17.1.2--勾股定理在求距离中应用.ppt

第十七章第十七章 勾股定理勾股定理17.1 17.1 勾股定理勾股定理第第2 2课时课时 勾股定理在求勾股定理在求 距离中应用距离中应用1课堂讲解课堂讲解2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升u长度的计算长度的计算u最短距离的计算最短距离的计算 如如图图所示，一棱所示，一棱长为长为3 cm的正方体把所有的面都分的正方体把所有的面都分成成33个小正方形，假若一只个小正方形，假若一只蚂蚁蚂蚁每秒爬每秒爬2 cm，则则它从下它从下底面底面A点，沿表面爬行至右点，沿表面爬行至右侧侧的的B点，最少要花几秒点，最少要花几秒?1知识点知识点长度的计算长度的计算问问 题题 如如图图所示，从所示，从电线电线杆离地面杆离地面8 m处处向地面拉一条向地面拉一条钢钢索，索，若若这这条条钢钢索在地面的固定点距离索在地面的固定点距离电线电线杆底部杆底部6 m，那么需要多，那么需要多长长的的钢钢索索?知知1 1导导归纳知知1 1导导 应应用勾股定理解决用勾股定理解决实际问题实际问题，首先需要构造直角，首先需要构造直角三角形，把三角形，把问题转问题转化化为为已知两已知两边边求直角三角形中第三求直角三角形中第三边边的的问题问题.然后确定好直角然后确定好直角边边和斜和斜边边，根据勾股定理，根据勾股定理a2b2=c2求出待求的求出待求的线线段段长长度，即三角形的度，即三角形的边长边长.勾股勾股定理在生活中有广泛定理在生活中有广泛应应用，例如用，例如长长度，高度，距离，度，高度，距离，面面积积，体，体积积等等问题问题都可以利用勾股定理来解答都可以利用勾股定理来解答.可以看出，木板横着或可以看出，木板横着或竖竖着都不能从着都不能从门门框内通框内通过过，只能，只能试试试试斜着能否通斜着能否通过过.门门框框对对角角线线AC的的长长度是斜着能通度是斜着能通过过的最大的最大长长度度.求出求出AC，再与木板的再与木板的宽宽比比较较，就能知道木板能否通，就能知道木板能否通过过.在在RtABC中，根据勾股定理，中，根据勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5.AC=2.24.因因为为AC大于木板的大于木板的宽宽2.2 m，所，所以木板能从以木板能从门门框内通框内通过过.例例1 一一个个门门框的尺寸如框的尺寸如图图所所示示，一一块长块长3 m，宽宽2.2 m的的长长方形薄木板能否从方形薄木板能否从门门框内通框内通 过过？为为什么？什么？知知1 1讲讲（来自（来自教材教材）分析：分析：解：解：总 结知知1 1讲讲 实际问题经实际问题经常常转转化化为为数学数学问题问题，也就是建立，也就是建立直角三角形模型，利用勾股定理来解答直角三角形模型，利用勾股定理来解答.解：解：可以看出，可以看出，BD=OD-OB.在在RtAOB中，根据勾股定理，中，根据勾股定理，OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.OB=1.在在RtCOD中，根据勾股定理，中，根据勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4 -0.5)2=3.15.OD=1.77,BD=OD-OBl.77-1=0.77.所以梯子的所以梯子的顶顶端沿端沿墙墙下滑下滑0.5m时时，梯子底端并不是也外，梯子底端并不是也外 移移0.5 m，而是外移而是外移约约0.77 m.例例2 如如图图,一架一架2.6 m长长的梯子的梯子AB斜靠在一斜靠在一竖竖直的直的 墙墙AO上，上，这时这时AO为为2.4 m.如果梯子的如果梯子的顶顶端端A沿沿 墙墙下滑下滑0.5 m，那么梯子底端那么梯子底端B也外移也外移0.5 m吗吗？