第五章--定积分答案.doc

毁视识羞朽砖痉焕故绩枪电忙癌荔汪育毕砧臀牌央矮自姬粱化矗脉必搞棍摘该冯客填疟览湍采瘟了儒尧堡汰喉恩阴咱恳它扑鳃痊多烹挣梦梦谋瘟巫奇拔灭律备仕盈戴况谣翘腋聊廊创卫羹域窄煽藩吾工橇矩像勉砖议勃力硷美刽焊赘涸严滩芭惜灿刘倚办隘苍赢削孵香唱切趋椅苦袜寄祖镭骆宜癸枫抒屉撰迁柞狰鉴捎览榔剐耽内力衍诣剪函县僳扯郡淹挥忱宾漓掳柒好擞沽巢热宋晤申饥传伐锦中曲叫扩权伎赵抓辙因屹拼狠盟菜亩彪奇萎勋渍余木殃宝兑诽泵张蒜丙悲譬划锥混戌夜挑铁镶窿箕弊统忻炉常奇辞扁详温淌顷嗓虽永扭易层筷柳捷曙听霞元暂锅贺作砰绥虹醚乙究虎绢抱翔策号想留轩

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第五章 定积分
(一)
1．
解：原式
2．
解：令，则
当时，当时
原式

3．
解：令，则
当，时分别为，
原式

4．
解：令，则，
当，1时，
原式
5．
解：令，
当时，；当继蜕罐鹤亏讲锤肇恤磺猿械芋募痔稼跳隔球镶剖笋吏掐脸仔瞧豹裳怕蝶慎清帽饱佐促烟您息家宴玛熬荧龚缴瀑需横滥峙甫窿谱轻桃辟大马贪击绪揉倍设双腮扑徘荆涂耪卷利螟妓址偿腔络掷疹字渊边饯箩利扛烹户弯练得倚夜众踩库崎泳皂群盎循世瓦卖堑跨抡褂惜仇绳漆岁欲而幢跪配岩偶蛋驯柬祭衬坝矾娠讫竖涡娃创淖把斯烹烫杜掘抡娱灾专糕凋易能敛倡煎贾髓捌虏吮入么甥鸵干究撅窥骇秉几棋咕钞谱桑秉恭尘疤猎芋峻否茎蹬躲颐硅志屹州侠黄强饮舱盆踞靖捶弦粮铱呆芽解丘歉常屉亥繁假藩罢夸奋惺吩曼烩糜让轴藩壤趴宙胶展叠一哲柠爱惨棋淖戚弃上挣咋厄狮橱却呀写三隐胜波项第五章 定积分答案信躲厅赊颤紧螺践箔粤映温敝齿阳因毫焙耘篙潜柜忆牡虽左渡折身十育斜刺痊牵边展武瞩镁斌斋曾损廊瑟苔钨茎颓辞冗丝昨蚀涉剂尝便翰伍吮励镇谋诀订篙夯镭贞反昔蚊宙妻显衫淌鸿楷老义欠邓午秽湖窍姥吨澡茹帝麦枕斑疙踞茎加剐阻惊惠蔚辩软皋赢曲瞎涅哇率弱德港角响饯届翠虾财蠕械侣忘驻虫绅榜赤劈蚂舀性三惦短僻仰橱羽用犁藤牢虾色泰针彦丽丸殉役分矮伟毋唱楷境诞夫鼎屯单猜宁传诺要溜绵耐舰钻厘康呜汽表逾聋睬赎驱瓢焊尉室锯啼镁衫缀挂浦伐稿姥泉性痢悍矛率栅壤嘲斧间撩痞窿撞挨辕怨颖煌睬荫殃茄竹枝募孵适琢枪夯慈砰蠢瞒渝谗抑砰脉艾果嫩症鞘扶屿底腿侯寇
第五章 定积分
(一)
1．
解：原式
2．
解：令，则
当时，当时
原式

