如下：AQAR，RAQR.又又BQPAQR，RBQP.在在RtQPB和和RtRPC中，中，BBQP90，CR90，BC,ABAC.（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲总 结（来自（来自点拨点拨）本题运用了本题运用了转化思想转化思想，将要说明的两相，将要说明的两相等角利用等角的余角相等转化为说明其余角相等角利用等角的余角相等转化为说明其余角相等；对顶角这一隐含条件在推导角的相等关系等；对顶角这一隐含条件在推导角的相等关系中起了关键的桥梁作用中起了关键的桥梁作用 知知1 1讲讲例例2 如图，在如图，在ABC中，中，ABC，CAB的平的平分线交于点分线交于点P，过点，过点P作作DEAB，分别交，分别交BC，AC于点于点 D，E.求证：求证：DEBDAE.知知1 1讲讲导导引引：要要证证DEBDAE，而而由由图图知知DEDPPE.因因此此只只需需证证BDAEDPPE即即可可即即需需证证BDDP，AEPE，而而要要证证这这两两组组边边相相等等，只只需需证证明明它它们们所所对对的的角角相相等等，因因此此我我们们可可以以把证角相等作为切入口把证角相等作为切入口 进行证明进行证明知知1 1讲讲证明：证明：DEAB，ABPDPB,BAPEPA.ABC，CAB的平分线交于点的平分线交于点P，ABPDBP,BAPEAP，DBPDPB,EAPEPA，DPDB，EPAE，DPEPDBAE，即，即DEBDAE.（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲总 结(1)本本题题运运用用平平行行线线性性质质以以及及角角平平分分线线的的定定义义证证明明角角之之间间的的相相等等关关系系，进进而而运运用用等等腰腰三三角角形形的的判判定定得得出出线线段段之之间间的的长长度度关关系系，这这是是证证几几何何题题常常用的方法用的方法知知1 1讲讲总 结(2)如如图图中中角角的的一一边边与与角角的的平平分分线线及及角角另另一一边边的的平平行行线线所所构构成成的的三三角角形形是是等等腰腰三三角角形形，这这是是一一个个基基本本的的图图形形，在在以以后后学学习习平平行行四四边边形形时时会会经经常常遇到遇到（来自（来自点拨点拨）知知1 1练练1 在在ABC中，中，A和和B的的度数如下度数如下，能判定，能判定ABC是是等腰三角形等腰三角形的是的是()AA50，B70 BA70，B40CA30，B90 DA80，B60B知知1 1练练2 如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，BD是是AC边上边上 的的高，高，CE是是AB边上的高，它们相交于点边上的高，它们相交于点O，则，则图中除图中除ABC外一定是外一定是等腰三角形的等腰三角形的是是()AABD BACECOBC DOCDC2知识点等边三角形的判定知知2 2讲讲等边三角形的判定等边三角形的判定1.推论推论1：三个角都：三个角都相等相等的三角形是等边三角形；的三角形是等边三角形；推论推论2：有一个角是：有一个角是60的的等腰三角形等腰三角形是等边三角形是等边三角形2.注意事项注意事项：推论：推论1在任意三角形中都适用，推论在任意三角形中都适用，推论2的的 前提条件是等腰三角形因此要结合题目的条件选前提条件是等腰三角形因此要结合题目的条件选 择适当的方法择适当的方法知知2 2讲讲如图如图，在等边三角形，在等边三角形ABC中，中，ABC和和ACB的平分线相交于点的平分线相交于点O，OB，OC的垂直平分线分的垂直平分线分别交别交BC于点于点E，F，连接，连接OE，OF.求证：求证：OEF是等边三角形是等边三角形 例例3 导引：导引：从题中条件看，利用三角形从题中条件看，利用三角形的外角性质易求得的外角性质易求得OEFOFE60，从而证明从而证明OEF是等边三角形是等边三角形知知2 2讲讲 证明：证明：E，F分别是线段分别是线段OB，OC的垂直平分的垂直平分线上的点，线上的点，OEBE，OFCF，OBEBOE，OCFCOF.ABC是等边三角形，是等边三角形，ABCACB60.知知2 2讲讲 证明：证明：又又BO，CO分别平分分别平分ABC和和ACB，OBEBOEOCFCOF30.OEFOFE60.EOF18026060.OEF是等边三角形是等边三角形（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）总 结证证明明一一个个三三角角形形是是等等边边三三角角形形，要要根根据据已已知知条条件件选选择择适适当当的的方方法法(1)如如果果已已知知三三边边关关系系，则则选选用用等等边边三三角角形形定定义义来来判判定定(2)若若已已知知三三角角关关系系，则则选选用用“三三个个角角都都相相等等的的三三角角形形是是等等边边三三角角形形”来来判判定定(3)若若已已知知是是等等腰腰三三角角形形，则则选选用用“有有一一个个角角是是60的的等等腰腰三三角角形形是是等等边边三角形三角形”来判定来判定知知2 2讲讲例例5 如图，已知如图，已知ABC是等边三角形，是等边三角形，D为边为边AC的中点，的中点，AEEC，BDEC，证明：，证明：ADE是等边三角形是等边三角形导引：导引：从题中条件看用从题中条件看用“HL”证明证明RtABD RtACE，可得，可得 ADAE，BADCAE60，因此用，因此用推论推论2证证ADE是等边三角形是等边三角形知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）证明：证明：ABC是等边三角形，是等边三角形，D为边为边AC的中点，的中点，ABAC，BAC60，BDAC.AEEC，BDACEA90.在在RtABD和和RtACE中，中，RtABD RtACE，ADAE，EADBAD60，ADE是等边三角形是等边三角形知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）1如图，如图，ABC是等边三角形，是等边三角形，D，E，F为各边中点，为各边中点，则图中共有等边三角形则图中共有等边三角形()A2个个 B3个个 C4个个 D5个个D等腰三角形的三种判定方法：等腰三角形的三种判定方法：(1)当三角形有两条边相等时，应用当三角形有两条边相等时，应用“有两条边相等的有两条边相等的三角形是等腰三角形三角形是等腰三角形”来证明来证明(2)当三角形中有两个角相等时，应用当三角形中有两个角相等时，应用“有两个角相等有两个角相等的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形”来证明来证明(3)当线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形当线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形时，应用时，应用“线段垂直平分线上的点到线段两端的距线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等离相等”来证明来证明（来自（来自典中点典中点）根据条件判定等边三角形的解题技巧：根据条件判定等边三角形的解题技巧：(1)若已知三边关系，则考虑用若已知三边关系，则考虑用“三条边都相等的三角形三条边都相等的三角形是等边三角形是等边三角形”判定判定(2)若已知三角关系，则根据若已知三角关系，则根据“三个角都相等的三角形是三个角都相等的三角形是等边三角形等边三角形”判定判定(3)若已知三角形是等腰三角形，则根据若已知三角形是等腰三角形，则根据“有一个角是有一个角是60的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形”判定判定请请完成完成点点拨训练拨训练P90-91对应习题对应习题。