知知1 1讲讲（来自（来自教材教材）总 结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）生活中的一些生活中的一些实际问题实际问题常常通常常通过过构建数学模型构建数学模型(直直角三角形角三角形)来求解，勾股定理在生活中来求解，勾股定理在生活中应应用面广，建立用面广，建立的模型有的模型有时时并不是已知两并不是已知两边边求第三求第三边边，而只是告，而只是告诉诉了了其中的一些关系，一般可其中的一些关系，一般可设设未知数，用未知数表示它未知数，用未知数表示它们们之之间间的关系，然后根据勾股定理列方程解决的关系，然后根据勾股定理列方程解决问题问题1 如如图图，池塘，池塘边边有两点有两点A，B，点，点C是与是与BA方向成方向成 直角的直角的AC方向上一点，方向上一点，测测得得 BC=60 m，AC=20 m.求求A，B两点两点间间的距离的距离(结结果取整数果取整数).知知1 1练练（来自（来自教材教材）在在RtBAC中中，BC60 m，AC20 m，由由勾股定理勾股定理，得得AB 57(m)答：答：A，B两点两点间间的距离的距离约为约为57 m.解：解：2 如如图图，在平面直角坐，在平面直角坐标标系中有两点系中有两点 A(5，0)和和 B(0，4).求求这这两点之两点之间间的距离的距离.知知1 1练练（来自（来自教材教材）由点由点A(5，0)，B(0，4)可知可知OA5，OB4，又又因因为为BOA90，所以所以根据勾股定理根据勾股定理，得得AB 解：解：3 (中考中考安安顺顺)如如图图，有两棵，有两棵树树，一棵高，一棵高10米，另一米，另一 棵高棵高4米，两米，两树树相距相距8米，一只小米，一只小鸟鸟从一棵从一棵树树的的树树 顶飞顶飞到另一棵到另一棵树树的的树顶树顶，小，小鸟鸟至少至少飞飞行行()A8米米 B10米米 C12米米 D14米米知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）B【2017荆荆州州】九章算】九章算术术中的中的“折竹抵地折竹抵地”问题问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺问问折高者几折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈一丈10尺尺)，一一阵风阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处处离竹离竹子底部子底部6尺尺远远，问问折断折断处处离地面的高度是多少？离地面的高度是多少？设设折折断断处处离地面的高度离地面的高度为为x尺，尺，则则可列方程可列方程为为()Ax26(10 x)2 Bx262(10 x)2Cx26(10 x)2 Dx262(10 x)2知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）4D【2017绍兴绍兴】如如图图，小巷左右两，小巷左右两侧侧是是竖竖直的直的墙墙，一架梯子斜靠在左一架梯子斜靠在左墙时墙时，梯子底端到左，梯子底端到左墙墙脚的距离脚的距离为为0.7米，米，顶顶端距离地面端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位米，如果保持梯子底端位置不置不动动，将梯子斜靠在右，将梯子斜靠在右墙时墙时，顶顶端距离地面端距离地面2米，米，则则小巷的小巷的宽宽度度为为()A0.7米米 B1.5米米 C2.2米米 D2.4米米知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）5C【2017黄黄冈冈】在黄在黄冈长冈长江大江大桥桥的的东东端一端一处处空地上，空地上，有一有一块块矩形的矩形的标语标语牌牌ABCD(如如图图所示所示)，已知，已知标语标语牌牌的高的高AB5 m，在地面的点，在地面的点E处处，测测得得标语标语牌点牌点A的的仰角仰角(即即AEB)为为30，在地面的点，在地面的点F处处，测测得得标语标语牌点牌点A的仰角的仰角(即即AFB)为为75，且点，且点E，F，B，C在在同一直同一直线线上，求点上，求点E与点与点F之之间间的距离的距离(计计算算结结果果精确到精确到0.1 m，参考数据：，参考数据：1.41，1.73)知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）6知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）如如图图，作，作FHAE于于H.