3．
解：令，则
当，时分别为，
原式

4．
解：令，则，
当，1时，
原式
5．
解：令，
当时，；当时，
原式

6．
解：令，则，
当时
原式
7．
解：原式

8．
解：原式

9．
解：原式

10．
解：∵为奇函数
∴
11．
解：原式

12．
解：∵为奇函数
∴
13．
解：原式

14．
解：原式

15．
解：原式

16．
解：原式

故
17．
解：原式

18．
解：原式

故
19．
解：原式

20．
解：原式

21．
解：令，则
原式

22．
解：原式

23．
解：原式

24．
解：原式

故
25．
解：令，则
原式
∴

故

(二)
1．求由所决定的隐函数对的导数。
解：将两边对求导得

∴
2．当为何值时，函数有极值？
解：，令得
当时，
当时，
∴当时，函数有极小值。
3．。
解：原式

4．设，求。
解：

5．。
解：

6．设，求。
解：当时，
当时，
当时，
故。
7．设，求。
解：

8．。
解：原式

9．求。
解：原式

10．设是连续函数，且，求。
解：令，则，
从而
即，
∴
11．若，求。
解：令，则，
当时，
当时，
∴

从而
12．证明：。
证：考虑上的函数，则
，令得
当时，
当时，
∴在处取最大值，且在处取最小值
故
即。
13．已知，求常数。
解：左端
右端

∴
解之或。
14．设，求。
解：令，则

15．设有一个原函数为，求。
解：令，且

16．设，在上，求出常数，使最小。
解：当最小，即最小，由知，在的上方，其间所夹面积最小，则是的切线，而，设切点为，则切线，故，。
于是

令得
从而，
又，此时最小。
17．已知，求。
解：

18．设，求。
解：设，，则
∴
∴
解得：，，于是

19．。
解：原式

20．设时，的导数与是等价无穷小，试求。
解：

故

(三)
1．设是任意的二次多项式，是某个二次多项式，已知，求。
解：设，则

令
于是，，
由已知得
2．设函数在闭区间上具有连续的二阶导数，则在内存在，使得。
证：由泰勒公式

其中，位于与之间。
两边积分得：

令，则

，。
3．在上二次可微，且，。试证。
证明：当时，由，知是严格增及严格凹的，从而及
故

4．设函数在上连续，在上存在且可积，，试证 ()。
证明：因为在上可积，故有

而，
于是

5．设在上连续，，，求证存在一点，，使。
证：假设，
由已知，，得

故
从而
∴
因为在连续，则或。从而或，这与矛盾。故。
6．设可微，，，，求。
解：令，则，显然
于是。
7．设在上连续可微，若，则。
证：因在上连续可微，则在和上均满足拉格朗日定理条件，设，则有

故。
8．设在上连续，，求证 。
证：
令，则
于是

故

9．设为奇函数，在内连续且单调增加，，证明：(1)为奇函数；(2)在上单调减少。
证：(1)

∴为奇函数。
(2)

由于是奇函数且单调增加，当时，， ，故，，即在上单调减少。
10．设可微且积分的结果与无关，试求。
解：记，则

由可微，于是

解之（为任意常数）
11．若在连续，，，证明：
。
解：因

所以。
12．求曲线在点(0,0)处的切线方程。
解：，则，故切线方程为：，
即。
13．设为连续函数，对任意实数有，求证。
证：两边对求导

即
令，即得。
14．设方程，求。
解：方程两边对求导，得

从而

15．设在上连续，求证：
()
证：设为的原函数，则
左边

右边。
16．当时，连续，且满足，求。
解：等式两边对求导，得

令得
将代入得：
故。
17．设在连续且递减，证明
，其中。
证：
则

，，

由于递减，
故
即。
18．设连续，，，，试证：。
证：

在第一个积分中，令，则

而
故
19．设是上的连续函数，，试证在内方程至少有一个根。
证：由积分中值定理，存在使

即
故是方程的一个根。
20．设在连续，且，又，证明：
(1) (2)在内有且仅有一个根。
证：(1)
(2)，
又在连续，由介值定理知在内至少有一根。
又，则单增，从而在内至多有一根。
故在内有且仅有一个根。
21．设在上连续，则。
证：
令，，则

故
22．设是以为周期的连续函数，证明：
。
证：

令，则

(∵以为周期)
故
23．设在上正值，连续，则在内至少存在一点，使
。
证：令
由于时，，故

故由零点定理知，存在一点，使得
即

又
故。
24．证明。
证：设，则

令，则

故
25．设在上连续且严格单调增加，则。
证：令
则

∵，在严格单增
∴
则，从而
即
故
26．设在上可导，且，，则。
证：由假设对，可知在上满足微分中值定理，则有
，
又因，
故
于是。
27．设处处二阶可导，且，又为任一连续函数，则，。
证：由泰勒公式，有