由由题题意可知意可知HAFHFA45，AHHF，设设AHHFx m，则则EF2x m，EH x m，在在RtAEB中，中，E30，AB5 m，AE2AB10 m，x x10，x5 5，EF10 107.3(m)，答：答：点点E与点与点F之之间间的距离的距离约为约为7.3 m.解：解：2知识点知识点最短距离的计算最短距离的计算知知2 2导导 如如图图1所示，有一个所示，有一个圆圆柱，它的高等于柱，它的高等于12 cm，底面上，底面上圆圆的周的周长长等于等于18 cm.在在圆圆柱柱下底面的点下底面的点A处处有一只有一只蚂蚁蚂蚁，它想吃到上底，它想吃到上底面与点面与点A相相对对的点的点B处处的食物，沿的食物，沿圆圆柱柱侧侧面面爬行的最短路程是多少？爬行的最短路程是多少？(1)自己做一个自己做一个圆圆柱，柱，尝试尝试从点从点A到点到点B沿沿圆圆柱柱侧侧面面画出几条路画出几条路线线，你，你觉觉得哪条路得哪条路线线最短呢？最短呢？问问 题题图图1知知2 2导导 (2)如如图图2所示，将所示，将圆圆柱柱侧侧面剪开展成一个面剪开展成一个长长方形，从点方形，从点A到点到点B的最短路的最短路线线是什么？你是什么？你画画对对了了吗吗？(3)蚂蚁蚂蚁从点从点A出出发发，想吃到点，想吃到点B处处的食物，它沿的食物，它沿圆圆柱柱侧侧面爬行的最短路程是多少？面爬行的最短路程是多少？(4)若若蚂蚁蚂蚁先从点先从点A直接爬到点直接爬到点C，然后再从点，然后再从点C沿地沿地面直径爬到点面直径爬到点B，这样这样爬的爬的总总路程与沿路程与沿圆圆柱柱侧侧面爬行的最面爬行的最短路程比短路程比较较，哪一条更短些？，哪一条更短些？图图2归纳知知2 2导导 最短路径最短路径问题问题要要转转化到平面化到平面图图形上，建形上，建立直角三角形模型，利用勾股定理解答立直角三角形模型，利用勾股定理解答.知知2 2讲讲例例3 如如图图所示的所示的长长方体的高方体的高为为4 cm，底面是，底面是长为长为5 cm，宽宽 为为3 cm的的长长方形一只方形一只蚂蚁蚂蚁从从顶顶点点A出出 发发沿沿长长方体的表面爬到方体的表面爬到顶顶点点B.求：求：(1)蚂蚁经过蚂蚁经过的最短路程；的最短路程；(2)蚂蚁蚂蚁沿着棱爬行沿着棱爬行(不能重复爬行同一不能重复爬行同一 条棱条棱)的最的最长长路程路程 (1)蚂蚁蚂蚁爬行的最短路爬行的最短路线线可放在平面内，根据可放在平面内，根据“两点之两点之间间，线线段最短段最短”去探求，而与去探求，而与顶顶点点A，B相关的两个面展开共相关的两个面展开共 有三种方式，先根据勾股定理求出每一种方式下有三种方式，先根据勾股定理求出每一种方式下蚂蚁蚂蚁 爬行的最短路程，从而可知爬行的最短路程，从而可知蚂蚁经过蚂蚁经过的最短路程的最短路程 (2)最最长长路路线应该线应该是依次是依次经过长为经过长为5 cm，4 cm，5 cm，4 cm，3 cm，4 cm，5 cm的棱的棱导导引：引：知知2 2讲讲(1)将将长长方体与方体与顶顶点点A，B相关的两个面展开，共有三相关的两个面展开，共有三 种方式，如种方式，如图图所示若所示若蚂蚁蚂蚁沿沿侧侧面爬行，如面爬行，如图图，则则爬行的最短路程爬行的最短路程为为 若若蚂蚁蚂蚁沿沿侧侧面和上面爬行，如面和上面爬行，如图图，（来自（来自点拨点拨）解：解：知知2 2讲讲 则则爬行的最短路程分爬行的最短路程分别为别为 因因为为 4 3 ，所以所以蚂蚁经过蚂蚁经过的最短路程是的最短路程是 cm.(2)545434530(cm)，所以，所以蚂蚁蚂蚁沿着棱沿着棱 爬行的最爬行的最长长路程是路程是30 cm.（来自（来自点拨点拨）总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）几何体的表面上两点几何体的表面上两点间间的最短路程的最短路程问题问题的解决方法的解决方法是将几何体表面展开，即将立体是将几何体表面展开，即将立体问题转问题转化化为为平面平面问题问题，然后利用然后利用“两点之两点之间间，线线段最短段最短”去确定路去确定路线线，最后利用，最后利用勾股定理勾股定理计计算算知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）如如图图，一只，一只蚂蚁蚂蚁沿着棱沿着棱长为长为2的的正方体表正方体表面从点面从点A出出发发，经过经过3个面爬到点个面爬到点B，如果，如果它运它运动动的路径是的路径是最短的最短的，那么最短路径那么最短路径长长为为_1知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）如如图图，圆圆柱的底面周柱的底面周长为长为6 cm，AC是底面是底面圆圆的直的直径，高径，高BC6 cm，P是母是母线线BC上一点，且上一点，且PC BC.一一只只蚂蚁蚂蚁从点从点A出出发发沿着沿着圆圆柱的柱的侧侧面爬行面爬行到点到点P的最短距离是的最短距离是()A.cmB5 cmC3 cm D7 cm2B知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）【2017营营口口】如如图图，在，在ABC中，中，ACBC，ACB90，点，点D在在BC上，上，BD3，DC1，点，点P是是AB上的上的动动点，点，则则PCPD的最小的最小值为值为()A4 B5 C6 D73B知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）【2017安徽安徽】如】如图图，在，在长长方形方形ABCD中，中，AB5，AD3，动动点点P满满足足SPAB S长长方形方形ABCD，则则点点P到到A、B两点距离之和两点距离之和PAPB的最小的最小值为值为()A.B.C D.4D1.勾股定理从勾股定理从边边的角度刻画了直角三角形的重要特征，的角度刻画了直角三角形的重要特征，应应用勾股定理可以求出直角三角形中的直角用勾股定理可以求出直角三角形中的直角边边或者或者 斜斜边边的的长长度，在度，在实际应实际应用中要注意：用中要注意：(1)勾股定理的勾股定理的应应用是以直角三角形存在用是以直角三角形存在(或容易构造或容易构造 直角三角形直角三角形)为为基基础础；(2)表示直角三角形表示直角三角形边长边长的的a,b,c不是固定不不是固定不变变的的，c不一定不一定是斜是斜边边的的长长.1知知识小小结2.在直在直线线上找一点，使其到直上找一点，使其到直线线同同侧侧的两点的距离之的两点的距离之 和最短的方法：先找到其中一个点关于和最短的方法：先找到其中一个点关于这这条直条直线线的的 对对称点，称点，连连接接对对称点与另一个点的称点与另一个点的线线段与段与该该直直线线的的 交点即交点即为为所找的点，所找的点，对对称点与另一个点的称点与另一个点的线线段段长长就就 是最短距离之和以是最短距离之和以连连接接对对称点与另一个点的称点与另一个点的线线段段 为为斜斜边边，构造出一个两条直角，构造出一个两条直角边边已知的直角三角形，已知的直角三角形，然后利用勾股定理即可求出最短距离之和然后利用勾股定理即可求出最短距离之和 如如图图，长长方体的方体的长为长为15，宽为宽为10，高，高为为20，点，点B离点离点C 的的距离距离为为5，一只，一只蚂蚁蚂蚁如果要沿着如果要沿着长长方体的表面从点方体的表面从点A 爬爬到点到点B，需要爬行的最短距离是，需要爬行的最短距离是()A5 B25 C10 5D35B2易错小结易错小结易易错错点：点：求最短路径时对立体图形展开情况考虑不全面求最短路径时对立体图形展开情况考虑不全面 导致错解导致错解.请请完成完成典中点典中点 、板板块块 对应习题对应习题！