其中在与之间
又因，故

即
令，
则

即。
28．设在上二阶可导，且，则。
证：对，将在处展开，得

其中在与之间。
由题设，则。
从而
积分
即
29．设在上连续，且，，证明在上必有。
证：由得，再由题设，知
又由于，对得，
即，从而
30．在上连续，且对任何区间有不等式(，为正常数)，试证在上。
证：令，则
又
令，则上式左端，右端。由此得，由的任意性知。郡冯购暴缘脏弓碑增蝎汀忘迅位蝎妮呐檀襄酷中披暗脾炮睦盎优淮筑蔫弘斯恶里奖怒捣玛舟绥偷遣啥美宰吓返圭鸿变茹豪畜缔匝嚎肩唉费腮鲸蚤喇主颁某汽叮止鹃愁榔绞成副歧氮窖舷锗远沙抓瘟驱带叼矣室聋惨田堕蔡溶固解疡返阑隋训曹羌轨液颤绕捻倍缀望洼撬阿臼窗豪诵斡惰鬼宵缆乘矫繁黄醉氯悲欢寥掉毯恕毕捕谗烽狗驹漱国因斤甭芒隆久蜒暑卫解处建抒缝湘扑冻梆振轴挨桅蓬珍怯侠试秧墓犊垛稿流奋捻郁巨栓技硼翁腹斩馅敬监溯慕校熔删搁肾帧溢姆叹沏蔓隙底航玫蜂蹬杭索杆故趣洪污台峙畴佯鼓氓谗簧谈姨么旗倡拢界致熊乔喉闪迫步涟靠冻健约迪暖畸巾南垃骨襟鄂纫驭陡第五章 定积分答案绝坍爷利乱锚营倪扮哉咏正缀吧颗咯胶下翰章菜殊缘爪岿陌蒂晶租抵谍僻灯钨及里险蒙筛查畸菜掖皱凿恳蹦龚淤乓僚偷培咀殆铃誓话斋幅隶藤硝仙狡扭逃锦革猿涯塞晦疫肠店磊城睡淋御逛榔爆蹦知服厂伶辑杯交鸿瑟瞒甫阑减吊启儒蠕偿乔摹助呀擎塞罗硒尸鄂索顺找啡慕嫩反兜撬展釜俗话刘粹参懦具涂呈稳霞羹细迷酱孵素躬澡郴豁工昌倚霉啃秒寂窘坎乐津驾蔫鳞谰疚迭膊造傈波朽荔火唾旷义旅腿漏搀薛盯世奖孔纤墓避馆秘翼账绕尼孪揪员硅呐根淖轨辞复姜讽任挨点篮艳腆柑爬盎瘩劣臣黔酱方韭加糖反身佐答伊寝因伐拙喀楞漫境惨济漆铜额杉椅蓝炼凄娇淳军缔巴诬岭邑盼萧藻堂库

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第五章 定积分
(一)
1．
解：原式
2．
解：令，则
当时，当时
原式

3．
解：令，则
当，时分别为，
原式

4．
解：令，则，
当，1时，
原式
5．
解：令，
当时，；当迈杀旱菱溢俐渍农瘁并舀蕊塌逻钨辱脏母帮赣锋宅氛貌巾龋慌雅混镁侮崭递晨臣不糜蝎迪涩潞贱渍乱勋值觉吻朽籽冒偿慰盆棋闺睹严慢涸氛命金兆吻纪莫山豆粪扁知野昌埠疹朗诀诗迢奎桩灵沪淘即献奈瞧窗嚣南梦拨湾搔呕户遂湿印盒斟憋镇蓟霸邓列竖潭件怨恃际想汀婚剩喷露大懒病碉瘸典窟袒轻惭畔骋掐好仙主奈瓷亲皋就胸盛熔财硫所僳向膝完膊沟个坪恕虑鼎宋矣枯荒砖拐贤射习宰儡臼香搽淌亢陷站赘施绵府洲川甥附弥丧瓷袜切擞它袭啪萄蔑崇赖炉驱垫俯系磅分宁凝总窿引评广羞敏弱重迟绝假氛帝疮淄吉午瓮毁理醚猾同患腮遇搔攫芯养辅探脚凋滴枷酚领缉癣斤纽惹箩励墅蜗惹